数理方法第一章答案
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第一章 复数与复变函数
习题一
1-1求出下列复数的代数式
（3）n
i )sin cos 1(θθ++ N 为正整数
解：思路：先化成指数或三角式，再利用复数的乘方运算公式计算 设 θθsin cos 1i z ++=
2
cos
22
cos
4)cos 1(2sin )cos 1(2
2
2
θ
θ
θθθ==+=++=z 2tan 2cos
22cos
2
sin
2cos 1sin )tan(2θ
θθ
θ
θ
θ
==
+=Argz 可得22θ
π+=k Argz ，k 为任意整数
)
2
sin 2(cos 2cos 22
cos
22
cos
2)sin cos 1(2
)2
2(θ
θθ
θ
θ
θθθθπn i n e
e
e z i z n
n i
n
n kn i n
inArgz n
n n +====++=∴+
（4）（1+i ）n +（1-i ）n
=
(√2)n (
√22
+
i √
22
)n +(√2)n (√22−i √
22
)n
=2n
2(cos π
4+i sin π4
)n
+2n
2(cos π4−i sin π4
)n
=2n 2
(e
i π4
n
+e
−i π4
n
)=2n
2
∗2cos π
4
n =21+
n 2cos π4
n
1-2求出下列复数的三角式和指数式 （2）√1+i 解：令z=1+i
则三角式z=√2[cos (π
4
+2kπ)+isin(π
4
+
2kπ)] 指数式z=√2e i(π
4
+2kπ)
三角式
√z =√24
[cos (π8+kπ)+isin(π
8
+kπ)]
指数式√z =√24
e i(π8
+kπ)
(3)( √3+i)−2 解:令z=√3+i
则三角式z=2(cos π
6
+isin π
6
)
指数式z=2e i π6
所求三角式z −2=1
4(cos
5π3
+isin
5π3
)
指数式z −2=
14
e i 5π3
(4)sin α-icos α(α为正实数)
ααcos sin i z -=设
)2
tan()2tan(sin cos tan 1cos sin 22π
ααπαααα-=--=-
==+=Argz z
)
2
2()
22sin()22(c π
αππ
αππαπ-+=-+--+=k i e
z k i k os z 指数式：三角式：
1-3求下列复数的值（复数的标准形式） （3）5
(1−i )(2−i )（3−i ）
=
5(1+i )(2+i )(3+i)
(1−i )(2−i )（3−i ）(1+i )(2+i )(3+i)
=i 2 1-4
（2）
2121z z z z -≤-
证明：
))((21212
21z z z z z z --=-
))((2121z z z z --=
21122211z z z z z z z z --+=
)(21212
2
12z z z z z z +-+=
).Re(2212
2
12z z z z -+=
又
2
12
2212
2
12z z z z z z -+=-
,2212
22
1z z z z -+=
且),Re(2121z z z z ≥
所以
.2121z z z z -≥-
1-6利用复数求下列和式
（1）S(θ)=cos θ+cos3θ+⋯+cos(2n −1)θ（n 为正整数）
（2）S(θ)=sin θ+sin 3θ+…sin(2n −1)θ（n 为正整数） 解：e i θ=cos θ+isin θ e i3θ= cos3θ+isin3θ …
e i(2n−1)θ= cos (2n −1)θ+isin (2n −1)θ 所以e i θ+e i3θ…+e i(2n−1)θ的实部即为（1）式，虚部为（2）式
∑e i(2n−1)θn=∞n=1=e i θ(1−e i2n θ)1−e
i2θ =
(cos θ+isin θ)(1−cos2n θ−isin2n θ)
1−cos2θ−isin2θ
=(cos θ+isin θ)[2sin 2 (n θ)−isin2n θ](sin θ+icos θ)2sin θ(sin θ−icos θ)(sin θ+icos θ)
=
sin2n θ2sin θ
+
isin 2 (n θ)
sin θ 所以（1）=sin2n θ2sin θ
(2)= sin 2 (n θ)
sin θ