《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据

•
x = A x+ Bu
其中
J1
A =
( nn )
J2
B
Jl
， (n p)
=
B
1
B2
B
l
J i1
Bi1
Ji
=
( i i )
Ji2
B
J
i i
，i ( i p)
=
Bi2
Bii
i
Jik
(rik rki )
=
1
i
1
b
1ik
,
1
Bik
rankS0 = 1 = q ，故输出可控。
五．线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程
•
x = Ax, x(0) = x0 ,t 0, y = Cx
其中，x为n维；y为q维；A和C分别为 和 的常值矩阵。
（9-124）
1．秩判据 线性定常连续系统（9-124）完全可观测的充分必要
)
x1
+
1u L
•
x2
=
−1 C
( R1
1 +
R2
−
R3
1 +
R4
)x2
可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L 0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
0
rankS = 1 n ，系统不可控，u 不能控制 x2, x2 是不可控状态变量。
例9-21 判别下列系统的可控性：
n−1
u Ce At1 x0 = −C Am B m (t1 ) − Du(t1 ) m=0
= − CBu0 (t1 ) − CABu1 (t1 ) − − CAn−1Bun−1 (t1 ) − Du(t)
u0 (t1 )
u1 (t1 )
= − CB CAB CAn−1B D
试判定系统的可控性 解 由于
b B b 1
=
r11
r12
=
1 0
0
b
r13
0 2 0
0 0 4
b B ，
2
=
r
21
=
1 0
b r22
2 3
0 3
B b = = 3 0 0
3
r 31
矩阵
B 1
和
B
2
都是行线性无关的，B
3
的元素不全为零，故系统完全
可控。
问题1：可控规范型/标准型 的判别？ 问题2：某个状态变量是否可控 的判别 ？ 系统/某个状态变量
系统(9-98)完全可控的充分必要条件是，在式(9-132)中，B 不包含
元素全为零的行。 证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。
2) 约当规范型判据
若：矩阵A的特征值为1(1重),2( 2重), ,l (l重)，且 1 + 2 + + l = n。 则：由线性变换可将式(9—107)化为约当规范型
( R2 R1 + R2
−
R3
R4 +
R4
) x1
−1 C
( R1
1 + R2
−
R3
1 +
R4 )x2
其可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L
0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
−
1 LC
( R4 R3 + R4
−
R2 R1 + R2
)
当 R4 R2
R3 + R4 R1 + R2
=
i
1
,
C C 1
ik
(qrki )
=
1ik
C 2ik
Crik
C 且(ri1
+ ri2
+ + rii )
i
=i
，由 ik (k
= 1,2,,i ) 的第一列所组成的矩阵
Ci
= C 1i1
C 1i2
C 1ii
对 i = 1,2,,l 均为列线性无关。
例 9-28 已知系统的约当规范型如下，试判断系统的可观测性。
没有什么必然的联系。
例9-14 已知系统的状态方程和输出方程为
• 0 1 1 x = −1 − 2x + −1u
y = 1 0x
试判断系统的状态可控性和输出可控性。
解 系统的状态可控性矩阵为
S = B
AB
=
1 − 1
− 1
1
S = 0, rankS 2 ，故状态不完全可控。
输出可控性矩阵为
S0 = CB CAB D = 1 −1 0
条件是 或
rank CT
C
rank
CA
=n
CA
n−1
AT CT ( AT )2 CT
( AT )n−1CT = n
（9-129） （9-130）
式(9-129)和式(9-130)中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称
可观测性阵。 证明 略
例9-15 判断下列系统的可观测性
•
x = Ax + Bu, y = Cx
时，rankS = 2 = n
，系统可控。但是，当电桥处于平
衡状态，即 R1R4 = R2 R3 态方程变为。
时， R3 = R1 R3 + R4 R1 + R2
及 R4 = R2 成立，这时状
R3 + R4 R1 + R2
•
x1
=
− 1 ( R1R2 L R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
控制函数 u(t),t [t0 ,t1]，能使任意初始输出y(t0 ) 转移到任意最终输出y(t1) ， 则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。
输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程
为 • x = Ax + Bu, x(0) = x0 ,t [0,t1]
y = Cx + Du
(9-118) (9-119)
分析：
•
原系统：x = Ax + Bu, y = Cx
•
x = Px 变换后：x = Ax + Bu, y = Cx
•
变换关系 x = Ax + Bu, y = Cx
变换后系统可控性矩阵的秩为：
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
◼ 补充要求：要求对系统的每个状态变量能判别其可控可观性
◼ 小组大作业备选题：
◆ 线性定常系统状态点可控性可观性的定义及判别方法研究 ◆ 线性定常系统每个状态变量可控可观性的定义及及判别方法 ◆ 线性定常系统状态点、每个状态变量和系统整体可控可观性及相互关系
解 根据判断法则可定出下列矩阵
2 0 0
1 0
0
c 111
c112
c113
=
0 0
1 0
0, 3
c 112
c122
=
2 3
0, 1
c 131
=
