第十章 波动学基础汇总

第十章 波动学基础
§10-1波动的基本概念
一、常见机械波现象 1、水面波。

把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波。

2、绳波。

绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波。

3、声波。

当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波。

二、机械波产生的条件
两个条件 1、波源。

如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。

2、传播介质。

如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声
波的传播介质是空气。

说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。

三、横波与纵波
1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。

如 绳波。

2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。

(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性
力，而是重力和表面张力。

⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨⎧
(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。

四、关于波动的几个概念
1、波线：沿波传播方向带箭头的线。

2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。

同一时刻，同相面有任意多个。

3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。

（或：传播在最前面的那个同相面）
4、平面波与球面波
(1)平面波：波阵面为平面。

(2)球面波：波阵面为球面。

图10-1
*：在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。

五．波长、波的周期和频率波速
波长λ
波长λ:同一波线上位相差为π2的二质点间的距离（即一完整波的长度）。

在横波情况下，波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示。

如下图。

在纵波情况下，波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的
距离表示。

波的周期T
图10-2
波的周期T: 波前进一个波长距离所用的时间（或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间）
波动频率v ：单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目。

可有
T v 1
= （1-1）
说明：由波的形成过程可知，振源振动时，经过一个振动周期，波沿波线传出一个
完整的波形，所以，波的传播周期（或频率）=波源的振动周期（或频率）。

由此可知，波在不同的介质中其传播周期（或频率）不变。

波速μ
波速μ：某一振动状态在单位时间内传播的距离（单位时间内波传播的距离）。

可有
T
v λ
λμ=
= （1-2）
对弹性波而言，波的传播速度决定于介质的惯性和弹性，具体地说，就是决定于介质的质量密度和弹性模量，而与波源无关。

横波在固体中传播速度为：ρ
μN
=
纵波速度为：ρ
μB
=
（液、气、固体中）
对大多数金属，Y B ≈，∴ρ
μY
=
式中 N ：固体切变弹性模量
B ：介质的体积弹性模量 Y ：杨氏弹性模量
ρ：介质质量密度
说明：波动速度与质点振动速度是不同的物理量。

§10-2 平面简谐波波函数
一、简谐波及波动方程
1、简谐波：当波源作谐振动时，介质中各点也都作谐振动，此时形成的波称为简谐波
又叫余弦波或正弦波。

*一般地说，介质中各质点振动是很复杂的，所以由此产生的波动也是很复杂的，但是可以证明，任何复杂的波都可以看作是由若干个简谐波迭加而成的。

因此，讨论简谐波就有着特别重要的意义。

2、简谐波的波动方程：设任一质点坐标为x ，t 时刻位移为y ，则()t x f y ,=关系即为
波动方程。

二、波动方程建立
如图所示，谐振动沿+x 方向传播，∵与x 轴垂直的平面均为同相面，∴任一个同相面上质点的振动状态可用该平面与x 轴交点处的质点振动状态来描述，因此整个介质中质点的振动研究可简化成只研究x 轴上质点的振动就行了，设原点处的质点振动方程为
()ϕω+=t cos A y 0
式中，A 为振幅，ω为角频率，ϕ称为初相。

图10-3
设振动传播过程中振幅不变（即介质是均匀无限大，无吸收的）为了找出波动过程中任一质点任意时刻的位移，我们在ox 轴上任取一点p ，坐标为x ，显然，当振动从o
处传播到p 处时，p 处质点将重复o 处质点振动。

∵振动从o 传播到p 所用时间为V
x
，
所以，p 点在t 时刻的位移与o 点在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-V x t 时刻的位移相等，由此t 时刻p 处质点位移为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕωv x t cos A y p （10-3）
同理，当波沿-x 方向传播时，t 时刻p 处质点位移为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕωv x t cos A y p （10-4）
利用 πνω2=
⎪⎭
⎫
⎝⎛==λνλν1v /v 或
由式（10-3）、（10-4）有
（10-5）
式（10-5）中，“-”表示波沿+x方向传播；“+”表示波沿-x方向传播。

（为方便，下p 标省略）。

式（10-5）称为平面简谐波方程。

根据位相（或πν
ω2
=）关系，式（10-5）又可化为
（10-6）
注意：（1）原点处质点的振动初相ϕ不一定为0；
（2）波源不一定在原点，因为坐标是任取的。

