平面向量论文：对《平面向量》的理解

平面向量论文：对《平面向量》的理解

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。高中数学新教材将《平面向量》作为必修内容引入，所以这部分内容的教学对于我们中学教师来说是很重要的。

向量是既有大小，又有方向的量，是具有优良运算通性的体系，但向量所关注的不是“数”的简单扩大，而是“量与运算”的扩充，这对于学生更好地建立代数与几何的关系，尽早了解现代数学思想和方法将会打下一个坚实的基础。向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合：一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。同时，向量在物理等许多领域有非常重要的作用，因此，向量是解决数学问题和实际问题的有力工具，是中学数学的重要概念之一。在中学数学中向量分“平面向量”和“空间向量”两章，本文就“平面向量”一章的教学重点和难点以及“平面向量”与代数、几何、三角等知识的交汇应用作一粗探。

首先通过物理背景或数学背景的介绍，使学生懂得向量是既有大小又有方向的量，而向量还可以进行加减法运算。通过实例，使学生掌握向量与数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义及充要条件。在教学中，我体

会到平面向量的基本定理及坐标表示是全章的重要内容之一。因为平面向量基本定理是说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，是向量线性运算的最高级体现。该定理是平面向量坐标表示的理论基础。而向量的坐标表示是平面向量的基本定理的直接应用，是一种重要的数学思想方法，即数形结合。向量的坐标表示的引入，使向量的运算完全代数化，是数与形的完美结合。这样很多几何问题的证明，就转化为学生熟知的代数运算。这是向量的重要作用之一，也是学习向量的重要目的之一。

在平面向量数量积及运算律这一节，重点应使学生掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，并能运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，处理有关长度、角度和垂直的问题。此节难点是对数量积的概念、运算律的理解和数量积的应用。而平面向量的数量积又有着较为广泛的应用，所以形成了本节内容既是重点又是难点的特点。在教材中是通过物理学中的“功”的实例引入的，在讲授向量数量积的概念时，应注意将数量积与实数的乘积类比,进一步深化向量与数量的概念、运算，解决问题的方法的异同，在应用中体会学习的必要性，引导学生逐步形成新的解决问题的思路和视角。

在此节中，还要强调平面向量的数量积与向量投影的关

系。即两个向量，的夹角为θ，则cosθ叫做向量在方向上的射影，注意射影有正负。当θ为锐角时，射影为正值；当θ为钝角时，射影为负值；当θ为直角时，射影为零；当θ为零角时，射影为；当θ为平角时，射影为- ，在教学中要注意概念的讲解。例如零向量应强调零向量的方向是任意的，为了知识体系上的完备和应用上的方便规定：零向量与任一向量平行。在讲单位向量时，要掌握向量的单位向量。单位向量有无数个，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定是相等向量。当讲解平面向量的数量积时，应强调：（1）两向量的数量积是个实数，而不是向量它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）已知实数a、b、c （b≠0）,则有ab=bc?圯a=c。但对于向量，该推理就不正确，即· = · 推不出 = 。（3）两向量，的夹角与向量的长度无关。进而可推出：≤。平面向量在三角、解析几何、方程等中的应用都很广泛。

例如：已知 =（6，2）， =（-4，），直线l过a（3，-1）且直线l的方向向量与向量 +2 垂直，则直线l的一般式方程是_____。

因为 =（6，2）， =（-4，）

解：所以 +2 =（6+2×（-4），2+2× ）=（-2，3）

设直线l的方向向量为（1,k），则有（-2）×1+3k=0，即k= .所以直线l的方程：y+1= （x-3），即：2x-3y-9=0 平面向量融数形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，因而成为联系数和形的有力纽带，是中学数学知识的一个重要交汇点。在教学中，我们常可见它与数列、方程、函数、解析几何、三角等内容交叉渗透，自然地交汇在一起，使数学情境新颖别致。当今，在以能力立意作为高考命题指导思想的前提下，作为高中数学教师，研究平面向量“数形结合”的特征，关注平面向量的“交汇性”应是我们的责任。

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