材料力学_第十章

各力矩对应的变形
z
Mx与x 重合， 对应扭转变形
Mx Fx
Fz Mz
x
Mx 扭矩T
y
My Fy
P
M y与 x 垂直， 对应弯曲变形;
以y轴为中性轴.
弯矩 M y
；
M z 垂直于x轴， 对应另一个方向的弯曲变形；
；
以z轴为中性轴.
弯矩 M z
平面弯曲：
§10-2 斜弯曲
外力作用在纵向对称面内，且过形心；
y -_
FN My | z| 0 A Iy
（-z y) z
| z | FN I y AM y
_
_
+
-
中性轴是一条不过截面形心的的直线;
|z|
到形心轴的距离为 | z | FN I y AM y
一般情况下，发生拉(压)与双向弯曲时
中性轴方程为
FN MyzMzy0
A Iy
Iz
中性轴可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或 与截面周边相切。
Iy
（1）中性轴只与外力倾角及截面的几何形状与 尺寸有关；
拉y
z
F 压
（2）一般情况下，
Iy Iz
即中性轴并不垂直于外力作用面。 中性轴
讨论
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
Iy Iz,
所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等;
y
中性轴垂直于外力作用面;
z
F
中性轴
即外力无论作用在哪个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。
(2)分解外力
Fx F Fy
(3) 外力向轴线上简化
(4)、求内力方法 P
x轴与轴线重合；
z
Fz
Mx Fx
Mz
x
My
P
y Fy
y 、z轴过截面的形心，与形心主轴重合；
F x 力的作用线与欲求内力截面垂直，是轴力；
F y F z ∥ A 是剪力，按横力弯曲切应力公式计算切应力；
y , z 矢量叠加；
分解
叠加
组合变形
基本变形
组合变形分析
2、叠加原理：
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，
在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加;
且与各单独受力的加载次序无关。
叠加原理的应用条件
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
c,max
+=
t ,max
c,max
t,max
Fl Wy
F A
c,maxWFyl
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c,maxWFyl
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
+_
则取决于叠加后的正应力在横截面上的分布情况。
例1 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝
160MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F 350 F
50 150
50
150
（1）分析内力、判定基本变形
拉弯组合变形；
F 350
且弯曲发生在黑板面内；
挠曲线平面与荷载作用面不重合，是斜弯曲，而不是平面弯曲。
§10-3 拉、弯组合变形 1、拉（压）弯组合变形杆件横截面上的内力
=+
2、基本变形下横截面上的应力
c
F A
y z
t ,max c,max
t ,max
Fl Wy
c,max
Fl Wy
3、组合变形下横截面上的应力
c
F A
t ,max
Iz
y
-+
++
F z (|z|,y)
z
--
-+
Fy
中性轴的位置
|z|sinycos0
Iy
Iz
拉y
z
F 压
中性轴
yIz sin Iz tg z Iy cos Iy
tg Iz tg
Iy
过截面形心、位于2、4象 限的一条斜线
6、正应力的分布规律
中性轴
σtmax x
σcmax
讨论
tg Iz tg
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很 小可以忽略）；
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下 杆件内应力的叠加；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
求：危险截面上的最大正应力
y
x zφ
F
1、斜弯曲分解 y
Fz
x
zφ
F Fy
Fz Fsin
Fy Fcos
y
Fz z
F
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Fy
2、分别作各自平面弯曲的内力图，确定危险面
y
Fz zφ
危险截面： x
固定端截面
Mz
Fy
FyL=FLcosφ My
FzL=FLsinφ
3、分析应力分布规律，确定危险点
y
Mz
中性轴
M
FN
（2）计算横截面的形心位置、面积、形心主惯性矩
y1 y c
z0
z1
150
50
150
截面面积 A150m 00m 2
50
形心位置
zc
z0 75mm z1 12m 5 m
计算形心主惯性矩
Iyc 5.31107mm 4
（3）求内力
F 350
M
FN F
M F35 70 513 0
Fz z
F
Fy
My
危险点位置：
中性轴
右上角角点处
4、提取危险点处应力状态
单向应力状态
My Mz
Wy Wz
y
Fz z
F
Fy
5、中性轴的位置
中性轴上正应力为零；
(z,y)My|z|Mzy
Iy
Iz
FL|z|si nFLc yos
Iy
Iz
FL(|z|sinycos)
Iy
Iz
|z|sinycos0
Iy
§10-1 组合变形概念和应力叠加法
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
组合变形：
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。
1、研究方法：
将复杂变形分解成基本变形；
独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
或外力过形心，且与形心主轴方向重合；
梁的轴线为纵向对称面内的一条平面曲线。
斜弯曲： 外力过形心，但不与形心主轴重合。
z
变形后,梁轴线不在外力作用面内。
研究方法：
分解
斜弯曲
平面弯曲
F y
斜弯曲 分解
Fz
z
F
Fy
y
平面弯曲
Fz
z xz平面内的平面弯曲
y
z xy平面内的平面弯曲 Fy
y
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载 荷F，与主惯轴y成夹角。
7、斜弯曲梁的位移——叠加法 中性轴 y
fz
Fzl 3 3 EI y
fy
Fyl3
3
EI
z
总挠度： f fyjfzk
α
fz
大小为： f fy2 fz2
f
fy
设总挠度与y轴夹角为 ：
F
tg f z F z I z I z tg tg
fy FyIy Iy
一般情况下，Iy Iz