天津大学研究生应用统计学第一章第二节课内容

总体p分位数
分位数
设p满足0 p 1，若x p 使P{ X x p } F ( x p ) p，则 1 称x p 为该分布的p分位数。当p 时，x 1 称为中位数。 2 2
样本p分位数与总体p分位数的关系
定理： 设总体X具有密度函数f ( x)，x p 为p分位数(0 p 1)， 若f ( x)在x x p处连续且不为零，则样 本p分位数x 渐
数理统计的应用
• 数理统计是应用性很强的学科。在工农业 生产、医药卫生、生物、环境、经济、管 理、金融、保险等领域发挥着重大作用。 • 软件： • Matlab、SPSS、 SAS、 • R软件 /bin/windows/base/
教学参考书
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Cochran 分解定理 设X 1 , X 2 , , X n是独立同分布的随机变 量，X i 服从N(0, 1),i 1, 2, n，Qi(i 1, 2, k ) 是X 1 , X 2 , , X n的二次型，其秩为 ni . 如果Q1 Q2 Qn
当给定次序统计量的观测值 x(1) x(2) ... x(n) 时， 对任意实数x,
0, x x(1) , k Fn ( x) , x( k ) x x( k 1) , n 1, x( n ) x;
n ( x) 个数，则称 Fn ( x ) 为经验分布函数。 n
Rnn X ( n ) X (1)为极差. 称D
注 : X (1 ), X ( 2 ), , X ( n )不 独 立
2.经验分布函数 定义6.1.4 设 X1 ,, X n 是取自总体X的样本
用 n ( x ) 表示 ( X 1 , X 2 , , X n )中不超过 x Байду номын сангаас观测值的
* p
p ( 1 p ) . 近服从正态分布 N xp , 2 nf ( x ) p
极值分布
统计中常用的分布族
Gamma分布族
- 函数 ( ) x 1e x d x
0

1 ( ) ; (1) 1; (n 1) n(n); 2
1 , 0 x ； 解 总体X 的概率密度为f ( x; ) 0, 其他. 因为服从均匀分布，根据最小
次序统计量与最大次序统计量 之间的概率密度函数与分布函 数的关系知：
0, x 0; x X 的分布函数为F ( x; ) , 0 x ; 分布函数与概率密度之间存在 求导的关系，对概率密度函数 1, x. 进行积分得到分布函数
均值 中位数 众数 均值=中位数 = 众数 众数 中位数 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
众数、中位数和均值的特点和应用
1. 众数
– – – 不受极端值影响 具有不唯一性 数据分布偏斜程度较大时应用
2. 中位数
– – –
– – –
不受极端值影响 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小 数据分布偏斜程度较大时应用
所以， X (1)的概率密度为 n x n 1 1 , 0 x ; f X (1) ( x; ) 0, 其他.
X ( n )的概率密度为 n n 1 n x , 0 x ; f X ( n ) ( x; ) 其他. 0,
解 将样本值由小到大排序得28<29<30<32=32<35<65,则
0, x 28, 1 , 28 x 7 2 , 29 x 7 3 Fn ( x ) , 30 x 7 5 7 , 32 x 6 , 35 x 7 1, 65 x; 29, 30, 32, 35, 65,
n 2
2. 若X服从 2(n) ，则 E( X ) n,Var( X ) 2n
3. 若X 1服从 2(n1 ) ，X 2服从 2(n2 ) ，且X 1和X 2相互独立, 则 X 1 X 2服从 2(n1 n2 )
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2 0.1
n=5 n = 10 n = 15
i 1 n
常用统计量的期望和方差
常用统计量的期望和方差
样本矩的以上性质，不论总体F(x)是什么 形式，均普遍成立。
三、次序统计量与经验分布函数
1.次序统计量
设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体X 的样本， ( x1 , x2 , , xn ) 是样本观测值，将它们由小到大排序为 x x x ，当 X 1 , X 2 , , X n 取值
例 1 从总体中抽取容量为7的样本，其观测值为： 32，65，28，32，35，30，29. 试求X的经验分布函数. LR: 将数按从小到大的顺序排列 为28,29,30,32,32,35,65
得到其经验分布函数为 FX(n)= 0 ， x<28 1/7，28≤x<29 2/7，29≤x<30 3/7，30≤x<32 5/7，32≤x<35 6/7，35≤x<68 1 ，65≤x
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用
3. 均值
整理数据的方法
• 用图、表等将数据表达成直观的形式
频率直方图、茎叶图、箱线图
• 构造样本的某种函数
该函数应汇集样本中与总体有关的主要信息，舍 弃无关的次要部分，且不包含未知参数
统计量
6. 统计量 不含有任何未知参数的样本的函数g X 1 ,, X n 称为统计量.
分 布 函 数 为 F(1 )( x ) 1 1 F( x )
(2) 最大次序统计量X ( n )的概率密度为 f X ( n ) ( x; ) n[ F ( x; )]n1 f ( x; )
n
n
分 布 函 数 为 F( n )( x ) F( x )
例 : 设总体X服从(0, ) 上的均匀分布,( X 1 , X n )是 来自X的样本. 分别求最小次序统计量X(1)和最大次序 统计量X( n )的概率密度函数。
用 n ( x ) 表 示 ( X 1 , X 2 , , X n )中 不 超 过 x 的 观 测 值 的
个数，则第i个次序统计量的
分布函数为 F( i )( x ) P{ X( i ) x} P{ n( x ) i}
第i个到第n个的概率和
( X 1, X 2 , X 3 , X 4 )


