正弦定理2

B sin C , 则△ABC
2
b
A
B
A
B2
B1 A
a<bsinA 无解
a=bsinA 一解
bsinA<a<b 两解
a b 一解
≥
B
讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：
（按角A分类）
A的范围 A为钝角或直角 a,b关系 a＞b a≤b a≥b A为锐角 a＜bsinA a=bsinA a＞bsinA 解的情况 一解 无解 一解
2
2
• 1．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、 c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状． • 解析： ∵b＝acos C， • 由正弦定理得：sin B＝sin A·cos C. • ∵B＝π－(A＋C)， • ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. • 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， • ∴cos Asin C＝0， ∵A、C∈(0，π)，
a
A B C cos cos cos 2 2 2

b

c
，则 ABC 是( D )
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
课堂训练2
1.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B=30°， a=14, b=7; (2) B 60 0 , a 10, b 9那么下面判断正 确的是（ Ｄ）
A.（1）只有一解,（2）只有一解 C.（1）有两解,（2）只有一解 B.（1）有两解,（2）有两解 D.（1）只有一解,（2）有两解
π ∴cos A＝0，∴A＝ ， 2 ∴△ABC 为直角三角形．
2.在ABC中，A, B, C的对边分 别为a, b, c, 若bcosA acosB, 试判断三角形的形状 ?
3.利用正弦定理判断三角形形状
.sin 2 A sin 2 B
4.ABC中， 2cos B sin A sin C , 判断形状
eg1.a 7, b 14, A 30 , 求B

eg 2.a 2, b 2 3, A 30 , 求B
eg3.a 6, b 9, A 45 , 求B


eg 4.a 2, b 2, A 45 , 求B

已知两边和其中一边 的对角，试讨论三角形 的解的情况 已知a、b、A，作三角形
2.在△ABC中,若b= 2 2 , a=2,且这个三角形有解,则A 的取值范围是( B ) A.(0 ,90 ) B.(0 ,45 ] C.(0 ,30 ] D.(30 ,60 ) 3.在△ABC中,若 sin A sin 直角三角形三角形 的形状是_________
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5.在ABC中，b a cos C, 定形？
四.三角形面积计算公式
=S
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（
c
）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A
（2）在 ABC 中，若 A．等腰三角形 C．直角三角形
B. a cos A b cos B D. a cos B b cos A
探索发现
已知两边和其中一边对角解斜三角形
C
C
C a b a a
C b a
b
A
a
A
b
B
A
B2
B1 A
a<bsinA 无解
a=bsinA 一解
bsinA<a<b 两解
a b 一解
≥
B
归纳总结：
已知两边和其中一边对角解斜三角形 有两解或一解或无解三种情况
C C a A b a b C a a
C b a
①
边角 互化
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
②
a b c sin A , sin B , sin C 2R 2R 2R
③
a : b : c sin A : sin B : sin C
a b c abc 补. sin A sin B sin C sin A sin B sin C
练习：1.若A,B,C是⊿ABC的三个 > 内角，则sinA+sinB____sinC.
2、在 ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且 a+b+c=15，则a= 4 ，b= 5 ，c= 6 。
3、在ABC 中，A : B : C 1 : 2 : 3 ，则 a：b：c= 1 : 3 : 2 。 角化为边
题型三：判断三角形形状
• 例3. 在△ABC中，已知a2tan B 2 ＝b tan A，试判断△ABC的形 状．
• 观察已知条件，是一个边角等式， 可以应用正弦定理把边化为角，再 利用三角公式求解．
a sin B b sin A [规范作答] 由已知得 cos B ＝ cos A .2 分 由正弦定理的推广得 a＝2Rsin A， b＝2Rsin B(R 为△ABC 4R2sin2 Asin B 4R2sin2 Bsin A 的外接圆半径)，∴ ＝ ，6 分 cos B cos A 即 sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.8 分 又 A、B 为三角形的内角， π ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝ .10 分 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.12 分
无解
一解 两解
判断满足下列的三角形的个数:
eg1.a 7, b 14, A 30

一解

eg 2.a 2, b 2 3, A 30
eg3.a 6, b 9, A 45

两解
无解 一解
eg 4.a 2, b 2, A 45

二．正弦定理的变形：