第八章 立体几何初步

阶段性测试题八(立体几何初步)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(2011·陕西宝鸡模拟)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，所以“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．

2．(2011·江西南昌适应性检测)已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )

A ．(92＋20π)cm 2

B ．(92＋14π)cm 2

C ．(112＋14π)cm 2

D ．(92＋10π)cm 2

[答案] B

[解析] 由三视图可知原几何体是一个长方体上面放一个半圆柱，半圆半径为2，高为5，所以其表面积为πrh ＋πr 2＝14π(cm 2)，

长方体的表面积为(4＋5)×2×4＋4×5＝92(cm 2)， 所以几何体的表面积为(14π＋92)cm 2.

3．(文)(2011·青岛第一次教学检测)设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中是真命题的为( )

A.

⎭⎪

⎬⎪⎫

b α

c ∥α⇒b ∥c

B.

⎭⎪

⎬⎪⎫

b αb ∥

c ⇒c ∥α

C.

⎭⎪⎬⎪

⎫c ⊂αc ⊥β⇒α⊥β D.

⎭

⎪⎬⎪

⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥β [答案] C

[解析] 结合线面位置关系选C.

(理)(2011.3·萍乡一模)已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

[答案] C

[解析] 设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AB →，CD →

〉|＝|AB →·CD →

||AB →||CD →|

，

由于AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1， ∴cos θ＝|AB →·CD →

|AB →||CD →|

|＝|12×1|＝1

2.

由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°.故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°.

4．(2011·广东中山一模)设a ，b ，c 是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )

A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β

B ．当b α，且c α时，若c ∥α，则b ∥c

C ．当b α，且c 是a 在α内的的射影时，若b ⊥a ，则c ⊥b

D ．当b α时，若b ⊥β，则α⊥β [答案] D

[解析] D 的逆命题是b ⊂α，α⊥β，则b ⊥β，显然不成立．

5．(文)(2010·新课标卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．πa 2 B.73πa 2 C.11

3πa 2 D ．5πa 2 [答案] B

[解析] 本题主要考查球与三棱柱的相关知识，考查空间想象能力及分析问题解决问题的能力．

三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O 1、O 2的连线的中点O 处，连接O 1B 、O 1O 、OB ，其中OB 即为球的半径R ，由题意知：O 1B ＝23×3a 2＝3a

3

，所以

半径R 2

＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫3a 32＝7a 212

，所以球的表面积是S ＝4πR 2＝7πa 2

3，故选B .

(理)(2010·全国卷Ⅱ)已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )

A .3

4 B.54

C.74

D.34

[答案] D

[解析] 本题考查了直线与平面所成角的概念与求法．

如图所示，过A 作AD ⊥BC .

连接AD ，SD 作AG ⊥SD ，连接GB ， ∵SA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形， ∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD.

∴BC ⊥平面SAD ，∴AG ⊥BC ， 又AG ⊥SD ，∴AG ⊥平面SBC.

∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角． ∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，

在Rt △SAD 中，AG ＝3

2，∴sin ∠ABG ＝322＝34

.

6．(2011·温州一模)圆柱的侧面展开图是长12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( )

A.288

π

cm 3 B.192

πcm 3 C.288πcm 3或192

πcm 3 D ．192πcm 3

[答案] C

[解析] 分两种情况

(1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，∴r ＝6

π，

∴V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π

(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，∴r ＝4

π，

∴V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π

(cm 3)．故选C. 7．(文)(2011·遂川一模)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m α，n α，l 1 β，l 2 β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是

( )

A ．m ∥β且l 1∥α

B ．m ∥β且n ∥β

C ．m ∥β且n ∥l 2

D ．m ∥l 1且n ∥l 2

[答案] D

[解析] 对选项A ，B ，C 都有α与β相交的情况只有选项D 是两平面平行的判定，故选D .

(理)(2011·四川卷)半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是( )

A ．Rarccos 17

25

B ．Rarccos 18

25

C.1

3πR D.415

πR

[答案] A

[解析] 如图，连结BM ，BN ，MN ，OM ，ON ，在Rt △ABC 中，BM ⊥AC ，且AC ＝5R ，由AB 2＝AM·AC 得AM ＝45

5

R ，