牛顿迭代法

一 .牛顿迭代法简介

1.牛顿迭代法的产生背景

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：

（1）确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

（2）建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

（3）对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

2.牛顿迭代法的概述

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x)=f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

3.牛顿迭代法的优点

迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具

有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。假定有一个函数y=f（x），方程f(x)=0在x=r处有一个根，对于此根，先估计一个初始值 Xo（可以是猜测的）。得到一个更好的估计值X1。为此f(X)=Xo处作该曲线的切线，并将其延长与 x 轴相交。切线与x轴的交点通常很接近r，我们用它作为下一个估计值X1，求出X1后，用X1代替Xo。重复上述过程，在x=X1处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值X2……这样继续下去，所得出的这个x轴截距的序列通常迅速接近根r。

缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

二 .牛顿迭代法的分析

1.牛顿迭代法的思想

多数情况下是得不到一般数学方法所需的函数表达式，或难以找到原函数。线性方程组的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机工作量太大而无法实施。对这些问题，都可以利用数值方法来求解，在计算机中实现的数值方法也称为数值算法。牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速。

在工程实践中，有许多问题往往归结为求一元非线性方程的实根、求函数的定积分、求线性方程组的解等。而即使对于求一元方程实根这类问题，也只有在少数简单的情况下，才可以用传统的方法得到根的数学表达式。对于需要计算定积分的问题，便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面。

牛顿迭代法用到导数f'(x),但有时求导困难，如果导数用差商(y2-y1)/(x2-x1)逼近,便是一种快速的截弦法。取两个x值作试探,判断f(x)是否副近于0,如果f(x)不理想,用经过(x1,y1)、(x2,y2)的直线(截弦)代替f(x)求根，近似根x外推=x1-(x2-x1)*y1/(y2-y1)，此x靠性会更好些。求根过程:是叠代过程，即由(x1,x2)→f(x1)、f(x2)、f(x中)或f(x外推)→(X1,X2)，大写X1,X2就是下一轮计算的小写x1,x2，二分法、截弦法、牛顿迭代法计算公式不同，一个用中值外推，后二者用直线外推，二者用直线外推，但它们计算过程几乎相同，具体程序详见本源代码。对截弦法而言，x1,y1是起点，x2,y2直的控制点，，x1,y1是起点，x2,y2直的控制点，x2不能与x1相等，否则直线画不出来，但x1与x2应尽量靠近，远了作出的直线准确度下降。在求根过程中会用到牛顿迭代伪代码：牛顿迭代法伪代码:

x1=-2,y1=f(x1)

x2=-2,y2=f(x2)

while(){//循环

x=x1-(x2-x1)*y1/(y2-y1),y=f(x)

如果|x-x2|<0.01或y为0则跳出循环

x1=x2,y1=y2

x2=x,y2=y

2.牛顿迭代法的要求

牛顿迭代法方法简单，每次迭代都是简单的重复运算，易于编制程序；与求