7 0
显然它们都是列线性无关的，c 131
的元素不全为零，故系统完全可
观测。
◼ 与可控性类似，有以下问题
问题1：可观规范型/标准型 的判别？
问题2：某个状态变量是否可观 的判别 ？
1 0
−1 1
1 −1
0 2
=
2, rankV
=
2
=
n，故系统统可观测。
推论：非奇异线性变换不改变系统的可控性
作业：试证明可观标准型描述的系统是完全可观的
2．约当规范型判据 线性定常连续系统(9-140)完全可观测的充 分必要条件分两种情况：
1) 对角线规范型判据 当矩阵A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，由式(9-124)线性变
un−1 (t1 )
un (t1 )
（9-121）
令
S0 = CB CAB CAn−1B D
（9-122）
S0 为 [q (n +1) p] 矩阵，称为输出可控性矩阵。输出可控的充分必要
条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即
rankS0 = q
(9-123)
需要注意的是，状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者
(P −1 AP)n−1 P −1B
作业：试证明可控标准型描述的系统是完全可控的
例9-10 桥式网络如图9-26（20) 所示，试用可控性判据判断其可控性。 解 该桥式电路得微分方程为
iL = i1 + i2 = i3 + i4
R4i4 + uC = R3i3
R1i1 + uC = R2i2
L
diL dt
9-4 线性系统的可控性与可观测性
三、线性定常连续系统的可控性判据
考虑线性定常连续系统的状态方程
•
x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 ,t 0
(9-83)
其中X为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为(nn) 和(n p) 常阵。
下面根据A和B给出系统可控性的用判据。
1）A
=
− 2
0
−01, B = 13,C = 1
0
2）A
=
1 1
−11,
B
=
2 1
−01, C
=
1 − 1
0 1
解 1)rankV = rank CT
AT C T
=
rank
1 0
− 2
0
= 1, rankV
=1
n
=
2
，故系统不可观测。
2）rankV = rank CT
AT C T
=
rank
•
x1
1
• x2
=
0
•
x3
0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
+
1
3x3 −1
1
1
− 1
u1 u2
解 可控性判据矩阵为
2 1
S = B
AB
A2 B
=
1
1
−1 −1
32 22 −2 −2
5 4
4
4
−4 −4
显见矩阵 S 的第二行与第三行线性相关，rankS = 2 3 ，系统不可控。
注：本ppt没讲的内容自学，可以在小组作业中研究
1. 秩判据 线性定常连续系统（9-83）完全可控的充分必要条
件是
rank[B AB An−1B] = n
（9-104）
其中n为矩阵A的维数，S = [B AB An−1B] 称为系统的可控性判别阵
证明： 略。 （不要求）
推论：非奇异线性变换不改变系统的可控性
2. 约当规范型判据 线性定常连续系统(9-98)完全可控的充分
必要条件分两种情况：
1) 对角线规范型判据 (对角线规范型可以看作约当规范型的
特例)
若：矩阵A的特征值 1, 2 ,, n 是两两相异的。 则：由线性变换可将式(9-98)变为对角线规范型
1
• x=
2
x + Bu
n
（9-132）
换导出的对角线规范型为
1
• x=
2
x, y = C x
n
（9-134）
例9-16 线性定常系统的对角线规范型为
•
x
=
8 0
0
y
=
1 0
0 0 −1 0x, 0 2
0 2
0 3
x
试判定系统的可观测性。
解 显然，此规范型中C不包含元素全为零的列，
故系统为完全可观测。
2) 约当规范型判据
当矩阵A的特征值为且1(1重),2(2重),,l(l重) ，且 1 +2 ++l = n
式中，u为p维输入向量；y为g维输出向量；x为n维状态向量。状态
方程(9-118)的解为
e x x(t1) =
At1
+
0
t1 0
e
A(
t1
−t
)
Bu
(t
)dt,
t
[0,
t1
]
则输出
e x y(t1) = C
At1
+C
0
t1 0
e
A(t1 −t
)
Bu(t)dt
+
Du(t1
)
不失一般性，令 y(t1) = 0 ，有
e x C
At1
0
=
−C
t1 0
e
A(t1 −t )
Bu(t)dt
−
Du(t1
)
=
−C
t1 0
n−1
m (t) Am Bu(t)dt
−
Du(t1 )
m=0
=
−
C
n−1
Am B
t1 0
m
(t
)u
(t
)d
t
−
Du(t1 )
m=0
u 令
m (t1 ) =
t1
0m
(t)u(t)dt
，则
(9-120)
小组作业：围绕可控性可达性的定义以及判别方法查阅文献，每个 人介绍自己查看的文献，小组讨论总结并提出问题，然后分析问题 再解答问题，写出汇总的Word文档和ppt讲稿（以附件的形式给出 每个人查看文献内容或电子文档）。
四、输出可控性
如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输
出可控性。
输出可控性 若在有限时间间隔 [t0,t1] 内，存在无约束分段连续
例9-15 已知线性定常系统的对角线规范型为
•
x1
•
x
•
2
=
8 0
x
3
0
0 −1 0
0 x1 0
0
x
2
+
3
2
x
3
0
1
0 2
u1 u 2
（9－148）
试判定系统的可控性。 解 由于此规范型中B 不包含元素全为零的行，故系统完全可控。 例 9－24 给定线性定常系统的约当规范形为
(rki p)
=
b 2ik
i
b rik
而 ，由 的最后一行所组成的矩阵
b ri1
B i
=
b ri 2
b rii
系统(9-98)完全可控的充分必要条件是，对 i = 1,2,, l 均为行线
性无关。
证明 可用PBH秩判据予以证明，此处略去推证过程，有兴趣
的读者可参阅有关参文献。
+
R1i1
+
R3i3
=
u