数学答案(理)

山西大学附中

2019～2020学年高二第一学期12月模块诊断（理）

数学评分细则

考试时间：120分钟 满分：150分 一． 选择题（每小题5分，共60分）

ACBBD ，CABDC ，DA

二、填空题(本题有4个小题，每小题5分，共20分)

13. 5- 14.椭圆 15. (x −1)2+y 2=2

16.3102

- 三、解答题（本题有6个小题，共70分，请将推理、计算过程写在答题卡上。

17．（10分）在ABC ∆中，已知点(3,2)A ，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标.

解：（1）由边上的高所在直线方程为得， 则 …………………………2分 又∵，∴直线的方程为， …………………………4分

即（或） ………………………5分

（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程： ……………7分 解得： ………………………9分 即点坐标为 ……………………………10分

18．（12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为

（1）求圆的方程；

（2）过点(1,3)作圆的切线，求切线方程.

解：（1）设圆心，

AC BM 340x y --=AB ()172

y x =-AB B AB ()172y x =-12

k =12AB k k

=-=-()3,2A AB ()223y x -=--280x y +-=28y x =-+AC B 280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩

40x y =⎧⎨=⎩

B ()4,0

C C x C C (,0)(0)C a a >

则圆心到直线的距离. …………………………1分 因为圆被直线截得的弦长为

∴. …………………………3分

解得或（舍）， …………………………5分 ∴圆：. …………………………6分

（2）当切线斜率不存在时，直线方程为：1x =，与圆相切，满足题意；………………8分

当切线斜率存在时，设直线方程为：3(1)y k x -=-，即：30kx y k --+=

则：221k =+ ………………10分

解得：512

k =-

………………11分 此时，切线方程为：53(1)12y x -=--，即：512410x y +-= 所以，所求切线方程为：1x =或512410x y +-= ………………12分

19.(12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，,,D E F 分别为111,,AA AC A C 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．

（1）求证：AC ⊥平面BEF ；

（2）求二面角1B CD C --的余弦值；

解：（1）在三棱柱中，

平面，

∴四边形为矩形． 又，分别为，的中点，

………………2分

又，

， ………………4分

,,BE EF E BE BEF EF BEF =⊂⊂平面平面

平面． ………………5分

（2）由（1）知，

由平面，

平面． ………………6分

如图建立空间直角坐称系．

由题意得，，，，，

，，设平面的法向量为，

，， C 3440x y --=|34|5

a d -=3440x y --=232231d R =-=3a =13

a =-C 22(3)4x y -+=111ABC A B C -1CC ⊥ABC 11A ACC E F AC 11A C AC EF ∴⊥AB BC =AC BE ∴⊥AC ∴⊥BEF 1EF CC ∥1CC ⊥ABC EF ∴⊥ABC E xyz -()0,2,0B ()1,0,0C -()1,0,1D ()0,0,2F ()0,2,1G ()=2,01CD ∴,()=1,2,0CB BCD (),a

b

c =,n 00

CD CB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n 20 20a c a b +=⎧∴⎨+=⎩

令，则，，平面的法向量，………………8分

又平面的法向量为， ………………9分

． ………………11分 所以二面角的余弦值为

………………12分 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，(0,1)B ，直线，圆：

.

（1）若点B 在圆C 外，求实数b 的取值范围； （2）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

解：(1) 化为 ………………1分 由， ………………2分

又因为点B 在圆C 外，所以： 22

(03)(12)13b -+->- ………………3分

解得：3b > ………………4分

∴ 的取值范围为：(3,13) ………………5分

（2）∵圆的圆心在直线上,所以,设圆心，…………6分

又半径为1，

则圆的方程为: ，

又∵，

∴点在的中垂线上， ………………7分 的中点得直线: ………………8分 ∴点应该既在圆上又在直线上，即:圆和直线有公共点 ………………9分

∴ ， ………………11分 ∴ 终上所述, 的取值范围为: ………………12分 21．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，

2a =1b =-4c =-∴BCD ()2,14=--，,n 1CDC ()=0,2,0EB 21cos =21

EB

EB EB ⋅∴<⋅>=-n n n 1B CD C --:24=-l y x C 22640+--+=x y x y b M l M N =NA NO M a 22640+--+=x y x y b ()()22

3213-+-=-x y b 13013得->

m 32y =N M m M m 3241,2

--≤a 91344≤≤a a 91344，⎡⎤⎢⎥⎣⎦