数列的极限解PPT课件
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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
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数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
2.1数列的极限ppt(1)
1 n
0
不存在
存在
0
1 3n
有穷数列没有极限
0
1 an n (n 100)
an 0.99
n
不存在
存在
0
0.99
n
0
1.求下列数列的极限：
1 2 3 4 (1). , , , ,... 2 3 4 5
3 11 19 27 (2). , , , ,... 2 4 6 8
5 9 13 17 (3) , , , ,... 2 4 6 8
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 a n 的项 a n 无限地趋近于某个常数 a ，(即 a n a 无限地 接近0), 那么就说数列 a 以 a 为极限，或者说 a 是数列
an 的极限
n
lim an a
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， a n的极限等于a ” 或 “limit n 当n 趋向于 a 无穷大时等于a ”
2.2 数列的极限(1)
一复习回顾: 数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列 的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n } .
【例如】 2,4,8, ,2 n , ;
n 趋向于无穷大 （1）
a n 是无穷数列
n 无限增大时，a n 不是一般地趋近于 a ，而是
a “无限”地趋近于
（2）
（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的
三、例题讲解：
例1、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 0 1， ， ， ， 3 ， ； （1） 8 27 n 5 6. 6. 7 n ， ； 7 （2） 6.5， 95， 995， ， 10 1 1 1 1 , （3） , , , n , ； 0 2 4 8 ( 2 )
02数列的极限PPT课件
•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为
例如
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铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
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铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为
例如
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铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
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二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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数列的极限讲解课件
取a 1 1 , b 1 1 代入,得
n
n1
(1 1 )n (1 1 )n1 ,
n
n1
即数列{(1 1 )n }是单调增加的. n
第26页/共30页
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第27页/共30页
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五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.
第2页/共30页
R
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2.截丈问题：
“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
第3页/共30页
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一、数列极限的定义
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有
xn 1 成立.
第8页/共30页
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定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a是数列
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
《数列极限的性质》课件
不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接 应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得 对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则 运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数 列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。
高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限课件共52页文档
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim
n
xn
a
0,N 0,n N , xn a .
one of all, for every,
exist.
[ ' e p s i l n ]G r e e k a l p h a b e t : E
{(1)n1}
14 n(1)n1
n (1)n1
2, , ,,
,; {
}
23
n
n
2, 22,L, 22L2,L
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
问 当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一 题 确定的数值?如果是,如何确定?
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
1n 1N 1 11
,即limn(1)n1
n
n
1.
用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定
的 0, 寻找N.
例2 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
(1 )(2 )
6n
n
过剩近
似(橘色
n i1
1 n
i n
2
12
22 L n3
n2
加蓝色 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 1 1
1
部分)
6n3
(1 )(2 )
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim
n
xn
a
0,N 0,n N , xn a .
one of all, for every,
exist.
[ ' e p s i l n ]G r e e k a l p h a b e t : E
{(1)n1}
14 n(1)n1
n (1)n1
2, , ,,
,; {
}
23
n
n
2, 22,L, 22L2,L
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
问 当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一 题 确定的数值?如果是,如何确定?
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
1n 1N 1 11
,即limn(1)n1
n
n
1.
用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定
的 0, 寻找N.
例2 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
(1 )(2 )
6n
n
过剩近
似(橘色
n i1
1 n
i n
2
12
22 L n3
n2
加蓝色 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 1 1
1
部分)
6n3
(1 )(2 )
经济应用数学基础数列的极限课件
无限逼近定理指出数列可以逼近一个特定的值，深入研究数列逼近问题有助于理解极限。
级数收敛性与发散性
级数是无限多项的和，研究级数收敛与发散性有助于理解数列极限的更深层次。
总结
1 重要概念与应用场景 2 多种计算方法
3 进一步研究的价值
数列极限是应用数学中的 重要概念，具有广泛的应 用场景。
数列极限的计算方法有多 种，需要根据具体问题进 行选择与应用。
数列的收敛与发散
数列可以收敛到一个特定的值，也可以发散无 限增大或无限逼近于正负无穷。
无穷小量的定义与性质
无穷小量是指极限为零的数列，在数列极限计 算
在经济学中的应用
数列极限可用于计算经济增长率和投资收益率，帮助分析经济现象与决策。
2
在工程学中的应用
数列极限可以描述物体在空气阻力下的运动状态，对工程设计和优化有重要意义。
数列极限的进一步研究可 以帮助深入理解数学与自 然科学中的问题。
经济应用数学基础数列的 极限课件
经济应用数学基础数列的极限是一个重要的概念，我们将在本课件中深入探 讨它的定义、实际应用场景以及计算方法。
什么是数列的极限
数列的定义与基本概念
数列是按照一定规律排列的一系列数，极限是 指数列在无限项中的趋势或趋近的值。
极限存在的充分必要条件
数列存在极限的充分必要条件是数列的值逐渐 趋近于一个有限的值。
3
在自然科学中的应用
数列极限可用于解析光线的折射与反射现象，解释光学器件与自然光线的交互作 用。
数列极限的计算方法
微积分法
• 洛必达法则 • 泰勒公式
解析法
• 分解因式法 • 常用极限公式法
数列极限的进一步研究
数列的单调性
级数收敛性与发散性
级数是无限多项的和，研究级数收敛与发散性有助于理解数列极限的更深层次。
总结
1 重要概念与应用场景 2 多种计算方法
3 进一步研究的价值
数列极限是应用数学中的 重要概念，具有广泛的应 用场景。
数列极限的计算方法有多 种，需要根据具体问题进 行选择与应用。
数列的收敛与发散
数列可以收敛到一个特定的值，也可以发散无 限增大或无限逼近于正负无穷。
无穷小量的定义与性质
无穷小量是指极限为零的数列，在数列极限计 算
在经济学中的应用
数列极限可用于计算经济增长率和投资收益率，帮助分析经济现象与决策。
2
在工程学中的应用
数列极限可以描述物体在空气阻力下的运动状态，对工程设计和优化有重要意义。
数列极限的进一步研究可 以帮助深入理解数学与自 然科学中的问题。
经济应用数学基础数列的 极限课件
经济应用数学基础数列的极限是一个重要的概念，我们将在本课件中深入探 讨它的定义、实际应用场景以及计算方法。
什么是数列的极限
数列的定义与基本概念
数列是按照一定规律排列的一系列数，极限是 指数列在无限项中的趋势或趋近的值。
极限存在的充分必要条件
数列存在极限的充分必要条件是数列的值逐渐 趋近于一个有限的值。
3
在自然科学中的应用
数列极限可用于解析光线的折射与反射现象，解释光学器件与自然光线的交互作 用。
数列极限的计算方法
微积分法
• 洛必达法则 • 泰勒公式
解析法
• 分解因式法 • 常用极限公式法
数列极限的进一步研究
数列的单调性
高数 第二章 第一节 数列极限课件
二、数列极限的运算法则
数列运算法则：
如果lim n
an
A,
lim
n
bn
B,则有:
(1) nlim(an
bn )
lim
n
an
lim
n
bn
A
B;
(2) nlim(an
• bn )
lim
n
an
•
lim
n
bn
A• B;
(3) lim(C n
•
an )
C
lim
n
an
C
•
A(C为常数）;
(4) lim
an
lim
n
an
A (B
0).
