用空间向量求空间角和距离

用空间向量求空间角和距离

四川省通江中学 徐荣德

空间中角和距离的计算问题是立体几何的重要内容，也是近几年高考的热点之一。空间向量为求空间角和距离提供了新的方法，可以使几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使问题的解决更简洁、清晰，有较强的规律性，易于掌握。

一、求空间中的角

1、两异面直线所成的角

设异面直线AB 、CD 所成的角为])2

,0((π

αα∈ （如图1），则||

|||||,cos |cos CD AB ⋅=><=α。 2、直线与平面所成的角

设直线PA 与平面α（),αα∉∈P A 所成的角 为])2

,

0[(π

θθ∈，平面α的法向量为（如图2），

则||

||||

|,cos |sin n AP ⋅=><=θ。

3、二面角

设二面角βα--l 的大小为θ（),0(πθ∈）， 平面βα,的法向量分别为n m ,（如图3）， 则><-=>=<,,πθθ或。

例1、四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方

形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且侧面PAD 与底面ABCD 垂直，E 为DP 的中点。 （1） 求异面直线AE 与PB （2） 求直线BE 与平面PCD 所成的角； （3） 求二面角E —AC —D 的大小。

解：建立如图4所示的空间直角坐标系，则

(1) A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,1,3),E(0,23∴23

,23,0(),3,1,2(=-=AE BP

4

6|

|||,cos =⋅>=

<∴AE BP ∴异面直线AE 与PB 所成的角4

6arccos

.

(2) C(2,2,0),D(0,2,0),)2

3

,

23,2(),3,1,2(),0,0,2(-=--=-=∴BE CP CD , 设平面PCD 的一个法向量),,,(z y x =

则⎩

⎨⎧⎩⎨

⎧==∴=+--=-z y x z y x x 30,03202，取1=z ，得)1,3,0(= 设直线BE 与平面PCD 所成的角为θ，则

=θsin 7

21

||

|,cos |=

=>< ∴直线BE 与平面PCD 所成的角为7

21arcsin

。 （3）)0,2,2(),2

3

,

23,0(==AC AE ,设平面ACE 的一个法向量),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧-=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y z y

x y x z y 3,0

2202323

，取1-=y ，得)3,1,1(-=n ， 显然)1,0,0(=m 是平面ACD 的一个法向量，

5

15

,cos =

>=

<∴n m ∴ 二面角E —AC —D 的大小为5

15arccos

。 二、求空间中的距离 1、两异面直线的距离

设异面直线b a ,间的距离为d ，AB 是b a ,的公垂线 段，D 、C 分别是b a ,上的一点，n 是AB 的方向向量（如图5）。

|

|||n d CD

n AB n DB CD AC AB =

=∴⋅=⋅∴++=

2、点到平面的距离

设平面α外一点P 到平面α的距离为d ，点A 是平面α

任一点，是平面α的法向量（如图6）。则

|

||

||||||,cos |||cos ||sin ||n n AP AP APO PAO d =⋅=><⋅=∠⋅=∠⋅=

例2、如图7，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，

E 是AA 1的中点。

（1）求异面直线BD 与B 1C 间的距离；

（2）求点C 1到平面BDE 的距离。

解：建立如图7所示空间直角坐标。

（1） D （0,0，0），B(a,a,0),C(0,a,0),B 1(a,a,a),

∴ ),,0,(),0,,(1a a B a a --== 设DB 、B 1C 的公垂向量),,(z y x =，

则⎩⎨

⎧-=-=∴⎩⎨

⎧=--=+x

z x

y az ax ay ax 00，令,1-=x 则)1,1,1(-=n ，又)0,0,(a CB = ∴异面直线BD 与B 1C 间的距离a a d 3

3

3

=

=

=

。 （2）)0,,(),2

,0,(a a DB a a DE == ，设平面BDE 的一个法向量),,(z y x =，

则,2,002

⎩

⎨⎧-=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧

=+=+x z x y ay ax z a ax 取,1-=x 得)2,1,1(-=，又),,0(1a a DC = ∴点C 1到平面BDE 的距离a n d 2

6

|

|1=

=

。 练习: 1、（2004福建）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分

别为AB 、SB 的中点.

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；

（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 2、（2004江苏）在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；

(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.

3、（2004四川）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， ∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面

· B P C

D

A C D O H

·