第四章 凝固过程中的传热讲解

合质量热容法，即把潜热△h加 到质量热容c，上，获得了一个增大的热
容，折合的质量热容为：
c, c h d3
dT
（3）常见的凝固并不是按平面界面进行的，而存在一个凝固区，即糊状区， 在该区存在着传热与传质的偶合问题，需同时考虑传热和传质。
6
3. 凝固过程传热的研究方法
（1）解析法 （2）实验法 （3）数值计算法
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（3）固相无扩散，液相中有扩散而无对流的溶质再分配
1） 最初过渡区 2）稳态区当C*S = C0、CL* = C0/K0时，便 进入稳定生长阶段，固相生长所排出的溶
质量等于液态中扩散走的量。在此区，液 相内各点上的成分保持不变。
dCL dt
DL
d 2CL dx,2
R dCL dx,2
0
平衡凝固只是一种理想状态，在实际 中一般不可能完全达到，特别是固相 中原子扩散不足以使固相成分均匀。 对C、N、O等半径较小的间隙原子， 由于固、液相扩散系数大，在通常铸 造条件下，可近似认为按绝对平衡情
况凝固。
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（2）固相无扩散而液相均匀混合的溶质再分配
固相成分的计算（Scheil公式）：
CL 1 K0 dfS
dn
T a2T ----傅里叶第二定律

辐射： q

K

Tc, 100
4


Tc 100
4

λ---导热系数，a=λ/ρcp ----热扩散系数 Tc----环境温度， T,c-----铸件温度
对流： q Tc, Tc
以上为凝固过程基本方程，在特定的条件下即可进行凝固过程温度及其演 变过程的计算，特定解包括： 1）物理条件（物性参数），2）几何条件（凝固系统几何形状） 3）时间条件（初始条件），4）空间条件（边界条件）
1
1 e(2.72)
故
DL R
称为特性距离。此时，（CL- C0）值降到
1
1
C0 ( K0
1) e
在同样的原始成分C0时，R越大，DL越小，K0越小，则在液-固界面前 沿溶质富集越严重，曲线越陡峭。
如果凝固速度R发生变化：液、固相的成分均会发生波动。
R2＞R1及R2＜R1的情况：
旧稳定状态→过渡区（高度、距离、时间长短）→新的稳 定状态（陡峭情况、面积）
凝固过程中溶质的传输决定着凝固组织中的成分分布，并 影响到凝固组
织结构。
凝固过程中总的质量守恒方程： sdVs LdVL LV0
凝固过程中溶质守恒方程：
ws sdVs wLLdVL wc0LV0
如果凝固过程中体积变化可以忽略，即 s L s L 1
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（1）解析法
直接从传热微分方程出发，在给定的
定解条件下，求出温度场的解析解
，实际条件下很少、只有引入许多假设
的条件下。
大平板铸件：
图中：S、L、M分别表示固相、液相和铸型的参数，Tk为凝固界面温度
根据界面上的热平衡：
S

TS x
x

L

TL x
x
由傅里叶导热定律： q1 LGTL q2 SGTS q3 hS R
△h---为潜热，R—凝固速率（凝固界面推进速度），ρS---固相密度
由上三式可得：
R SGTS LGTL S h
把凝固速度与凝固过程的传热联系在一起。
3
（2）体积凝固过程
体积凝固又称糊状凝固，是在整个液相中进行的， 常见于具有一定结晶温度范围的合金的凝固方式。 标志凝固速率的主要指标是固相体积分数ΦS随时间 的变化率： RV dS d -----体积凝固速率
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3. 平界面一维凝固过程溶质的扩散与再分配 平界面凝固过程中的传质与溶质再分配是最基本的传质问 题，对许多复杂传质问题的研究是在此基础上进行的。 （1）平衡凝固条件下的溶质再分配 （2）固相无扩散而液相均匀混合的溶质再分配 （3）固相无扩散，液相中有扩散而无对流的溶质再分配 （4）液相中部分混合（对流）的溶质再分配
则有： wsds wLdL wc0
液相和固相体积分数之间有：
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2. 传质过程的控制方程
液相和固相内传质的基本方程
菲克第一定律：
Jc

