三角函数高考题及练习题(含答案)

三角函数高考题及练习题（含答案）

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx＋φ)的图象及性质．

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．

3. 三角函数是每年高考的必考容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

1. 函数y ＝2sin 2⎝

⎛⎭⎪⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．

答案：π 奇

解析：y ＝－cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3

解析：在(0，＋∞)作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．

3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝

⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4

解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π

2

，

所以φ＝π

4

.

4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．

答案：34

解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区

间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3

4

.

题型二 三角函数定义及应用问题

例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.

(1) 若点P 的坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2，32，求f(θ)的值；

(2) 若点P(x，y)为平面区域

⎩

⎪

⎨

⎪⎧

x＋y≥1，

x≤1，

y≤1

上的一个动点，试确定角θ的取值围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．

解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝

3

2

，cosθ＝

1

2

，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据

定义及角的围得角θ＝

π

3

，从而求出f(θ)＝2)．

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤

π

2

，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝

2sin

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

θ＋

π

6

，∴当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝

π

3

，f(θ)max＝2.

(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为

2

10

、

25

5

.求：

(1) tan(α＋β)的值；

(2) α＋2β的值．

解：由题意得cos α＝

2

10

，cos β＝

25

5

，α、β∈

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

0，

π

2

，所以sin α＝1－cos2α＝

72

10

，sin β＝1－cos2β＝

5

5

，

因此tan α＝7，tan β＝

1

2

.

(1) tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝

7＋

1

2

1－7×

1

2

＝－3.

(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝

－3＋

1

2

1－（－3）×

1

2

＝－1.

又α＋2β∈

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

0，

3π

2

，所以α＋2β＝

3π

4

.

题型二三角函数的图象与解析式问题

例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．

(1) 求f(0)的值；

(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间

⎣⎢

⎡

⎦⎥

⎤

0，

π

3

上的取值围．