特殊平行四边形证明及解答题困难学生版

一．解答题（共30小题）

1．（2012?威海）（1）如图①，?ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，直线EF 过点O ，分别交

AD ，BC 于点E ，F ．

求证：AE=CF ．

（2）如图②，将?ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B

落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I ．

求证：EI=FG ．

2．（2011?贵阳）[阅读]

在平面直角坐标系中，以任意两点P （ x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为

．

[运用]（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原

点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为 ．

3．（2007?黑龙江）在△ABC 中，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC

交AB 于点E ，PF ∥AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．若点P 在BC 边上（如图1），此时PD=0，

可得结论：PD+PE+PF=AB ． 请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P 分别在△ABC 内（如图2），△ABC 外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给

予证明；若不成立，PD ，PE ，PF 与AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证

不需要证明．

4．（2006?泰安）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，

连接AF ，CE ．

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；

（2）若∠BAD 的平分线与FC 的延长线交于点G ，则△ACG 是等腰三角形吗？并说明理由．

（2）在直角坐标系中，有A （﹣1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的 （3）

5．（2006?陕西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．

（1）求证：AF与DE互相平分；

（2）若BC=4，求DF的长．

6．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．

请回答下列问题：

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．

7．（2010?盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；

（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

8．（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；

（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

9．（2007?常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG

交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）

（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．

（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？

10．（2001?河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．

（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；

（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；

（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．

11．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．

（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；

（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；

（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．

12．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．

13．（2011?清远）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB=DF；

（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

14．（2010?大庆）已知：如图①，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上．正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0≤t≤m），其中S与t的函数图象如图②所示．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D′、E′、F′、G′．

（1）根据题目所提供的信息，可求得b=4，a=5，m=9；