数字信号处理--数字信号习题1

N4 N0 N2
N5 N1 N3
202
x(n)
0 N0 N1 h(n m)
n0
N1 N00
m
h(n m)
n
0 N2 N3
n
h(n m)
n N0 N2
0 N2
m
0 n N0 m h(n m)
0
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n N1
h(n m) n N1 N3
yn 1 yn 1 xn 1 xn 1
2
2
令x n n
则y n h n 1 h n 1 x n 1 x n 1
2
2
2020/7/14
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23
h 0 1 h 1 x 0 1 x 1 1
2
2
h 1 1 h 0 x 1 1 x 0 1 11 1
2
2
2
h 2 1 h 1 x 2 1 x 1 1
k n0
k n0
满足叠加原理
是线性系统
n
令k' k m nm
T x n m x k m
x k'
k n0
k ' n0 m
nm
y n m x k T x n m k n0
是移变系统
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13
n
T x n x k k n0
当 n n0 时，输出只取决于当前输入和以前 的输入
是因果系统
若 x n M 则 exn e xn eM
是稳定系统
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16
1-8 以下序列是系统的单位抽样响应 hn ，
试说明系统是否是（1）因果的（2）稳定的
（3） 3n u n
解：
当n 0时 h n 0 是因果的
h n 3n
n
n0
是不稳定的
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m
n
2n 4m
m
2n 4m
mn
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2n
1
4n 41
4 2n 3
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4
当n 0时
1
y n 2m 0.5nm
m
1
2n 4m
m
2n 4m
m1
2n
41 1 41
1 2n 3
y n 4 2n u n 1 1 2n u n
3
3
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5
1-3 已知h n anu n 1，0 a 1 ，通过直
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34
m
0
N3
m
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29
1-14 有一调幅信号
xa t 1 cos2 100t cos2 600t
用DFT做频谱分析，要求能分辨 xa t 的
所有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）? (2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）? (3)抽样点数应为多少点？ (4)若用 fs 3kHz频率抽样，抽样数据为512
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15
（4）T x n exn T ax1 n bx2 n eax1nbx2n eax1n ebx2n aT x1 n bT x2 n aex1n bex2n
不满足叠加原理 是非线性系统
T x n m exnm y n m
是移不变系统
输出只取决于当前输入，与未来输入无关
ag n x1 n bg n x2 n
aT x1 n bT x2 n 满足叠加原理
是线性系统
T x n m g n x n m
y n m g n m x n m T x n m
不是移不变系统
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11
T x n g n x n
因为系统的输出只取决于当前输入，与未 来输入无关。所以是因果系统
第一章习题讲解
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1
1-2 已知线性移不变系统的输入为 xn，系统的 单位抽样响应为hn ，试求系统的输出y n ，
并画图。
2）x n R3 n，h n R4 n
解：
y n x nhn R3 n R4 n n n 1 n 2 R4 n R4 n R4 n 1 R4 n 2
1 2
n 1
2e j 1 2e
n 1 j 1
e jn
e jn1
2e j 2e j 1
e jn
2e j 2e j
1 1
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26
1-12 已知一个线性时不变系统的单位抽样
响应 hn 除区间 N0 n N1 之外皆为零； 又已知输入 xn 除区间 N2 n N3 之外 皆为零；设输出 yn 除区间 N4 n N5
e
j
2
2e
jn
m1
1 2
m
e
j
m
2e j
e jn
2e jn 2e j 1
e jn
2e j 2e j
1 1
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或y
n
x
n
h
n
e
j n
n
1 2
n 1
u
n
1
e
j n
n 1
e
m
jm
1 2
n 1 m
e
jn
1 2
n 1
m1n
2e j
m
e
j n
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9
1-6 试判断 yn xn2 是否是线性系统？
并判断是否是移不变系统？
解：设 T x1(n) x1(n)2 T x2(n) x2(n)2
T x1 n x2 n x1 n x2 n2 x1 n2 x2 n2 2x1 n x2 n
T x1 n T x2 n 不满足可加性
或 T ax n ax n2 a2 x n2 aT x n
之外皆为零，试以 N0, N1, N2 和 N3 表示 N4 和N5 。
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解：
对线性移不变系统，有
yn xnhn xmhn m
m
对 xm ，非零值的区间为 N2 m N3
对hn m ，非零值区间为 N0 n m N1
N0 m n N1 m
得输出 yn 的非零值区间 N0 N2 n N1 N3
不是线性系统
不满足比例性
T x n m x n m2 y n m x(n m)2
是移不变系统
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10
1-7 判断以下每一系统是否是（1）线性 （2）移不变（3）因果（4）稳定的？
（1）T x n g n x n 解： T ax1 n bx2 n g n ax1 n bx2 n
2
2
2
h
3
1 2
h
2
x
3
1 2
x
2
1 2
2
h
n
1 2
h
n
1
x
n
1 2
x
n
1
1 2
n1
系统的单位抽样响应
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h
n
n
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1 2
n1
u
n
1
24
（b）y
n
h
n
x
n
n
1 2
n 1
u
n
1
e
j n
e
j n
m1
1 2
m1
e
j n m
1 e j
e
j n
2e
jn
2 1 1
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17
（4） 3n u n
解：
当n 0时 h(n) 0
是非因果的
hn
n
0
3n
n
3n
n0
1 1 1
3 2
3
是稳定的
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18
（5） 0.3n u n
解：
当n 0时 h n 0
是因果的
h n 0.3n
1
10
n
n0
1 0.3 7
是稳定的
1 a
1 a
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8
1-4 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期 性的，试确定其周期
（1）x n
Acos
3
7
n
8
解：x(n)为正弦序列
其中0
3
7
2 14 是有理数 0 3
N 14是满足x(n N ) x(n)的最小正整数
x n为周期序列，周期为14
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2020/7/14
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19
（6） 0.3n u n 1
解：
当n 0时 h n 0
是非因果的
1
h n 0.3n 0.3n
n
n
n 1
是不稳定的
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20
（7） n 4
解：
当n 4时 h(n) n 4 1 0
是非因果的
hn n 4 1
接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响
应为 hn的线性移不变系统的阶跃响应。
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6
解：LSI系统的阶跃响应是指输入为阶跃序列时 系统的输出，即
xn u n, hn anu n 1,0 a 1
求y n x n h n x mh n m
m
当n 1时
y
n
anm
an
m0
1 a
当n 0时
y n
anm
a
m n 1
1 a