D
wc n
菲克第二定律：
wc


D 2 wc
Jc----溶质扩散通量；D----溶质扩散系数；wc---合金溶质质量分数
τ----时间；
第四章 凝固过程中的传热、传质与液 体流动
一、凝固过程中的传热 二、凝固过程中的传质 三、凝固过程中的液体流动
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一、凝固过程中的传热
在凝固过程中，伴随着潜热的释放、液相与固相降温放出物理热，定向凝 固时，还需外加热源使凝固过程以特定的方式进行，各种热流被及时导 出，凝固才能维持。 宏观上讲，凝固方式和进程主要是由热流控制的。
CS* K0C0 1 fS K01
CL*
C0
f K0 1 L
的 分和液相的平均成分均增加，
而当温度降到平衡时的固相线时，仍然有一部分液 体
残留，甚至达到共晶温度时还有液体存在，而发生
共
晶转变。这种凝固的结果是在固相中存在偏析。17
*若在固相中有扩散时：
δs为固相内溶质反扩散的边界层厚度，其 值为：
d d
h
根据定解条件求出：TS Nhomakorabea Ti

Tk Ti
erf

2
as
erf 2
x
as
TL
TL0

TL0 Tk
erfc 2
aL
erf
2
x
aL
TM
Ti
TM 0
Ti erf
CL, CS---固、液质量热容，ΦS, ΦL----固相液相体积分数，之和为1，设ρS=ρL
q RV h c M M=V/A-----铸件模数
可由传热条件q估算体积凝固速率，或反过来。
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2. 凝固过程传热的方式与特点 凝固过程传热的方式： 导热 ：q dT ---傅里叶第一定律，
2
x
aM
上式分别反映了凝固过程不同时刻铸件及铸型中的温度分布。
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（2）实验法
通过在铸型中安放热电偶直接测出合金凝固过程的温度变化情况。
可以看出铸件中不同位置上：
开始凝固时间、凝固结束时间、
凝固进行时间、在凝固过程中不同时刻
两相区的宽度。
可用模型实验并借助于相似原理
推广到实际铸件。
1. 传热条件与凝固方式 2. 凝固过程传热的方式与特点 3.凝固过程传热的研究方法 4. 温度场与凝固过程的分析
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1. 传热条件与凝固方式 （1）定向凝固过程
通过维持热流一维传导使凝固界面逆热流方向推进， 完成凝固，称为：定向凝固。 从界面附近的热流平衡可获得凝固速率的控制方程，忽略凝固区的厚度， 则：结晶潜热q3与q1，q2之间满足热平衡： q2 - q1 = q3
式中： Ds——固相中溶质扩散系数 v固一液界面推进速度。
式(4-1)等式左侧为面积A1，它表示凝 固出dfs固相量时，合金排出的溶质量。 式右侧第一项为图中的面积A2，它表 示液相内溶质的增量；第二项为图中 的面积A3，它表示固相溶质反扩散的 增量，近似地用高为δs，底为dCS*的 三角形面积来表示。设凝固厚度与凝 固时间具有平方根的关系：
a—为无量纲的溶质扩散因子，或无量纲扩散时间,fourrier数
当a=0，即固态无扩散时的Sheil公式，非平衡杠杆定律
CS* k0C0 1 fS K01
当a=0.5时，
C*S

k0C0
1 1 K0 fS
这就是平衡条件下的杠杆定律。时间条件下对于像O、N、C那些小原子来说 扩散速度较快，在铸造条件下也可以看成是近似地符合平衡凝固条件。

1
fs dCS*
K0
df s 1 fs

dCS *
1

K
0
C
* S
积分后可得：ln 即：
CS
*

ln
A1
fS
K0 1
CS * A 1 fS K01
由fS = 0时，可得：A = K0C0
称为Scheil公式，非平衡结晶时的杠杆定律，亦称正 常偏析方程。可见随着固相的分数增加，其界面上
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（1）平衡凝固条件下的溶质再分配
凝固的固相成分计算：设该温度下 固、液相的质量分数为fs和fL，则两 者间符合杠杆定律：
C S fS C L f L C0
CS * f S
CS* K0
1
fS
C0
固相中的溶质分配关系为：
C*S

