趣味数学七桥问题
七桥问题文档
七桥问题简介七桥问题是欧拉于1736年提出的一道经典问题，它被认为是图论和数学中最著名的问题之一。
该问题描述了一个欧拉图中的岛屿，岛屿之间通过桥连接，玩家需要找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。
欧拉通过解决这个问题，为图论奠定了坚实的基础。
图论的研究对于网络、电路、计算机科学等领域都有重要的应用。
本文将介绍七桥问题的背景、欧拉图的定义、问题解决思路以及相关应用。
七桥问题的背景七桥问题源于基尔岛(Königsberg)的一组岛屿和桥。
这组岛屿位于普鲁士河(Pregel River)中，其中一个岛屿是普鲁士城堡(Königsberg Castle)。
岛屿之间有七座桥，人们想知道是否可以从一个起点，经过每座桥且只经过一次，最后回到起点。
欧拉思考了这个问题，并使用了一种崭新的数学方法解决了这个问题。
他的解决方案不仅解决了七桥问题，而且还为图论奠定了基础。
欧拉图的定义在解决七桥问题之前，欧拉提出了一种新的图形表示方法，称为欧拉图。
欧拉图是由顶点(节点)和边(连接两个节点的线)组成的图形。
欧拉图具有以下特点：•图中的每个边都连接两个不同的顶点；•所有的边都被标志为未被访问过。
欧拉图在解决七桥问题中发挥了关键作用。
欧拉通过观察欧拉图的特性，找到了解决七桥问题的方法。
七桥问题的解决思路欧拉通过分析七桥问题，提出了解决此类问题的一般方法。
他的思路包括以下几个步骤：1.将地图抽象为欧拉图：将地图上的岛屿视为顶点，将岛屿之间的桥视为边，建立起欧拉图的模型。
2.确定欧拉圈和欧拉路径：通过分析欧拉图的特性，判断是否存在一条欧拉路径或欧拉圈。
3.判断是否可以遍历每座桥且只经过一次：如果存在欧拉路径，则可以遍历每座桥且只经过一次；如果存在欧拉圈，则可以遍历每座桥且只经过一次，且最终回到起点。
在七桥问题中，欧拉图的模型具有四座岛屿，其中三座岛屿与普鲁士城堡通过桥相连。
通过观察欧拉图的特性，我们可以发现该图不存在欧拉路径或欧拉圈，因此无法找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。
七桥问题[PPT课件]
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• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以 一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先 到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路 程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可 以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以 以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是 说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最 后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程 正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必 定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发， 沿箭头 所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发 也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔 画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的 结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一 个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必 须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必 为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可 以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：
世界数学难题哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。
规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。
这就是古老的民间游戏——一笔画。
你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。
我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。
图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。
这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。
很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。
一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。
我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。
为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。
十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图3这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。
图4 图5于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。
【思维拓展】数学二年级思维拓展之七座桥问题(附答案)
