直线与平面、平面与平面的相对位置
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第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
4.2 相交问题
【例4-5】 (1)求交点，如图4-9(c)所示。
①在铅垂线的水平投影上标出交点的水平投影k。
②在平面内过K点的水平投影k作辅助线ad，并求出它的正面 a′d′。
③a′d′与m′n′的交点即交点的正面投影k′。
4.2 相交问题
【例4-5】
(2)直线的可见性可利用重影点法来判断。因为直线是铅垂线， 水平投影积聚为一点，故不需要判别其可见性，只需判别直线 正面投影的可见性即可。直线以交点K为分界点，在平面前面 的部分可见，在平面后面的部分不可见。如图4-9(c)所示，选 取m′n′与b′c′的重影点1′和2′来判别。1点在MN上，2点在BC上， 从水平投影看，1点在前可见，2点在后不可见。即k′1′在平面 的前面可见，画成粗实线；其余部分不可见，画成虚线。
4.2 相交问题
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
【例4-7】
求一般位置平面ABC与铅垂面P的交线MN及判别平面正面投 影的可见性，如图4-11(a)所示。 【解】分析：如前面所述，把求两个平面交线的问题看成是求 两个共有点的问题。所以欲求图4-11(b)中两个平面的交线，从 对图4-11(a)的分析来看，只要求出交线上的任意两点(如M和N) 即可。因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影 必然位于铅垂面的积聚投影上；交线的正面投影可利用线上定 点的方法求出。 作图步骤如下：
4.1.2 平面与平面平行 条件
若一个平面内的两条相交直线对应 平行于另一个平面内的两条相交直
线，则这两个平面平行。
4.1平行问题
1.两个一般位置平面平行
【例4-3】 过点E作一个平面与平面ABC平行，如图4-6(a)所示。
E ABC 作图步骤如图4-6(b)所示。 (1)过点E作ED∥AB(ed∥ab、e′d′∥a′b′)。 (2)过点E作EF∥AC(ef∥ac、e′f′∥a′c′)，则平面DEF 所求。
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
b' e' d' a' a' c' f' X e b c 2 1 a d a d a d 1 X e b c 2 f' X e b c c' f' a' c' e' 2' 1' d' 1' d' b' e' 2' b'
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
直线与平面、两平面的相对位置
如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
直线与平面平面与平面的相对位置
解题过程： ①过b’作b’d’∥e’f’，求出db； ②检验bd是否与ef平行，
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
6.第六讲直线与平面.两平面的相对位置(一)
一般位置平面与特殊位置平面相交
V M B K P
m c
f n m
b k l a
AL
F
m N C f b n k a l
k b
a l
f
cH
c
PH
两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交 叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性， 如右图由H投影图得知fkm在特殊位置平面之后，故V投影图上m′k′f′与 a′b′c′重叠部分不可见，画虚线，f′ k′l′n′与 a′b′c′重叠部分可 见，画实线。
一、直线与平面平行
P C A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
例题1 试判断直线AB是否平行于定平面
n′ m′
p′
d f e a c g b
e
n m p
直线MN 平行于定平面P
d
f a g b
结论：直线AB 不平行于定平面
c
例题2
试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面。 c f e b k a
一、直线与平面相交的特殊情况
1、一般位置直线与垂直面相交 2、垂直线与一般位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面(垂直面)相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
直线与平面相交
P
A
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共 有点。交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见 的分界点。
n
三、直线与一般位置平面相交
一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性 ，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平 面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的 步骤：
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
画法几何及土木工程制图第4章直线与平面平面与平面的相对位置
由初等几何知，如果平面外的一直线平行于平面上的任一 直线，则直线平行于该平面。
图4-1a是直线与平面平行的立体示意图：直线MN与平面P 上的直线KL平行，则MN∥P。 在图4-1b中，由于mn∥kl、m‘n’∥ k‘l ’，即MN ∥KL，KL是平面 P上的直线，所以MN∥P
P’
P
(a)
(b)
图 4-1 直线与平面平行
求空间上点到直线的距离
空间分析
作图
作图步骤：
（1）过A点作BC线的垂 面 （2）包含BC作辅助铅垂 面 （3）求交 点 （4）求距 离
PH
距离
直线垂直投影面垂直面
(a)
(b)
平面与平面垂直的几何条件
(a)
(b)
(c)
过点S做平面垂直于 ABC所给定的平面
判别两平面是否相互垂直
判断可见：两平面垂直
可见性。
a’
d’
c’
k’ f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题,由于特殊位置 平面的某些投影有积聚性，交线可 直接求出。
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
交点与交线的性质 B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
