青岛版-数学-八年级上册-《几何证明举例》专项练习

C

A B

C

D E P 图 ⑴

5.6 几何证明举例

1、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：△RDQ 是等腰直角三角形.

C

B

2、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC.

3、已知：在△ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA.

4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．

5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，

连结EC、ED，求证：CE=DE

7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC 且BC＝10，求△DCE的周长.

A B

C

O

M

N

几何证明习题答案

1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且

AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,

又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,

△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR

由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,

∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,

所以△RDQ是等腰RT△.

2. 作AG平分∠BAC交BD于G

∵∠BAC=90°∴∠CAG= ∠BAG=45°

∵∠BAC=90°AC=AB ∴∠C=∠ABC=45°

∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90°

∵∠CAF+∠BAE=90°∴∠CAF=∠ABE

∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG

∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45°CD=AD

∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB

3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°

4. 略

5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，

所以O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；

（2）△OMN是等腰直角三角形.

证明：连接OA，如图，

∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，

∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，

在△NAO和△MBO 中，

AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，

∴△NAO≌△MBO，∴ON=OM，∠AON=∠BOM，

∵AC=AB，O是BC的中点，∴AO⊥BC，

即∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，

即∠NOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．

6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF

∵AE=BD ∴AE=CF

∵△ABC为正三角形∴BE=BF ∠B=60°

∴△EBF为等边三角形∴角F=60°EF=EB

在△EBC和△EFD中

EB=EF（已证）∠B=∠F（已证）BC=DF（已作）∴△EBC≌△EFD（SAS）∴EC=ED

7. 周长为10.