导数的意义

函数 y f ( x) 从x1到x2的平均变化率
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
(几何意义） 表示什么？
曲线y f ( x)上割线P 1P 2的斜率
导数f ( x0 )的几何意义？
/
导数的定义
表示函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率 反映函数f(x)在x=x0附近的变化情况
例1. 求曲线y=x2+1在点（1，2）处的切 线方程.
一般地, 经过函数y=f(x)图像上一点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为:
y f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
求曲线y x在x 1处的切线方程。
导数的几何意义
【复习与思考】 1.写出函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率; 2.观察右图,你能说出平均变化率
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim x 0 x
【导数的几何意义】
函数f(x)在点x=x0处的导数就是曲线 在点P（x0,f(x0))处的切线的斜率：
f ( x0 x) f ( x0 ) k f ( x 0 ) lim x 0 x
f ( x1 x ) f ( x1 ) y x x
y
f(x0+Δx)
P
的几何意义吗?
f(x0)
P0
O
x0

x0+Δx
x
3.当Δx 0时,割线P0P的位置会怎样变化?据此,
你能说出 f ( x 0 ) 的几何意义吗?
y
f(x0+Δx)
P
f(x0)
P0
O
x0

x0+Δx
x
例1.已知函数 f ( x ) 2 x 3 x 1, 求f ( 3)
2
【小结】 利用定义求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：
f f ( x x ) f ( x ) 0 0 (1)求平均变化率 x x f (2)取极限,得导数 f ( x0 ) lim x 0 x
【归纳小结】
1.切线的概念: 设P0是函数y=f(x)图象上一定点, P是函数图象上任一点,当点P无限趋近于P0时, 割线P0P的极限位置叫做过点P0的切线. 2.导数的几何意义：
2.若位移v关于时间t的函数关系为v=v(t),
则 v/(t0)表示在时刻t0处的瞬时加速度.
【课堂练习】
1、求经过曲线y=x2+3x上一点A（2，10） 处的切线方程.
2、已知作直线运动的物体，其位移s与时间t的 函数关系是 s=3t-t2 （1）求此物体的初速度 （2）求物体在t=2时的瞬时速度 （3）求从t=0到t=2的平均速度
函数y=f(x)在点x=x0处的导数即为曲线
y=f(x)在点P（x0,f(x0))处的切线的斜率：
即：
k f ( x 0 )
【思考交流】 1.下图是函数y=f(x)的图象.
(2)试比较 f (a )、f ( g )的大小；
( 3) f ( x )在( , b )和(d , )内都为增函数， 你能说出它们的递 增有什么不同吗？
y
(1)试判断f (a )、f (b)、f (c )、f (d )、f (e )的符号
O
a g b
c
d
e
Biblioteka Baidu
x
2.函数y=x3在点(0,0)处的切线是否存在?若存在,
求出切线的斜率,若不存在,说明理由.
导数的物理意义: 1.若位移s关于时间t的函数关系为s=s(t),
则 s/(t0)表示在时刻t0处的瞬时速度；
作业
1.求y 2 x 1在x0到x0 x之间的平均变化率.
2
2 （ . 1）求y
x 在x 1处的导数.
2
（2）曲线y x 1在点（ 1， 3） 处的切线的方程. 3.若一物体运动方程如下： 3t 2 2 （0 t 3) s ， 2 (t 3) 29 3(t 3) 求此物体在t＝１和t＝３时的速度.