1

K0
1
C0 K0

f
S
接近固相线时，残存的液相中成 分为C0/K0，当全部凝固后合金成 分为C0。
对方程的解，除了初始条件、边界条件和溶质守恒条件外，还应包括：
界面上的溶质分配系数：
k

w*s w* L
以及溶质守恒条件：
LwL* dVL sws*dVs

DL

L


wL n

左边为凝固过程中由于溶质再分配而自凝固界面排出的溶质量，通过扩 散进入液相。 通过数值计算获得传质问题的解，求出析出固相的溶质质量分数与凝固 过程中液、固相中溶质质量分数分布的变化情况。
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4. 温度场与凝固过程的分析 铸件凝固时间的确定：
对温度场研究的目的是进行凝固过程分析。 以无限大平板铸件为例，由铸件放热与铸型吸热相等Q1=Q2，可得
铸件凝固层厚度： K ， K为常数
Chvorinov根据大量实验结果的分析，创造性地引入铸件模数的概念，
得出了著名的平方根定律： M K c
假设凝固过程释放的热量通过铸型散出，其热平衡条件为：Q1 = Q2 + Q3 Q1 -----单位时间铸型吸收的热量， Q2 -----整个铸件释放的物理热， Q3 ----凝固过程放出的结晶潜热。
Q1=qA， Q2 V ScSS LcLL Q3 RVV h
A---界面面积，q—热流密度，ε---冷却速率（-）， V—体积,
典型金属凝固过程的主要传热方式
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典型金属凝固过程的主要传热方式：
K----导热；C---对流；R----辐射 N---牛顿换热。
实际凝固过程的传热的影响因素还有：
（1）凝过程中铸件的收缩形成的间隙；
（2）结晶潜热的处理是凝固过程研究的又一特殊问题，对于平界面凝固，
可将凝固界面看成是一个移动的热 源进行处理，而对于体积凝固可采用折
τc----凝固时间，K—经验常数， M---铸件摸数，定义为铸件体积与有效散热面积之比。 用该式可以估算铸件或局部的凝固时间。
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二、凝固过程中的传质
1. 凝固过程中的溶质平衡 2. 传质过程的控制方程 3.平界面一维凝固过程溶质的扩散与再分配 4.枝晶凝固过程中的溶质传输
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1. 凝固过程中的溶质平衡
R1 R2
21
富集区中溶质的最高含量随凝固速度的增加而上升。
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最初过渡区内，固相成分从k0C0 增加到C0，固一液界面上的液相 成分从C0增至C0/k0,而达到稳定态， 与此同时，平界面的温度达到固相 线温度Ts(C0)。在稳定态范围内， 固相成分始终是C0不变，固一液界 面上的液相成分同样也是保持C0/k0 不变；在固一液界面前沿的液相内， 溶质分布符合指数衰减规律，当液 相内溶质富集层的厚度等于剩余液 相区的厚度时，溶质扩散受到末端 边界的阻碍，从而使固一液界面处 的Cs*与C*L同时升高，最终过渡区 的溶质分布可以近似地用Scheil公式 来表示，因为它的范围很窄，整个液 相区内的溶质可视为是均匀的。
相似：
几何相似kl、物理相似kλkα、时间相似kτ
边界条件相似ks
按傅里叶导热微分方程可得相似条件：
k k 1
, ,
即： l ,2

,,
l ,,2
,,




l2
k 2l
Fo=
l2
----定义为傅里叶数是
两个过程相似的必要条件是Fo相等。
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（3）数值计算法
数值计算法是以传热基本方程和边界条件为基础，采用 差分法或有限元法进行温度场的数值计算。 该方法几乎可以解决一切条件下的凝固温度场的计算问 题。但有一些特殊问题要考虑： 1）边界条件的处理， 2）结晶潜热的处理。 数值模拟是近几年来发展最快的方法，有很多成熟的软 件进入应用阶段。
d 2CL dx,2
R DL
dCL dx,2
0
Tiller等通过求解界面前扩散方程确定了
凝固过程达到稳定时的溶质分布函数：
CL

C0
1


1
K K0
0
R x, e DL

界面前沿的富集区内，成分按指数关系衰减。
20
当 x, DL R
时
，
CL

C0


C0

1 K0
s / L t / t f 1/2
s——已凝固的长度 tf——总的凝固时间； t——与s相对应的凝固时问。
这样，凝固速度可表示为：
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整理后，即可得固相有扩散、液相完全混合的溶质分布方程。
CS* k0C0 1 1 2ak0
f k0 1/12ak0 s