【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之92抽象数列

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之92抽象数列

一、选择题（共7小题；共35分）

1. 若且，则等于

A. B. C. D.

2. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的

数列满足，则该函数的图象是

A. B.

C. D.

3. 对于函数，可以发现有许多性质，例如等，下列

关于的性质一定成立的是

A.

B.

C.

D.

4. 已知二次函数，记，若数列

的前项和单调递增，则下列不等式总成立的是．

A. B. C. D.

5. 已知，，，，，则为

A. B. C. D.

6. 某市2015年前个月空气质量优良的总天数与之间的关系如图所示．若前月的月平均

空气质量优良天数最大，则值为

A. B. C. D.

7. 在中，，，，且对任意，，都有，

，．给出下列三个结论：

①；

②；

③．

其中正确结论的个数是

A. B. C. D.

二、填空题（共9小题；共45分）

8. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫

做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为，那么这个数列的前项和．

9. 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横纵坐标分

别对应数列的前项，如表所示：

按如此规律下去，则．

10. 将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作

．如第行第列的数为，记，则是．

11. 在数列中，设，，其中，，

，，当时，使的的最大值为．

12. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意的，，

则的最大值为．

13. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则

的最大值为．

14. 已知数列为等差数列，其前项和为，且．若存在最大值，则满足

的的最大值为．

15. “整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，

，，则第个数对是 .

16. 如图所示是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第行的实心圆点的个数是

A. B. C. D.

三、解答题（共10小题；共130分）

17. 已知数列的第项是关于的二次函数，，，，求．

18. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都是同一常数，那么这个数列叫

“等和数列”，这个常数叫做这个数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为，求：

（1）的值；

（2）该数列的前项和．

19. 如图，已知曲线：及曲线：上的点的横坐标为

．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于

轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．

（1）试求与之间的关系，并证明：；

（2）若，求证：．

20. 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第行第列的数是

多少?

第列第列第列

第行

第行

第行

21. 如果无穷数列满足下列条件：①；②存在实数，使．其中，

那么我们称数列为数列．

（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；

（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，，．证明：数列是数列；

（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．

22. 设数列的通项公式为．数列定义如下：对于正整数，是使

得不等式成立的所有中的最小值．

（1）若，，求；

（2）若，，求数列的前项和公式．

23. 设数列满足，．

（1）求证：；

（2）求证：．

24. 已知函数，数列｛｝分别满足，，且．定义

为实数的整数部分，为小数部分，且．

（1）分别求｛｝的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

25. 已知数集且有性质：对任意的，

，与两数中至少有一个属于．

（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（2）证明：，且；

（3）当时，证明：，，，，成等差数列．

26. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．

（1）若具有性质．且，，，，，求．（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由．（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．

答案

第一部分

1. C 【解析】本题运用赋值法，令，，则，所以

．所以．

2. A 【解析】由，得，即．

3. C 【解析】当为奇数时，；当为偶数时，．

4. D 【解析】提示：当时，，结合二次函数图象可得．

5. D

6. C

7. A 【解析】因为，

所以组成首项为，公差为的等差数列，

所以．

又，

所以，

因为，

所以组成首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以，

所以，

所以①②③都正确，故选A．

第二部分

8.

【解析】由已知得，，，，所以此数列的周期，

．

9.

【解析】奇数项，偶数项分开看，奇数项为，，，，发现，偶数项为，，，

所以．

当时，，故．

当，．

所以．

10.

【解析】由题可得数列第行第一个数数，所以第行第一个数是，所以，第行的

第个数是，所以．

11.

12.

【解析】当时，或；