三、波动方程的物理意义
1、x、t均变化时，()t x y
y,
=表示波线上各个质点在不同时刻的位移。

()t x y
y,
=为波动方程。

2、
x
x=时，()t x y
y,
=表示
x处质点在任意t时刻位移。

波动方程()t x y
y,
=变成
了
x处质点振动方程()t y
y=。

3、
t
t=时，()0,t x y
y=表示
t时刻波线上各个质点位移。

波动方程()t x y
y,
=变成了t时刻的波形方程()x y
y=。

4、x、t均一定，()00,t
x
y
y=表示
t时刻坐标为
x处质点位移。

例10-1：横波在弦上传播，波动方程为
()x
t
y5
200
cos
02
.0-
=π (SI)
求：（1）?
=
μ
λ、
、
、
、T
v
A
（2）画出s
s
t005
.0
0025
.0、
=时波形图。

解：（1）⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
λ
π
λ
π
μ
πω
x
T
t
A
x
vt
A
x
t
A
y2
cos
2
cos
2
cos
此题波动方程可化为
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
4.0
01
.0
2
cos
02
.0
4.0
100
2
cos
02
.0
40
200
cos
02
.0
x
t
x
t
x
t
yπ
π
π
由上比较知： m A 02.0= s m /40=μ Hz v 100= m 4.0=λ s T 01.0=
另外：求λμ、可从物理意义上求
（a ）λ=同一波线上位相差为π2的二质点间距离
设二质点坐标为x 1、x 2（设x 2> x 1），有
()()πππ25200520021=---x t x t ，得
m x x 4.05
2
12==-=λ
（b ）μ=某一振动状态在单位时间内传播的距离。

设1t 时刻某振动状态在1x 处，2t 时刻该振动状态传到2x 处，有
()()221152005200x t x t -=-ππ ⇒
()()12122005t t x x -=-，得 s m t t x x /405
2001212==--=μ
（2）一种方法由波形方程来作图（描点法），这样做麻烦。

此题可这样做：画出0=t 时波形图，根据波传播的距离再得出相应时刻的波形图（波形平移）。

平移距离
λμ41
1.00025.04011==⨯=∆=∆t x
λμ2
1
2.0005.04022==⨯=∆=∆t x
图10-4
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
§10-3波的能量
波的传播过程就是振动的传播过程。

波到哪里，哪里的介质就要发生振动，因而具有动能；同时由于介质元的变形，因而具有势能，因此波传到哪里，哪里就有机械能。

这些机械能来自于波源。

可见，波的传播过程即是振动的传播过程，又是能量传递过程。

在不传递介质的情况下而传递能量是波动的基本性质。

一、波的能量
下面以简谐纵波在一棒中沿棒长方向传播为例，推导出波的能量公式。

如图所示，取x 轴沿棒长方向，设波动方程为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=μωx t A y cos 在波动过程中，棒中每一小段将不断地压缩和拉伸。

图13-7
在棒上任取一体积元BC ，体积dV ，棒在平衡位置时，B 、C 坐标分别为x ，dx x +，即BC 长为dx 。

设棒的横截面积为S ，质量密度为ρ，体积元能量为
p k dW dW dW +=
动能2
22121⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅==dt dy dV dmV dW k ρ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅=μωωρx t A dV 222sin 21 势能?=p dW
设t 时刻，A 、B 端位移分别为y 、dy y +，∴体积元伸长量为dy 。

设在体积元端面
上由于形变产生的弹性恢复力大小为f ，可知，协强为S
f
，协变为dx dy ，由杨氏弹性模
量定义有：
dx
dy Y S f =（Y 为杨氏弹性模量）
⇒dx
dy SY
f = 按胡克定律，在弹性限度内弹性恢复力值为
kdy f = 由上二式有：dx YS
k =
⇒ ()()2
2/2
121dy dx YS dy k dW p ⋅⋅==
2
22121⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy YdV dx dy YSdx ∵ρ
μY
=
∴2ρμ=Y
∵()t x y y ,= ∴
dx dy 应写成x y ∂∂，可有⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∂∂μωμωx t A x y sin ⇒ ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=μωωρx t A V dV V dW p 22222
sin 21 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
μωωρx t A dV 222sin 21 可得
⎪⎪⎭⎫
⎛-=+=μωωρx t A dV dW dW dW p k 222sin
（10-7）
讨论：（1
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==μωωρx t A dV dW dW p k 222sin 21 （2）波动中体积元的能量与单一谐振动系统的能量有着显著的不同。

在单一谐振动的系统中，动能和势能相互转化，动能最大时，势能最小，势能最大时，动能最小，系统机械能守恒。

在波动情况下，任一时刻任一体积元的动能与势能总是随时间变化的，变化是同步的，值也相等，这说明体积元总能量不能为常数，即能量不守恒（体积元）
（3）波动中体积元能量不守恒原因：每个体积元都不是独立地做谐振动，它与相邻的体积元间有着相互作用。

