保角变换.

5 -10
10
1.2 复变函数
三次函数
• 定义
w = z3
➢ 分析
u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y3xy2 -iy3
u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3
• 性质
对称性
无周期性 无界性 单值性
2000 1000
0 -1000 -2000
注：通常所谓某区域 D 是连通的，即指 D 中任何两点都 可以用完全属于 D 的一条折线连接起来.
区域不包括边界点。
（8）边界：若 z0 点的任意一个邻域内既有区域 D 的 点，又有不属于 D 的点，则称 z0 为区域 D 的一个边界 点. 由 D 的全体边界点组成的集合称为 D 的边界或边 界线.
复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
• 典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的；
|z|<2是单连通的，1<|z|是复连通的。
② 映射
• 相同点 在形式上：y = f(x), w = f(z)
• 不同点 在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： • 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲 线表示； • 复变函数不能用一个图形完全表示。
有点的集合称为 z0 的 邻域.
（2）去心邻域：以复数 z0 为圆心，以任意
小的正实数 为半径作一圆，则满足 0 z z0 的点的集合称为 z0 的一个去心 邻域.
（3）内点：对于平面点集 G ， 设 z0 G ，若 z0 及其邻域均属 于 G ，则称 z0 为 G 的内点.
（4）外点：若 z0 及其邻域均不属于点集 G ，则称 z0 为该点集的 外点.
（9）闭区域：区域 D 及其边界所组成的点集称为闭
区域，以 D 表示闭区域. 注：与闭区域相比较，把不含边界的区域 D 称
u = ln r,
v=φ • 性质
对称性 非周期性 无界性 多值性
2 1.5
1 0.5
0
5 4 3
1 2 3 4
2 1
5
1 0 -1
-2 -1 0 1
2 1 0 -1 2 -2
1.2 复变函数
三角函数 • 定义 w = sin(z) • 分析 u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y) • 性质 对称性 周期性 无界性 单值性
20 0
-20
-5 -2.5
0 2.5
20 0
-20
-5 -2.5
0 2.5
4 2 0 -2 5 -4
4 2 0 -2
5
-4
1.2 复变函数
三、单值与多值函数
单值函数：每一个自变量复数z对应一个确定的复 数w的值，则称w = f (z)为单值函数。
多值函数：每一个自变量复数z对应几个或无穷多 个复数w的值，则称w = f (z)为单值函数。
1.2 复变函数
➢ 二、基本函数
二次函数 • 定义 w = z2 • 分析
➢ u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2
➢ u = x2 -y2 , v = 2xy
• 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性
200
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
f(z) = ln(z)
复变函数的分类
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算 无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
整式
分式
幂级数
傅立叶级数
➢ 分析与比较：
实变函数与复变函数
① 定义域和值域
• 相ห้องสมุดไป่ตู้点：
都是数集
• 不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示；
-1 0
-2.5
1
-5
2
u = exp(x) cos y ,
v = exp(x) sin y
• 性质
不对称性
4 2
0
5
周期性：
-2
2.5
-4
exp(z+2πi)= exp(z) -2
0
无界性 单值性
-1 0
-2.5
1 -5
2
1.2 复变函数
对数函数 • 定义
➢ w = Ln(z) • 分析 u + iv = Ln( reiφ) = ln r + iφ
• 联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
③ 结构
• 相同点： 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
• 不同点： 基本实变函数 • xn, x1/n, exp(x), ln(x), sin(x), arctan(x) 基本复变函数 • zn, z1/n, exp(z),ln(z) 原因 • cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
（5）开集：若G 内的每个点都是内点，则称 G 为开集.
（6）连通集：若连接G 内任意两点的折线也属于 G ，则称G 为 连通集.
内点
Z1
.
Z2
界点
.
外点
.
（7）区域：区域严格的定义是指同时满足下列两个条 件的点集：
(i) 全由内点组成；（开集性） (ii)点集中的任意两点都可以用一条折线连接起 来，且折线的点全都属于该点集； （连通性） 区域可用符号 D 表示。
-10 -5 0
10 5 0
-5 5
10 -10
2000 1000
0 -1000 -2000
-10 -5 0
10 5 0
-5 5
10 -10
1.2 复变函数
指数函数
5
• 定义
2.5
0
5
w = exp(z)
-2.5
2.5
-5
• 分析
0 -2
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny]
1.2 复变函数
➢ 一、概念
定义
• 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域 （值域）的映射。
• 实变函数：f :x→y
• 复变函数：f :z→w。即复数z通过某种一定的
规则和复数w联系在一起，称w为宗量z的函 数。
➢ 举例
f(n) = fn = (1+i)n, n∈N
f(z) = zn
f(z) = exp(z)
作业：
P5: 1 (2)、 （4）、（6）、（8）、（10）； 2 （4）、（6）； 3 （5）、（6）、（7）、（8）。 P9：2（1）、（3）、（5）、（7）、（9）； 3.
1.3 导数
一、基本概念
（1）邻域：以复数 z0 为圆心，以任意小的
正实数 为半径作一圆，则满足 | z z0 | 的所