高考数学不等式解题方法技巧75490

不等式应试技巧总结

1、不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若

,a b c d ><，则a c b d ->-）

，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相

乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b d

>）；（3）左右

同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>；（4）若

0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b

>。如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b

a a

b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b

c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b

>>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）

；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭） 2. 不等式大小比较的常用方法：

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常

用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是

最基本的方法。如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较

2

1log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22

a a t t +≥（1t =时取等号））；（2）设2a >，12

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）；（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43

x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，

积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A 、1y x x

=+的最小值是2 B 、2

y =的最小值是 2 C 、423(0)y x x x

=-->的最大值是2- D 、4

23(0)y x x x

=-->的最小值是2-C ）；（2）若21x y +=，则24x y +的最小

值是______（答：；（3）正数,x y 满足21x y +=，则y

x 11+的最小值为______（答：

3+；

4.常用不等式有：（1

2211a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等

号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m

+<+（糖水的浓度问题）。如如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）

5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n

-=<<=-++--

=

<<= 如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知

R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；

（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b

>>，求证：x y x a y b >++；(4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++；（5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c + 22()c a abc a b c +≥++；(6)若*n N ∈

(1)n +

已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+；（8）求证：2221111223n

++++

(1)(2)0x x -+≥。（答：{|1x x ≥或

2}x =-）

；（2）

不等式(0x -的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >g 的解集为______（答：(,1)[2,)-∞+∞U ）；（4）要

使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式

08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：81[7,)8

） 7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式25123

x x x -<---（答：(1,1)(2,3)-U ）；（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b ax 的解集为____________（答：),2()1,(+∞--∞Y ）. 8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2

1|2|432|+-≥-

x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞U ）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+