➢直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上
，因而交点是直线与平面的共有点。
➢两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。
➢求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有
图4-1a是直线与平面平行的立体示意图：直线MN与平面P 上的直线KL平行，则MN∥P。 在图4-1b中，由于mn∥kl、m‘n’∥ k‘l ’，即MN ∥KL，KL是平面 P上的直线，所以MN∥P
P’
P
(a)
(b)
图 4-1 直线与平面平行
求空间上点到直线的距离
空间分析
作图
作图步骤：
（1）过A点作BC线的垂 面 （2）包含BC作辅助铅垂 面 （3）求交 点 （4）求距 离
PH
距离
直线垂直投影面垂直面
(a)
(b)
平面与平面垂直的几何条件
(a)
(b)
(c)
过点S做平面垂直于 ABC所给定的平面
判别两平面是否相互垂直
判断可见：两平面垂直
可见性。
a’
d’
c’
k’ f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题,由于特殊位置 平面的某些投影有积聚性，交线可 直接求出。
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
交点与交线的性质 B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
➢直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上
，因而交点是直线与平面的共有点。
➢两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。
➢求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
工程制图第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
m
b k f n
c
l
a O
m
m
k b
f
a l
n
二、辅助平面法
A E
K 1
2
D
C
B 过AB作平面P垂直于H投影面
a
d
2
k 作题步骤： 1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 e ⅠⅡ。 O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 e 点K。
c
1
X
PH
b
a
1
第一节
第二节
平行问题
相交问题
4.2 相交问题
第三节
第四节
垂直问题
综合问题分析及解法
第一节 平行问题
一、直线与平面平行
C P A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f
e
b
a
X
f d e
O
a
g c
e f d
a
b r
X
c
O
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节
相交问题
D B
交点与交线的性质
P K A
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交 有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的 共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与 面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
X
m k b
机械制图 5 直线、平面间的相对位置
5/45
a
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
6/45
c
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
1
例 过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
2. 两平面相交
B
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
界
前，可见
k
c
作图步骤
V 投影投
射方向
还可由V面重影点确 定线段在V面的可见性。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
1) 用线上取点法求出交点的正面投影k 2)可直接从水平投影看出：KB段在平面前，即V面投影k’b’为可见。
分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。 两直线的平行问题
L
A
反之，如果直 线与平面平行， 那么在该平面内 一定有直线与该 直线平行。
EF∥△ABC
Chapter 5 Positions between Lines and Planes Liu Wei, Beijing Jiaotong University Chapter 5 Positions between Lines and Planes
选择辅助平面的原则? 有利于解题。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
a
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c
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
1
例 过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
2. 两平面相交
B
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
界
前，可见
k
c
作图步骤
V 投影投
射方向
还可由V面重影点确 定线段在V面的可见性。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
1) 用线上取点法求出交点的正面投影k 2)可直接从水平投影看出：KB段在平面前，即V面投影k’b’为可见。
分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。 两直线的平行问题
L
A
反之，如果直 线与平面平行， 那么在该平面内 一定有直线与该 直线平行。
EF∥△ABC
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选择辅助平面的原则? 有利于解题。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