二年级奥数七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.这个问题叫做“七座桥问题”.当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”.这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质.在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂.在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.这样七桥问题就得到了圆满的解决.这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了.②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.模仿这种思路，也能解决类似好多问题.练习题1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.过桥问题：可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？参考答案1.解：见下图过桥问题：可否一次通过所有的桥（每座桥只能走一次）一笔画问题：可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点，但点1是偶点.当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.号房间即可）.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入33。
世界数学难题哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。
规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。
这就是古老的民间游戏——一笔画。
你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。
我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。
图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。
这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。
很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。
一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。
我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。
为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。
十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图3这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。
图4 图5于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。
七桥问题在生活中的应用应用
七桥问题在生活中的应用张凤军七年级数学中提到了一个非常有趣的问题：18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？这就是数学史上著名的七桥问题，当时有很多人都想找出问题的答案，但都没能找到，这是为什么呢？找到了答案又会在生活中有何应用呢？一、与“一笔画”的联系。
首先我们先看一看著名数学家欧拉是怎样给出问题答案的：他用四个点A、B、C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何一笔画出图中的图形？欧拉经过研究发现，此图不能一笔画出，这就是说找不到不重复地经过所有七座桥的路线，那么什么样的图形才能一笔画出呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。
②有偶数条边相连的点叫偶点。
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。
2、每条线都只能画一次而不能重复。
可以想象，①凡是“一笔画”，一定有一个“起点”，一个“终点”，还有一些“过路点”。
有一条线进入过路点，必有一条线离开过路点，即对于过路点来说，“进”和“出”的线段总是成对出现的，也就是说，对于过路点，和它们相连的线段总是偶数条。
②对于起点和终点来说，如果它们不是同一点，那么和它们相连的线段就是奇数条，这时奇点有2个.如果起点和终点是同一点，那么就没有奇点，即奇点个数为0.简单说：能够一笔画的图形奇点的个数只能是0或2，而七桥问题中不符合一笔画的条件，也就无法不重复的经过所有七座桥，通过上面的分析，我们今后能很快看出哪些图形可以一笔画，那些不能。
二、知识的拓宽与应用1.在七桥问题中，如果允许再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！2.一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下图（左）：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？3.下图（右）是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？用概率判断游戏的公平性大北中学 张凤军我们在生活中常做一些游戏，但游戏规则的制定必须对双方都是公平的，这个游戏才能进行，否则就会有一方因为游戏不公平而退出游戏，那么如何判断游戏规则是否公平呢？学习了初中数学中《用列举法求概率》一节内容，问题便迎刃而解了。
五年级下册数学教案-8.5 有趣的七桥问题丨苏教版
五年级下册数学教案-8.5 有趣的七桥问题丨苏教版教学内容本课教学内容为苏教版五年级下册数学第8.5节“有趣的七桥问题”。
本节课将引导学生通过探索历史上著名的七桥问题，理解图论的基本概念，并尝试解决简单的图论问题。
教学目标1. 让学生理解并掌握七桥问题的背景及数学意义。
2. 培养学生通过观察、分析解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用图论思想解决实际问题，培养学生的逻辑思维和创新思维。
教学难点1. 图论的基本概念对于小学生来说较为抽象，如何让学生理解并运用图论思想解决问题是一大挑战。
2. 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。
教具学具准备1. 教师准备：多媒体教学设备，用于展示七桥问题的背景及相关知识。
2. 学生准备：纸、笔等学习用品。
教学过程1. 导入利用多媒体设备展示哥尼斯堡七桥问题的背景，引发学生的兴趣和好奇心。
2. 探究- 让学生分组讨论，尝试找出所有可能的路径。
