[整理]二次函数与实际问题最大值问题.

26.3二次函数与实际问题
第1课时实际问题的最大值问题
学习目标：
1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；
2．利用二次函数求图形面积的最值问题；
3．会应用二次函数的性质解决问题．
重点：使学生理解二次函数的最大（小）值，并利用它解决实际问题；
难点：根据实际问题建立函数模型．
探究案
探究点：商品利润的最大问题
探究一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：
问题1：设每件涨价x元，设商品的利润为y元．则每星期少卖_______件，实际卖出_____件，销售额是元，买进商品需要元.因此，所得利润是（写出函数式）：
问题2：x的取值范围如何确定？是什么？
问题3：根据上面的分析，写出完整的解答过程，注意书写规范
思考题：
如果每降价1元，每星期可多卖出20件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（根据探究一写出完整的过程）
及时练习：
1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？
2．数菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：
这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．
（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；
（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；
（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？
（收益＝市场售价－种植成本）
探究点：图形面积的最大问题
如图26-3-15所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（•墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
问题1：矩形的面积如何表示？在本题中S与x之间的关系是什么？
问题2：x的取值范围如何确定？是什么？
问题3：根据上面的分析，写出完整的解答过程，注意书写规范
及时练习：课本26页习题26.3的4、6题，注意书写规范
4.
6.
训练案
1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：
（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？
2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?
最大销售利润为多少?
3．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?
4．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
5．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．
（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t为何值时S最小，最小值时多少？
6．小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
7．如图，在锐角三角形ABC 中，BC =12，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG 。

（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；
（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，
写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.
A D E F
G
C
（备用图（1）） A C B （备用图（2））
A
C
8. 某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请
你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？
9．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点
C ，顶点为
D ．
E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于
F 、
G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？
并求出最大面积．
21． (本小题满分12分)
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
()
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)
(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨
⎧≤<-≤≤-;
300200,3002,2000300t t t t ，
——2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=
200
1
(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )
即h (t )=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002
175********t t t t t t ，， ——6分
当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－
200
1
(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－
200
1
(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分 综上，由100>87．5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日
开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．——12分。