因而相邻体积元间有能量传递，沿着波传播方向，某体积元从前面介质获得能量，又把能量传递给后面介质，这样，通过体积元不断地吸收和不断传递能量，∴波动是能量传递的一种形式。

波动的能量密度w ：单位体积内波动能量。

⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==
μωρωx t A dV dW w 222sin 可知,w 是t 的函数。

平均能量密度w ：
⎰⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==T T dt x t A T wdt T w 02220sin 11μωρω dt x t T
A T
⎰⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=02
22cos 1211μωρω ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰T dt x t T T A 0222cos 21211μωρω 222
1
A ρω=
（10-8）
二、能流密度
如上所述，波的传播过程就是能量传播过程，因此可引进能流和能流密度概念。

1、平均能流
定义：单位时间内通过某一面积的能量称为能流。

如图所示，设S 为介质中垂直于波传播方向的一面积， ∴通过S 的能流=以S 为底V 为高的柱体内的能量。

∵这体积内能量是变化的。

∴可用平均值来表示。

定义：单位时间内通过某一面积的平均能量称为
平均能流。

由上可知，通过S 的平均能流为
P =平均能流密度⨯柱体体积
S w μ⋅=
（10-9）
式中： w 为平均能量密度
V 为波速
S 为面积
2、能流密度
（10-10）
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧
3、平面波和球面波振幅 （1）平面波
在推导平面波（简谐波）的波动方程时，假定介质中各点振幅不变。

现从能量角度
来看一下振幅不变的含义。

如图所示，设垂直于波传播方向上有两平面1S 、2S （21S S =），
此二平面构成了一柱体的二底面。

设1P 、2P 为通过1S 、2S 的平均能流，有
121211121
VS A VS w P ρω== 22222
222
1VS A VS w P ρω== 若21A A =，则21P P = （21S S =） 图10-9
也就是说，如果振幅不变，则通过1S 、2S 的平均能流相等，有多少能量通过1S 进入柱体内，就有多少能量通过2S 流出此柱体，这说明了介质不吸收能量。

因此，介质中各点振幅相同表明了介质不吸收能量。

（平面波情况） （2）球面波情况
在球面波情况下，假设介质不吸收能量，则振幅是否不变呢？分析如下。

设在距波源o 为1r 、2r 处取二球面（如图），面积分别为1S 、2S ，通过1S 、2S 的平均能流为
121211121
VS A VS w P ρω== 2
2222222
1VS A VS w P ρω== ∵介质不吸收能量 ∴ 21P P =
即 22
2
121S A S A = ⇒
1
2
1221r r S S A A == 可知,r
A 1
∝
∴波动方程为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=μωx t r A y cos 图10-10 式中：r 为离波源的距离。

A 为离波源为单位距离时的振幅。

例10-5：一简谐空气波，沿直径为m 14.0的圆柱形管传播，波的强度为23/109m W -⨯，
频率为Hz 300，波速为s m /300。

求：1）波的平均能量密度和最大能量密度；2）每两个相邻同相面间的波中含有的能量。

解：（1）∵V w I =
∴353
/103300
109m J I w --⨯=⨯=
=μ ∵能量密度为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=μωρωx t A w 222sin
∴35522max /10610322m J w A w --⨯=⨯⨯===ρω
⎪⎩⎪⎨
⎧⎪⎩⎪⎨
⎧
⎩
⎨⎧（2）题中相邻同相面间波含能量为
λS w w W ⋅=⋅=∆体积
J v d w 72
521062.4300300214.014.31032--⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=μπ §10-4 波的叠加
一、波的叠加原理
现在我们来讨论两个或两个以上的波源发出的波在同一介质中传播情况。

把两个小石块投在很大的静止的水面上邻近二点，可见从石头落点发出二圆形波互相穿过，在他们分开之后仍然是以石块落点为中心的二圆形波。

说明了他们各自独立传播。

当乐队演奏或几个人同时讲话时，能够辨别出每种乐器或每个人的声音，这表明了某种乐器和某人发出的声波，并不因为其他乐器或其他人同时发声而受到影响。

通过这些现象的观察和研究，可总结出如下的规律：
几列波在传播空间中相遇时，各个波保持自己的特性（即频率、波长、振动方向、振幅不变），各自按其原来传播方向继续传播，互不干扰。

在相遇区域内，任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动的位移的矢量和。

这个规律称为波的迭加原理或波的独立传播原理。

二、波的干涉
1、波的干涉含义
一般地说，频率不同，振动方向不同的几列波在相遇各点的合振动是很复杂的，迭加图样不稳定。

现在。

来讨论最简单而又最重要的情况，即
（1）振动方向相同
（2）频率相同
（3）位相差恒定
这样两列波迭加问题。

当两列波在空间中某点相遇时，各个波在该点引起的振动位相是一定的（当然在不同点的这个位相可能不同），因此该点的合振动的振幅是恒定的。

由此可知，如果两列波在空间某点相互加强（即合振幅最大），则这些点上始终是相互加强的，如果两列波在空间中某些点相互减弱（即合振幅最小），则在这些点上始终是相互减弱，可见迭加图样是稳定的。