- 引导学生观察并发现规律，从而理解图论的基本概念。
3. 实践- 让学生尝试解决类似的图论问题，如“五桥问题”、“六桥问题”等。
- 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。
4. 总结- 让学生总结本节课所学内容，并分享自己的学习心得。
- 教师对学生的表现进行评价和总结。
板书设计1. 有趣的七桥问题2. 副图论的基本概念及应用3. 正文：- 七桥问题的背景及数学意义- 图论的基本概念- 解决图论问题的方法作业设计1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 尝试解决一个新的图论问题，并记录解决过程。
课后反思本节课通过引导学生探索七桥问题，让学生理解并掌握了图论的基本概念，并能够运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，教师应注重启发学生思维，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。
同时，教师还应关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
---本教案共计约500字，详细阐述了教学内容、教学目标、教学难点、教具学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思等八部分内容，旨在为教师提供一个清晰、严谨、衔接流畅的教学指导。
趣味数学 数学活动 七桥问题课件
其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。 不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了， 所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位 数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18 岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中 的一个。
剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3 个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321， 21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18， 是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方 等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字， 多么完美的组合！
解（1）： 1只猫1分钟捉1只老鼠，那么 100只猫1分钟可以捉100只老鼠，所以 100只猫100分钟可以捉100x100＝10000只老鼠
解（2）： 5只猫5分钟捉5只老鼠，那么 5只猫1分钟捉1只老鼠，则 1只猫1分钟捉1/5只老鼠 所以： 1只猫100分钟捉20只老鼠 100只猫100分钟捉2000只老鼠
这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事 业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。
有两个农民到集市卖苹果，甲有90个苹果，1元两个，预 计卖45元。乙有180个苹果，1元3个预计卖60元。两人遇 在一起，于是决定一起卖苹果。2元5个，预计卖105元。
结果卖了108元，多了3元，他们不知道为什么，于是就 平分了，这是又有两个农民来卖苹果，丙，丁各带了120 各苹果，丙1元2各，预计卖60元。丁，一元4个，预计卖 30元。两人见甲，乙2人合起来赚了钱，于是也一起卖。 2元6个，预计卖卖90元，结果到最后，卖了80元，亏了 10元，他们不知道为什么。
本次活动由于高俊 老师独家赞助奖卡
趣味数学七桥问题共39页
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
▪29、勇猛、大胆和坚定的来自心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
39
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
奥林匹克数学七桥问题
B
B为奇点， A和C为偶点。
与奇数条线相连的点叫“奇点”; 与偶数条线相连的点叫“偶点”。
在连通图中，奇点的个数是0或2，这幅 图可以一笔画，否则不能一笔画。
①奇点的个数是0时，可以任一偶点为起点， 最后还回到这一点。 ②奇点的个数是2时，必须以一个奇点为起点， 另一个奇点为终点。
1.下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它
奥林匹克数学
一笔画 你能笔尖不离纸,一笔画出下面的 每个图形吗? 试试看.（不走重复路线）
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条 河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸 联系起来那里风景优美，游人众多。
在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：
一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座 桥，最后又回到出发点呢？
画出来吗？
2.下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任
两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口 和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的 门，并且从入口进，从出口出？
B
C
D
E A
FLeabharlann 谢谢观赏直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个 问题的不可能性。 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形（如下图）能否一笔画出的问题了. C A D
有趣的七桥问题课件
问题是要找到一条路径，这条路径可以遍历所有的桥和岛屿一次并回到 起点。
然而，数学家们经过论证发现，这样的路径是不存在的。
03
七桥问题的解法与证明
解法
01
使用穷举法