n bn
lim
n
bn
B
法则（1）（2)可以推广到有限个 具有极限的数列的情形。
【例
2】已知
lim
n
an
3，lim n
bn
8.求：
（1）nlim（3an
5b
n
)（ ; 2）lim n
an
an • bn . 2bn 5
【解】
（1）nlim（3an
5bn )
lim
n
3an
lim
n
2n
（3）当n无限增大时，an=n2 也无限增大，不能趋近于个确定 的常数，因此，这个数没有极限。
常数的极限为本身：
注意！
不是任何无穷数列都有极限。
如数列｛2n｝，当n无限增大时，2n也无限增大，不能无限地趋近于一个确定 的常数，因此，这个数列没有极限。
又如，数列｛(-1)n｝,当n无限增大时，(-1)n 在1与-1两个数上来回跳动，不 能无限地趋近于一个确定的常数，因此，这个数列也没有极限。
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
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通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
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例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
从而 xn有 a
xna xn a
xn a a
1 a
故 ln i m xn a.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列 xn 一定有界.
问题 对于无限多项
.
2
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
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2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
n
n
n
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例2 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
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定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
na1n.即limna1.
. n
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定 义 : 对 数 列 xn, 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有xn M成 立 , 则 称 数 列 xn有 界 ,
否 则 , 称 为 无 界 .
例如, 数列 xn nn1;有界 数x 列 n2n.无界 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn都 落 在 闭 区 间 [M,M]上 .
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a是数列
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
第二节 数列的极限
➢一、 数列极限的定义 ➢二、 收敛数列的性质 ➢三、 收敛准则
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概念的引入
引例 设有半径为 R 的圆 , 用其内接正 n 边形的面 积An 逼近圆面积 S .
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
—— 刘徽割圆术 (公元三世纪)
1 {2 n }
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1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
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观察上述 当n数 列 时的变化趋势：
可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的 通项有以下两种变 化趋势:
(1) 通项无限趋近于 (2) 一个确定的常数;
(2) 通项不趋近于任何确定的常数.
.
7
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
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例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
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注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
例4-1 证a 明 1 时 l当 i， n m a 1 .
n
证 注意到 na1. n a 1 na1.
令 na1n0 , 于是
a=0(,1为了使n)nn a1 1 1n n n n λn n na n n εn , 只λn 要 使na
n
a ε
,
因此, 取N a, 则当n > N 时,有
Xn
1
1 2n
1
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一、数列极限的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1, x2, , xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn} .
例如 2 ,4 ,8 , ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
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N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
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例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
从而 xn有 a
xna xn a
xn a a
1 a
故 ln i m xn a.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列 xn 一定有界.
问题 对于无限多项
.
2
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
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2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
n
n
n
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例2 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
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定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
na1n.即limna1.
. n
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二、收敛数列的性质
1、有界性
定 义 : 对 数 列 xn, 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有xn M成 立 , 则 称 数 列 xn有 界 ,
否 则 , 称 为 无 界 .
例如, 数列 xn nn1;有界 数x 列 n2n.无界 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn都 落 在 闭 区 间 [M,M]上 .
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a是数列
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
第二节 数列的极限
➢一、 数列极限的定义 ➢二、 收敛数列的性质 ➢三、 收敛准则
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概念的引入
引例 设有半径为 R 的圆 , 用其内接正 n 边形的面 积An 逼近圆面积 S .
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
—— 刘徽割圆术 (公元三世纪)
1 {2 n }
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1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
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观察上述 当n数 列 时的变化趋势：
可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的 通项有以下两种变 化趋势:
(1) 通项无限趋近于 (2) 一个确定的常数;
(2) 通项不趋近于任何确定的常数.
.
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问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
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例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
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注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
例4-1 证a 明 1 时 l当 i， n m a 1 .
n
证 注意到 na1. n a 1 na1.
令 na1n0 , 于是
a=0(,1为了使n)nn a1 1 1n n n n λn n na n n εn , 只λn 要 使na
n
a ε
,
因此, 取N a, 则当n > N 时,有
Xn
1
1 2n
1
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一、数列极限的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1, x2, , xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn} .
例如 2 ,4 ,8 , ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
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N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,