这种现象称为波的干涉现象，相应的波称为相干波，相应的波源称为相干波源。

（前面的（1）、（2）、（3）为相干条件）
、干涉加强或减弱的条件
设有相干波源1S 、2S ，其振动方程为、
()111cos ϕω+=t A y
()222cos ϕω+=t A y
由波的迭加原理知，此二波在p 点引起的合振动=这两
列波单独存在时在p 点引起位移的代数和（∵在此振动
方向一致）∵此二波频率相同、而又在同一介质中传播
（即波速相同），∴二波波长相同，设为λ。

此二波在p 图10-15 点引起的振动分别为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=λπϕω11112cos r t A y ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=λπϕω22222cos r t A y p 点合成振动：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=λπϕωλπϕω222111212cos 2cos r t A r t A y y y （10-11） 对同方向、同频率振动合成，结果为
()ϕω+=t A y cos 其中：ϕ∆++=cos 2212221A A A A A
ϕ∆=在p 处二振动的相位差
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπϕλπϕ1222r r ⇐（很重要） ()λ
πϕϕ12122r r ---= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπϕλπϕλπϕλπϕϕ2221112221112cos 2cos 2sin 2sin r A r A r A r A tg 讨论：（1）()πλ
πϕϕϕk r r 221212±=---=∆ ),2,1,0(⋅⋅⋅=k 时，21A A A += （振幅最大，即振动加强）
()()πλπϕϕϕ1221
212+±=---=∆k r r ),2,1,0(⋅⋅⋅=k 时，21A A A -=
（振幅最小，即振动减弱）
（2）12ϕϕ=（=波源初相相同）时，
2212λ
δk r r ±=-= ),2,1,0(⋅⋅⋅=k 时，21A A A +=（振动加强）
()2
1212λδ+±=-=k r r ),2,1,0(⋅⋅⋅=k 时，21A A A -=（振动减弱）；12r r -=δ表示二波源到考察点路程之差，称为波程差。

由上可知，12ϕϕ=时，波程差等于半波长的偶数倍时，干涉加强，波程差等于半波长奇数倍时，干涉减弱。

说明：干涉加强与减弱，不仅与波源振动初相差()12ϕϕ-有关，而且也与波程差
12r r -=δ 引起的位相差λ
δπ2有关。

例10-6：A 、B 为同一介质中二相干波源，其振幅均为cm 5，频率为Hz 100。

A 处为波峰
时，B 处恰为波谷。

设波速为s m /10。

试求p 点干涉结果。

解：p 点干涉振幅为
ϕ∆++=cos 2212221A A A A A
()λπϕϕϕAP
BP r r ---=∆212
由题意知：
πϕϕ-=-A B （B 比A 位相落后）
m AB AP r BP 2522=+=
m r AP 15=
m v 1.0==
μλ ⇒ ππ
πϕ2011
.0155.22-=---=∆ 图10-16 ⇒ 0=A ()21A A = 即干涉静止不同。

强调：干涉加强与减弱条件。

例10-7：A 、B 为同一介质中二相干波源，振幅相等，频率为Hz 100，为B 波峰时，A 恰
为波谷。

若A 、B 相距m 30，波速为s m /400。

求：A 、B 连线上因干涉而静止的各点的位置。

图10-17
解：如图所取坐标
（1）A 、B 间情况。

任一点p ，二波在此引起振动位相差为
()λπϕϕϕ∆AP BP A B r r ---=2
()λππx x ---=302 m v
V 4100
400===λ ()ππx --=15
x ππ+-=14
当()πϕ∆12+=k ),,,k (⋅⋅⋅±±=210时 坐标为x 的质点由于干涉而静止。

（二振幅相同），即
()πππ1214+=+-k x
⇒ 152+=k x ),,,k (7210±⋅⋅⋅±±=
（2）在A 左侧情况，对任一点Q ，两波在Q 点引起振动位相差为：
()πππλπϕϕϕ144
3022-=-=---=∆AQ BQ A B r r
可见，A 外侧均为干涉加强，无静止点。

（3）在B 点右侧情况。

对任一点S ，两波在S 点引起的振动位相差为
()πππλπϕϕϕ164
3022-=--=---=∆AS BS A B r r 可见，在B 右侧不存在因干涉静止点。

强调：干涉加强与减弱条件。