七桥问题的一个经典解法是使用穷举法，即列举出所有可能的走法，然
后逐一判断是否能够走完所有的桥且不重复。
02 03
使用图论算法
近年来，图论算法被广泛应用于解决七桥问题，其中最著名的算法是深 度优先搜索和广度优先搜索。这些算法可以高效地找到图中的哈密顿回 路，从而解决了七桥问题。
具有重要意义。
经济学
七桥问题的应用也渗透到经济学 中，例如在交通网络规划、物流 配送和城市规划等领域，通过解 决类似的问题来提高效率和减少
成本。
价值
学术价值
七桥问题具有重要的学术价值，它为图论、运筹学、计算机科学和 经济学等多个学科提供了基本的研究对象和理论依据。
实用价值
七桥问题的实用价值非常高，它的应用范围广泛，有助于提高生产 效率、降低成本、优化资源配置和提高生活质量等方面。
入思考。
03
实践性强
七桥问题具有很强的实践性， 它引导人们通过实践来解决问 题，而不是纯粹的理03
重视实践
七桥问题启示我们，理论 是重要的，但实践同样重 要。只有通过实践，才能 真正理解和掌握知识。
勇于挑战
七桥问题鼓励我们勇于挑 战传统观念和思维模式， 以发现新的知识和真理。
培养创新思维
有趣的七桥问题课件
目录
• 七桥问题的起源和背景 • 七桥问题的定义和描述 • 七桥问题的解法与证明 • 七桥问题的扩展和引申 • 七桥问题的应用和价值 • 七桥问题的有趣之处和启示
01
趣味数学七桥问题ppt课件
18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身 七桥问题
9
能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
10
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来， 整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原 来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长 了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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数学家的幽默故事
数学家的幽默故事数学家们通常以严谨、理性、追求完美著称，但他们也有自己的幽默和趣味。
下面给大家分享几个数学家的幽默故事，一起来感受一下数学的趣味吧！第一则故事：欧拉与七桥问题18世纪，瑞士数学家欧拉提出了著名的七桥问题，他问：一座小岛上有七座桥，可以连接岛上的四块陆地。
是否存在一种路径可以走过每座桥一次且只走一次，并最终回到起点？数学家们纷纷研究，但都无法找到答案。
欧拉解决这个问题的方法令人啼笑皆非——他把问题简化了。
他抽象出了一个图形，只保留了桥和陆地，而将其它一切都去掉。
这样，他很快地发现了问题的解答：不存在这样的路径。
数学家们百思不得其解的问题，在欧拉的简化下迎刃而解。
第二则故事：高斯的小聪明德国数学家高斯是十九世纪最重要的数学家之一。
在他童年时代，有一天，他的老师让同学们计算1到100的和，希望这是一个令他们痛苦的练习。
高斯却在几秒钟内就给出了答案：5050。
他的方法是利用了数学的奥妙。
他观察到，当数字从1到100逐个增加时，它与相应的100至1逐个减少的数字的和总是相等的。
所以他们可以将这些数字两两相加，每对的和都是101，101一共有50对，所以答案就是50乘以101，即5050。
老师大吃一惊，不敢相信高斯如此聪明的计算方法。
第三则故事：庞加莱的脱帽离谱19世纪末，法国数学家庞加莱在学术会议上发言，然而他的演讲非常模糊，使得大家一头雾水。
最后，他宣布：“从今以后，大家都不需要将帽子戴在头上了！”然后他毫不犹豫地把他的帽子扔到了地上。
这个幽默的行为引起了大家的笑声和掌声。
事后人们解释说，庞加莱的演讲是在讲述四维空间的理论，他通过这个行为形象地展示了在四维空间中，物体可以脱离人们习惯的三维限制，从而达到了幽默教育的效果。
这些故事向我们展示了数学家们不同寻常的思维方式和幽默感。
虽然数学被视为一门严肃的学科，但也有其乐趣所在。
数学家们通过他们的智慧和幽默，为我们带来了新的视角和思考方式，让我们对数学产生了更深的兴趣。
有趣的七桥问题
3、其它情况的图形都不能一笔画成。
A
7
下面的图形能一笔画成吗？
（ √）（Leabharlann ）(× )(× )
（√）
A
8
闯关游戏
A
9
大门
猴山
狮虎山 水族馆
极地馆
熊猫馆 马戏馆
象园
有趣的“格尼斯七桥”问题
A
1
怎样散步才能一次
不重复的走过每座
桥，并且最A后回到
2
出发点呢？
欧拉简介：
全 名：莱昂哈德·欧拉 生卒年：公元1707年～1783年 国 家：瑞士
A
3
C
A
B
DA
4
封闭图形
有偶数条线的点， 叫偶点。
开放图形
有奇数条线的
点，叫奇点。
A
5
C
A
B
DA
6
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画 成。画时以任一偶点为起点，最后一定能以这个 点为终点画完此图。（这样的图形是封闭图形， 又叫欧拉图）
孔雀园
熊山
A
两栖动物馆
后门 10
A
11
A
12
A
13
有趣的七桥问题
在 这 个 城 市 的 中 间 ， 有 一 条 宽 宽 的 河 流 经 过 ， 这 条 河 把 整 个 城
市分成了四块陆 地。
比较好 玩的 是 这条宽宽 的 河流 中 间 有 两个小 岛 。 ，
从
小岛往两岸去
一 共有七 座桥
，
，
人们 来来 往往 非 常 方 便 （
如
图
１ ） 。
时 间 长
拉 ， 数 学 家 欧 拉 经 过 反 复 的 研 究 ， 并 且 实 地 试 验 之 后 指 出 ， 没 有 任 何 的 行 走 路 线 可 以 把 所 有 的 小 桥 都 走 一 遍 并 且 不 重 复 。 为 什 么 呢 ？ 正 当 人 们
，
不 明 白 的 时 候 ， ２８ 岁 的 欧 拉 在 第 二 年 专 □ 写 了 篇 一 论 文 《 柯 尼 斯 堡 的 七 桥 》 ， 充 分 证 明 了 符 合 条 件 的 路 线 是 不 存 在 的 。 他 是 怎 样 旺 明 的 呢 ？ 原
了 当 地 人 提 出 了 这 样 一 个 问 题 ： 如 果 把 所 有 的 桥 都 走 一 遍 ， 还 不 走 重 复 的 ，
路 线 可 以 怎 样 走 呢 ？ ，
Ｋ ｏ ｋ ｉ ｎ ｇ＾ ｂｅ ｒ ｇ ａ
一
１觀
０
行 走 路 线没 有 得 到 解 决 ， 但 却 收 到 了 更 大 的 惊 喜 。 １ ７３ ５ 年 ， 当 地 的 人 们 请 教 正 在 俄 罗 斯 学 习 的 著 名 的 瑞 士 数 学 家 莱 昂 哈 德 ？ 欧
来 ， 大 数 学 家 欧 拉 把 这 个 七 桥 景 物 画 成 了 简 单 图 形 ， 用
最 简 单 的 点 、 线 来 表 示 这 个 问 题 于 是 七 桥 问 题 就 被
