二次函数整章知识总结

二次函数一二节

1. 对函数的再认识，

2. 二次函数的概念

教学内容

1. 在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量

2. 一次函数y ＝kx ＋b . （其中k 、b 是常数，且k ≠0） 正比例函数y ＝kx （k 是不为0的常数）.

反比例函数y ＝

x

k

（k 是不为0的常数）. 3. 一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数。 4. 说明：⑴函数关系式必须是整式，任何一个二次函

数都可以化成()2

0y ax bx c a =++≠的形式，因此，把

()20y ax bx c a =++≠叫做二次函数的一般形式；⑵化

简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，二次项的系数（特别是用字母表示时）必须不为0.⑶一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x 有特殊的取值范围.

【典型例题】

例1. 若y ＝（m 2

＋m ）m

m x

-2是二次函数，求m 的值.

例 2. 某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，试写出当每盘的售价涨x 元时，该商店月销售额y （元）与x 的函数式，并指出自变量x 的取值范围。

例3. 如图，已知△ABC 是一个等腰三角形纸片，其中AB ＝AC ＝20cm ，BC ＝24cm 。若在△ABC 上截出一个矩形纸片DEFG ，使E 、F 两点在BC 边上，D 点和G 点分别在

边、上，设＝，，请你探

矩形AB AC EF x cm S y cm DEFG =2请你探索y 与x 之间的函数关系式。

分析：这是一道函数与几何的综合题，可利用我们所学的几何知识寻找变量x 与y 之间的关系。

例4. 已知等边△ABC 的边长为4，P 为BC 边上的一个动点。作PD ⊥AB 于D ，设BP=x ，△BPD 的面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并写出自变量的取值范围。

A

D

【模拟试题】

一、选择题。

1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. y x =+21 B. y x =+232

C. y x =-2

D. S R =π2

2. 在半径为4cm 的圆中，挖去一个半径为x cm 的圆面，剩下圆环的面积是y cm 2

，则y 与x 的函数关系式为（ ）

A.

y x =-π2

4 B. ()y x =-π22

C. ()

y x =+π24

D. y x =-+ππ216

3. 下列结论正确的是（ ）

A. 二次函数的取值范围是非零实数

B. 二次函数自变量的取值范围是所有实数

C. 形如y ax bx c =++2

的函数叫做二次函数 D. 二次方程是二次函数的特例

4. 设y y y =-12，若y 1与x 2成正比例，y x

2

1=成

反比例，则y 与x 的函数关系是（ ）

A. 正比例函数

B. 一次函数

C. 二次函数

D. 反比例函数 5. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）

A. y x =上

B. y x =-上

C. 抛物线y x =2上

D. 双曲线y x

=1上

二、填空题。

6. 若

()y m x m

=+-22

2

是二次函数，则

m =___________。

7.

二次函数

y x x =-+

1322

2中，

a =___________，

b =___________，

c =___________。 8. 已知等腰直角三角形的直角边长为a ，则它的面积

S ＝___________。

9. 边长为2的正方形，如果边长增加x ，则面积S 与x 之间的函数关系式是___________。

10. 已知一个矩形的长比宽多2cm ，设该矩形的长为x cm ，则矩形的面积S cm 2

与x cm 之间的函数关系式为______________________。

三、解答题。

11. 某店将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天销售100件，若每件商品提价1元，则每日的销量就减少10件，设售价为每件x 元，每天可获利y 元，求y 关于x 的函数关系式以及自变量x 的取值范围。

12. 张成准备用40米长的木栏围一个矩形的羊圈，为节约材料又要使矩形的面积最大，他想利用自家房屋的一面长25米的墙来建羊圈，设羊圈的面积为y 米2，利用墙的长为x 米，求y 关于x 的函数关系式与x 的取值范围。

14. 如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，设对角线AC 的长是x ，面积是y 。求y 与x 之间的函数关系式，并求当x =4时y 的值。

D

A O C

B

15. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝5cm ，点M 以1cm/s 的速度从点B 向点C 运动，同时，点N 以 2cm/s 的速度从点C 向点D 运动，设运动开始第t 秒钟时五边形ABMND 的面积为S cm 2，求出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围。

A D

N

B C

二次函数的图象和性质

知识要点：

1. y x =2

的图象

二次函数y x =2

的图象是通过原点分布在第一、二象限，且以y 轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线，它与对称轴的交点叫抛物线的顶点。 2. y ax =2

的图象

对于a 取不同的值时，二次函数y ax a =≠2

0()的图象都是通过原点，以y 轴为对称轴的抛物线，并且和抛物线y x =2

比较，当a 取不同的值时，能引起抛物线开口方向和开口大小的改变。

（1）当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下

（2）当a 的绝对值越大，抛物线开口越小 当a 的绝对值越小，抛物线开口越大

3. y ax c a =+≠2

0()的图象

y ax c a =+≠20()的图象可以看作是二次函数

y ax =2的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位得到的，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）

4. y a x h =-()2

的图象

y a x h =-()2的图象在h 取不同的值时，可以看作

由函数y ax =2

的图象向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|

个单位得到的，它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标为（h ，

0） 5. y a x h k a =-+≠()()2

0的图象

y a x h k a =-+≠()()20的图象可以看作由函数y ax =2的图象经过向左（h<0）或向右（h>0），向上

（k>0）或向下（k<0）平移而得到的一条抛物线，它有如下特点：

（1）当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）抛物线的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）

抛物线平移的实质是抛物线顶点的平移。 6. y ax bx c a =++≠2

0()的图象、对称轴和顶点坐标的计算公式。

（1）y ax bx c a =++≠2

0()通过配方转化为

y a x h k a =-+≠()()20的形式

y a x b

a

x c

=+

+()2 222)a 2b (a c )a 2b (x a b x a y -+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++=

y a x b a ac b a

=++

-()24422

（2）二次函数y ax bx c a =++≠2

0()的图象的对

称轴和顶点坐标的公式为：

对称轴x b a

=-2

顶点坐标为（--b a ac b a 2442

，）

（3）y a x h k a =-+≠()()2

0称做二次函数的顶点

式解析式。

（4）由于二次函数y ax bx c a =++≠2

0()的图象是抛物线，所以常把“二次函数y ax bx c a =++≠2

0()”称为“抛物线y ax bx c a =++≠2

0()”。

7. 抛物线y ax bx c a =++≠2

0()与x 轴的交点 令y =0，有ax bx c 20++=

x b b ac a

b a

c =-±--≥224240()

（1）若b ac 240->有交点，交点为（-+-b b ac a 2

42，

0）（---b b ac a

2

42，0）

（2）若b ac 240-=，有交点，交点为（-b a

2，0），

（3）若b ac 240-<，无交点