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结论：如直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线。
2.两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么该 两个平面垂直；反之，如果两平面垂直，那么经过第 一个平面内一点作垂直于第二个平面的直线必在第一 个平面内。
q D
p
A
K
B
C
例11：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。
e' a'
例6：求平面△ABC与铅垂面△DEF的交线KL，并判别可见性。
c' e'
a' f ' k'
l'
b'
b f
kl
a
e
d' 分析：∵△DEF是铅垂面， ∴其水平投影有积聚性。 可直接求出k、l，再由k、l 求出k'、l'，交线是可见与 不可见的分界线。
d
c
三、垂直问题
1.直线与平面垂直
定理：如果一直线垂直于某一平面内的两相交直 线，则直
n'
a'
d' b'
1' (2 ')
k' • c'
e'
n
a
b
2 d(e)•(1k)
c
借助于辅助线的方法求出交点。
判别可见性：由V面的b'c'与d'e'的重 影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2 在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k' 可见，k'e'被遮住部分不可见。
例4：求直线MN与平面△ABC的交点。
b'
d' kn''•1(' m')c'
a'
2'
作图：连c'k'与a'b'交于d'，由d'求 出d，连cd交mn于k。k为所求。
dbm a k•
1 (2) c
n
判别可见性：在H面中mn与ac的交 点1（2），即是直线MN与平面上AC 边对H 面的重影点，求出1'、2'； 因1'的Z坐标大，所以kn可见。
§1-5 直线与平面、平面与平面 之间的相对位置
一、平行问题
1.直线与平面平行 定理：直线平行于平面上的某一条直线。
即：如果直线平行于平面，则直线的各面投 影必与平面上一直线的同面投影平行。
例1：过点M作直线MN平行于平面△ABC。
解：
b'
有多少解？
c'
a'
n' m'
b a
n m
c
无数解
例2：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。
f'
a' m' b' n' c'
d'
e'
e c
d
n
am
bf
分析：∵△ABC与△DEF交线的正面 投影m'n'为△DEF的DE、EF的正面投 影d'f '、e'f '与△ABC的正面投影的交 点，由m'n'求出m、n，mn为可见与 不可见的分界线。
判别可见性：∵V面m'n'f '在△a'b'c' 的上方，∴mnf 可见，demn被△ABC 遮挡部分为不可见。
d'
c'
b'
a' k'
X
b
O
a
dk
c
因为△ABC的正面投影有积聚性，平面内 的正平线的投影与a'b'c'重合，与△ABC垂 直的直线的正面投影必垂直于a'b'c'。正 垂面内与水平面平行的直线，只有正垂 线，可求出k'。正垂线的水平投影与OX轴 垂直，因此过点D所作正垂面垂线的水平 投影必平行于OX轴，即与正垂面垂直的 直线是正平线，根据点的投影规律可求 出k。
a'
1'
(2') k'
f ' b'
b
f
2
1k
e
a
分析：因△DEF的水平投影 def有积聚性，交点K是 △DEF内的点，它必在def
d' 上，又因K是AB上的点，它 的水平投影k必在ab上，因 此k就是K的水平投影。由k 可求得k'。
由于ak在平面的前方，故 正面投影ak可见， kb 被平面遮住的部分为不可 见。
d
例2：求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。
a' k'
由图知：圆平面是水平面，其 正面投影有积聚性，可先求出V 面的投影k'，再求出H面投影k。
b'
b
由于a'k'在水平面的上方，故
•k
水平投影ak可见，kb被圆遮住 的部分为不可见。
a
2.特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交
例3：求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线， 同时交线上的点是两平面的共有点。
讨论：A.求两平面的交线（方法）
1）确定两平面的两个共有点；
2）确定一个共有点及交线的方向。
B.判别可见性。
例5：平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相 交，求交线并判别可见性。
解：
b' a'
b a
有多少解？
c'
n' m'
nm c
有唯一解
正平线
因为△ABC为正垂面，所 以直线MN的正面投影m'n' 必定平行于a'b'c'。 又因为MN为正平线，所 以mn平行于OX轴。
2.平面与平面平行
几何条件： 1）若一个平面上的两相交
直线分别平行于另一平 面上的两相交直线，则 两平面相互平行。
1
影a1；过C作CⅡ∥V面，即过c
2 k
c 作c2∥OX轴，并求出c'2'。过D
作DK垂直于AⅠ、CⅡ，即作
a
dk⊥a1，d'k'⊥c'2'
投影特性：如果一直线垂直于某一平面，则该直线的水平 投影必定垂直于该平面内水平线的水平投影；直线的正面 投影必定垂直于该平面内的正平线的正面投影。
例10：求点D到正垂面△ABC的距离。
2）若两投影面垂直面相互 平行，则它们具有积聚性 的那组投影必相互平行。
c' d'
g' e'
a'
b' f '
g
c df
e
a
b
பைடு நூலகம்
例3：过点K作平面平行于△ABC。
解： b' b
a'
l'
c' • k' h'
a
l
• ck
h
分析：按几何条件， 只要过点K作两相交 直线KL、KH对应地平 行于已知平面的一对 相交直线，此平面即 为所求。
k' d'
b' X
a
k b
e
d
c' O
c
分析：过已知点D作 直线DK垂直于平面△ABC， 然后包含直线DK作平面 （可作无穷多个），图中 任取一点E，则平面DEK垂 直于△ABC。
作图：KL∥AB， KH∥BC。
二、相交问题
1.一般位置直线与特殊位置平面相交 交点是直线与平面的共有点。
讨论：（1）求直线与平面的交点； （2）判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。
例1：求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。
e'
线必垂直于该平面。
L
C
B
PA
D
G
例：过已知点D 作平面△ABC的垂线。
d'
分析：为了使过点D所作的直线
c' 垂直于△ABC，可在平面内作一
a'
1' k'
水平线和正平线，然后过点D作 直线垂直于平面内的水平线和正
2' b'
X
d
b
平线。过点A作AⅠ∥H面，即过 O a'作a'1'∥OX轴，并求出水平投