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
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教学目标
➢ 知道一笔画问题的提法 ➢ 掌握段道图能否一笔画的判断方法 ➢ 会用添弧的方法求最优解
重点和难点
➢ 最优投递路线的求法
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的 城市，布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯 全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成 了４块，于是，人们建造了７座各具特色的桥，把哥 尼斯堡连成一体。
3
欧拉的解法
哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧 拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可能 的路线都走一次的话，一共要走5040次 。就算是一天走一次，也需要13年多的 时间。实际上，欧拉只用了几天的时间 就解决了七桥问题。
5
欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小岛 ，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与 问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个 点。7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短 、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意 画7条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问 题抽象成了一个“一笔画”问题，从而否定了 问题的答案。
一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知 从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个 有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的 ７座桥，而且每座桥都只通过一次？
这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自 己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以 博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问 题"难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥 问题"而出了名。
中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962年
首先提出并发表的 • 例如：观察下列段道图
图（1）
图（2）
从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少
一次再回到邮局，按照什么样的路线投
递邮件才能使总的路程最短？
投递路线 一笔画
欧拉回路
• 类似的还有送奶工送奶问题。
画时以一个奇点为起点，另一个 奇点为终点
欧拉回路
经过图中所有边一次，且访问每个顶点至少一 次的一个回路，称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。
注意：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有 顶点的通路称为欧拉通路。
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图5
图2
图4
图6
下图是一个公园的平面图，要使游人 走遍每一条路不重复，出口和入口应 设在哪儿？
• 最优投递路线 重复的路最短 添弧的总长 度最短
• 添弧最短的条件 （1）没有重叠的添弧 （2）每一个圈上添弧的总长度不超过圈长的一
半 • 最短的一组添弧称为最优解。
案例：西北大学的洒水车要给主要路 面洒水，该如何确定行车路线？
• 洒水车要给主要路面洒水，也就意 味着行车路线必需经过图示所有的 路面至少一次。这类似于邮路问题 。
Hale Waihona Puke 观察下列图形，完成统计表可以一笔画的图形
不能一笔画的图形
图形序号 奇点个数 偶点个数
图形序号 奇点个数 偶点个数
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
不连通的图形不能一笔画
连通的图 形有可能 一笔画
奇点个数超过两个的连通图 形不能一笔画
全都是偶点的连 通图可以一笔画
有两个奇点的连 通图可以一笔画
画时以任一点为起点，最后仍回 到该点
最理想的投递路线，就是该段道图是一条欧拉回路。 图（2）的投递路线如下图（3）。
含有奇点的段道图不能一笔画出，有些道路需要重复 走两次的都要添上一条弧。图（1）添弧后如图（4）。
图（3）
图（4）
• 定理1 一个能够不重复的一笔画出的连通图中 ，所以的点一定都是偶点。
• 定理2 没有奇点的连通图一定能够从任意一点 开始不重复的一笔画出。
6
七桥问题
哥尼斯堡七桥
问题：如何不重复地走 完七桥后回到起点？
一笔画问题 如何将此图一笔画出？
7
欧拉的推理
欧拉这种处理问题 的方法标志着图论
的诞生
凡是一笔画中出现的交点处，线一出一进总 应该通过偶数条（偶点），只有作为起点和终点 的两点才有可能通过奇数条（奇点）。
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生 于瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。 大部分时间在俄国和德国度过。 他早年在数学天才贝努里赏识 下开始学习数学, 17岁获得硕 士学位，毕业后研究数学,是数 学史上最高产的作家。在世发 表论文700多篇,去世后还留下 100多篇待发表。其论著几乎涉 及所有数学分支。
• 欧拉在数学、物理、天文、建筑 以至音乐、哲学方面都取得了辉 煌的成就。在数学的各个领域， 常常见到以欧来命名的公式、定 理、和重要常数。课本上常见的 如π、i、e、sin、cos、tg、△x 、Σ、f(x)等，都是他创立并推 广的。欧拉还首先完成了月球绕 地球运动的精确理论，创立了分 析力学、刚体力学等力学学科， 深化了望远镜、显微镜的设计计 算理论。