直线与平面、平面与平面的相对位置

结论：如直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线。
2.两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么该 两个平面垂直；反之，如果两平面垂直，那么经过第 一个平面内一点作垂直于第二个平面的直线必在第一 个平面内。
q D
p
A
K
B
C
例11：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。
e' a'
f'
a' m' b' n' c'
d'
e'
e c
d
n
am
bf
分析：∵△ABC与△DEF交线的正面 投影m'n'为△DEF的DE、EF的正面投 影d'f '、e'f '与△ABC的正面投影的交 点，由m'n'求出m、n，mn为可见与 不可见的分界线。
判别可见性：∵V面m'n'f '在△a'b'c' 的上方，∴mnf 可见，demn被△ABC 遮挡部分为不可见。
2）若两投影面垂直面相互 平行，则它们具有积聚性 的那组投影必相互平行。
c' d'
g' e'
a'
b' f '
g
c df
e
a
b
例3：过点K作平面平行于△ABC。
解： b' b
a'
l'
c' • k' h'
a
l
• ck
h
分析：按几何条件， 只要过点K作两相交 直线KL、KH对应地平 行于已知平面的一对 相交直线，此平面即 为所求。
§1-5 直线与平面、平面与平面 之间的相对位置
一、平行问题
1.直线与平面平行 定理：直线平行于平面上的某一条直线。
即：如果直线平行于平面，则直线的各面投 影必与平面上一直线的同面投影平行。
例1：过点M作直线MN平行于平面△ABC。
解：
b'
有多少解？
c'
a'
n' m'
b a
n m
c
无数解
例2：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。
1
影a1；过C作CⅡ∥V面，即过c
2 k
c 作c2∥OX轴，并求出c'2'。过D
作DK垂直于AⅠ、CⅡ，即作
a
dk⊥a1，d'k'Байду номын сангаасc'2'
投影特性：如果一直线垂直于某一平面，则该直线的水平 投影必定垂直于该平面内水平线的水平投影；直线的正面 投影必定垂直于该平面内的正平线的正面投影。
例10：求点D到正垂面△ABC的距离。
线必垂直于该平面。
L
C
B
PA
D
G
例：过已知点D 作平面△ABC的垂线。
d'
分析：为了使过点D所作的直线
c' 垂直于△ABC，可在平面内作一
a'
1' k'
水平线和正平线，然后过点D作 直线垂直于平面内的水平线和正
2' b'
X
d
b
平线。过点A作AⅠ∥H面，即过 O a'作a'1'∥OX轴，并求出水平投
n'
a'
d' b'
1' (2 ')
k' • c'
e'
n
a
b
2 d(e)•(1k)
c
借助于辅助线的方法求出交点。
判别可见性：由V面的b'c'与d'e'的重 影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2 在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k' 可见，k'e'被遮住部分不可见。
例4：求直线MN与平面△ABC的交点。
k' d'
b' X
a
k b
e
d
c' O
c
分析：过已知点D作 直线DK垂直于平面△ABC， 然后包含直线DK作平面 （可作无穷多个），图中 任取一点E，则平面DEK垂 直于△ABC。
解：
b' a'
b a
有多少解？
c'
n' m'
nm c
有唯一解
正平线
因为△ABC为正垂面，所 以直线MN的正面投影m'n' 必定平行于a'b'c'。 又因为MN为正平线，所 以mn平行于OX轴。
2.平面与平面平行
几何条件： 1）若一个平面上的两相交
直线分别平行于另一平 面上的两相交直线，则 两平面相互平行。
a'
1'
(2') k'
f ' b'
b
f
2
1k
e
a
分析：因△DEF的水平投影 def有积聚性，交点K是 △DEF内的点，它必在def
d' 上，又因K是AB上的点，它 的水平投影k必在ab上，因 此k就是K的水平投影。由k 可求得k'。
由于ak在平面的前方，故 正面投影ak可见， kb 被平面遮住的部分为不可 见。
d'
c'
b'
a' k'
X
b
O
a
dk
c
因为△ABC的正面投影有积聚性，平面内 的正平线的投影与a'b'c'重合，与△ABC垂 直的直线的正面投影必垂直于a'b'c'。正 垂面内与水平面平行的直线，只有正垂 线，可求出k'。正垂线的水平投影与OX轴 垂直，因此过点D所作正垂面垂线的水平 投影必平行于OX轴，即与正垂面垂直的 直线是正平线，根据点的投影规律可求 出k。
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线， 同时交线上的点是两平面的共有点。
讨论：A.求两平面的交线（方法）
1）确定两平面的两个共有点；
2）确定一个共有点及交线的方向。
B.判别可见性。
例5：平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相 交，求交线并判别可见性。
d
例2：求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。
a' k'
由图知：圆平面是水平面，其 正面投影有积聚性，可先求出V 面的投影k'，再求出H面投影k。
b'
b
由于a'k'在水平面的上方，故
•k
水平投影ak可见，kb被圆遮住 的部分为不可见。
a
2.特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交
例3：求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。
例6：求平面△ABC与铅垂面△DEF的交线KL，并判别可见性。
c' e'
a' f ' k'
l'
b'
b f
kl
a
e
d' 分析：∵△DEF是铅垂面， ∴其水平投影有积聚性。 可直接求出k、l，再由k、l 求出k'、l'，交线是可见与 不可见的分界线。
d
c
三、垂直问题
1.直线与平面垂直
定理：如果一直线垂直于某一平面内的两相交直 线，则直
作图：KL∥AB， KH∥BC。
二、相交问题
1.一般位置直线与特殊位置平面相交 交点是直线与平面的共有点。
讨论：（1）求直线与平面的交点； （2）判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。
例1：求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。
e'
b'
d' kn''•1(' m')c'
a'
2'
作图：连c'k'与a'b'交于d'，由d'求 出d，连cd交mn于k。k为所求。
dbm a k•
1 (2) c
n
判别可见性：在H面中mn与ac的交 点1（2），即是直线MN与平面上AC 边对H 面的重影点，求出1'、2'； 因1'的Z坐标大，所以kn可见。