2
常用统计量 1 n k 样本k阶原点矩；Ak X i n
1 k B ( X X ) 样本k阶中心矩； k i n i 1 B4 A1 X bk 2 3 B2 峰度 n 1 2 2 ~ （与标准正态分布比较）； B2 S S n B 偏度； b 3 s 3/2 B2 n 1 2 2 2 S ( X i nX ) 变异系数； V S / X n 1 i 1
n
经验分布函数与分布函数的关系
LR: 将vn(x)看成次数，F(X)表示概率，n为总次数
经验分布函数与分布函数的关系
sup在泛函中表示求上界
经验分布函数以概率1收敛于分布函数。
次序统计量的分布
(1) 最小次序统计量X (1)的概率密度为 f X (1) ( x; ) n[1 F ( x; )]n1 f ( x; )
• 《应用数理统计(第2版)》，关静、张玉环、 史道济主编，天津大学出版社。 • 《R统计建模与R软件》，薛毅，陈立萍编著， 清华大学出版社。
第二节 数理统计的基本概念
总体和样本
• 总体；个体
• 样本；样本观测值 • 样本二重性
既有数的属性，又有随机变量的属性
简单随机样本
• 为使样本尽可能反映总体的特征使数据分 析具有较好的性质，对抽样方法提出一定 的要求。
这个图错了
经验分布函数的性质：
(1) Fn ( x)满足分布函数的特征, 是一个分布函数.
0 Fn( x) 1 ; Fn( x)单调不减；右连续； 1 Fn( x)在x x( k )有间断点，在每个间断 点上有跃度 n
经验分布函数与分布函数的关系
(2) Fn ( x)依概率收敛于F ( x).即 lim P{| Fn ( x) F ( x) | } 1 ( 0)
简单随机样本的联合分布
设随机变量X的分布函数为F ( X )，则简单随机 样本( X 1 , X 2 , X n )的联合分布函数为 F ( X i ),
n i 1
联合密度函数为 in1 f ( xi )
例3 有放回抽样和无放回抽样
• 有放回抽样：每次抽样在完全相同的条件 下进行，且相互独立。所得样本是简单随 机样本。 • 无放回抽样：每次取后不放回。前一次抽 样的结果会影响下一次抽样的概率。不是 简单随机样本。 • 实际的抽样常常是无放回抽样。 • 当产品总数N很大，而样本数n相对不大时， 可以将无放回抽样所得到的样本近似的看 成简单随机样本。
数据分析—频率直方图
一组数据经过分组整理后，用直方图画出来， 我们对该组数据的变化规律就有了直观的了解。
频 数 30 25
(天) 20 15 10
5
140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 按销售量分组(台)
某电脑公司销售量分布的直方图
频率直方图
• 总体分布未知，根据观测结果估计总体的 分布（概率密度） • 找出样本观测值的最大值和最小值，得区 间 • 确定组数、组距 • 数出组频数、计算组频率 • 分组整理表 • 作矩形
* 1 * 2 * n
为 x1 , x2 , , xn 时，定义随机变量