大物习题答案1

1—21 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其 路程随时间的变化规律为，其中和b都是正常量。求t时刻齿尖P的速度 及加速度的大小。
[解] (1)设时刻t齿尖P的速率为v， 切向加速度，法向加速度，则 所以，t时刻齿尖P的加速度为
(2)当时，有
解得
1—22 一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为，轨迹为一抛物线
速度。
[解] 由粒子的轨道方程
对时间t求导数
(1)
再对时间t求导数并考虑到是恒量 (2)
把m代入式(1)得
所以，粒子在m处的速度为
与x轴正方向之间的夹角
由式(2)得粒子在m处的加速度为
方向沿y轴的正方向。
1—16 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置。(1)在t=2s时， 它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加 速度大小的一半时，值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相 等?
[解] (1)选海为S系，航空母舰为系，则有飞机对海的速度，飞机的 相对速度，牵连速度，则有
(2)选海为S系，空气为系，则飞机的绝对速度，牵连速度，相对 风的速度三者满足故有
[解] (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t
又 v=dx/dt 所以 dx=vdt
对上式两边积分，得
由题知 (m)
所以 c= - 457.3m
因而质点的运动方程为：
(2)
(3)
质点沿X轴作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置
为-457.3m.
1—9 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体 在x=0处的速度为，求物体的速度与位置的关系。
(2) 解式(1)、(2)组成的方程组得 所以，卫星距地面的高度
1—19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径 (为地球半径)作圆周 运动，并且已知这时月球对登月舱的引力加速度。试计算登月舱的速率 和飞行一周所需要的时间。
[解] 设登月舱的速率为v，周期为T，则 即 (1) 即 (2)
解式(1)(2)组成的方程组得
1—4 质点的运动学方程为，，其中 A、B、为正常数，质点的轨道 为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。
[证明] 由质点的运动方程 (1) (2)
对时间t求二阶导数，得质点的加速度
所以加速度矢量为 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心
1—5 质点的运动学方程为 (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t＝ 2s时质点的速度和加速度。
由(1)、(2)消去参数t得 此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面 上的投影为圆。 由式(2)可以看出，质点以速率c沿z轴运动。
综上可知，质点绕z轴作螺旋运动。 (2) 式(1)、(2)、(3) 两边对时间t求导数可得质点的速度 所以 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度
[解] 质点的运动方程:， (1)消去参数t，得轨道方程为:
(2)把t=1s代入运动方程，得
把t=2s代入运动方程，可得
(3)由速度、加速度定义式，有
所以，t时刻质点的速度和加速度为
所以，t=1s时，， t=2s时，，
(4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有
即 整理，得 解得 (舍去)
(5)任一时刻t质点离原点的距离
[解] 质点的角速度 质点的线速度 质点的法向加速度，切向加速度为
(1) (2)
(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时
(2)质点的总加速度
由得 解得 t=0.66s
所以 (3) 当即 时
有 t=0.55(s)
1—17 火车在曲率半径R＝400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切 向加速度，求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度。
[解] 设重物下落的加速度为，t时刻飞轮的角速度和角加速度为和， 则
因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 故 由题意知，t=0时刻飞轮的角速度 所以
1—26 如图所示，一航空母舰正以的速度向东行驶，一架直升飞机 准备降落在舰的甲板上。海上有的北风吹着。若舰上的海员看到直升飞 机以的速度垂直下降，求直升飞机相对海水及相对空气的速度?
[解] (1) 由质点的运动方程，可得
消去参数t，可得轨道方程
(2) 由速度、加速度定义式，有 将t=2s 代入上两式，得 ，
1—6 已知质点的运动学方程为，，，其中r、、c均为常量。试求： (1)质点作什么运动；(2)其速度和加速度?(3)运动学方程的矢量式。
[解] (1) 质点的运动方程 (1) (2) (3)
粒子减速运动。
1—3 一质点的运动学方程为， (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程： (2)在s时，质点的速度和加速度。
[解] (1) 由质点的运动方程 (1) (2)
消去参数t，可得质点的轨迹方程
(2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的 速度和加速度
所以 (3)
所以 (4) 把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。
(2) 由前面推导过程知 (3)
联立 (1)~(3)式，消去参数t得 此即为轨道方程，它为一条抛物线。
1—11 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，g为重 力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的 初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为 零时的速度(称为收尾速度)值为多大?
(如图所示)。试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径。
[解] 物体在A点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显
然有
(1)
=g
(2)
(3)
联立上述三式得
物体在B点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图
显然有
(4)
(5)
(6)
联立上述三式得
1—23 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A处，速度的大 小为v，其方向与水平线的夹角为，求点A的切向加速度和该处的曲率半 径。
所以 (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式
1—7 湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸 (如图所示)。当收绳速度为v时，试问：(1)船的运动速度u比v大还是小? (2)若v＝常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?
[解] (1) 由教材上图知 两边对t求导数，并注意到h为常数，得
[解]
对上式两边积分得 化简得
由题意知
故物体的速度与位置的关系为
1—10 一质点在平面内运动，其加速度，且，为常量。(1)求和的表 达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，，。
[解] 由 得 两边积分得
因，为常量，所以a是常矢量，上式变为 即 由得 两边积分，并考虑到和a是常矢量， 即 (2) 为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴 (如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。 这样 (1)
[解] 由题意可设质点的加速度与时间t的关系为 (k为常数) 又得 所以 故当时，质点的加速度 由得 对上式两边积分得 所以 又 对上式两边积分 经过时间后，质点所走过的距离
1—13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a=-ky，k为 常数，y是离开平衡位置的坐标值。设处物体的速度为，试求速度v与y 的函数关系。
令dr/dt=0 可得 t=3 所以，t=3s时，质点离原点最近 r(3)=6.08m
1—2 一粒子按规律沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动； 沿x轴负向运动；加速运动，减速运动的时间间隔。
[解] 由运动方程可得质点的速度 (1)
粒子的加速度
(2)
由式(1)可看出 当t>3s 时，v>0，粒子沿x轴正向运动；
当t<3s 时，v<0，粒子沿x轴负Leabharlann Baidu运动。
由式(2)可看出 当t>1s 时，a>0，粒子的加速度沿x轴正方向；
当t<1s 时，a<0，粒子的加速度沿x轴负方向。
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速
运动，所以，当t>3s或0<t<1s间隔内粒子加速运动，在1s<t<3s间隔内里
又 所以 Lv=su (1) 即 u/v=L/s>1 因此船的速率u大于收绳速率v。 (2) 将(1)式两边对t求导，并考虑到v是常量
所以 即
1—8 质点沿x轴运动，已知，当s时，质点在原点左边52m处(向右
为x轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位
置；(3)分析质点的运动性质。
习题一
1—1 一质点在平面xOy内运动，运动方程为x=2t， (SI)。(1)求质点 的运动轨道；(2)求t=1s和t=2s时刻质点的位置矢量；(3)求t=1s和t=2s时 刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速 度矢量垂直?这时x、y分量各为多少?(5)在什么时刻，质点离原点最近? 最近距离为多大?
[解] 由
对上式两边积分 即
故速度v与y的函数关系为
1—14 一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行 驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即， k为正常数。试求舰艇 在关闭发动机后行驶了x距离时速度的大小。
[解]
对上式两边积分 化简得
所以
l—15 一粒子沿抛物线轨道运动，且知。试求粒子在m处的速度和加
[解] 设A点处物体的切向加速度为，法向加速度为，曲率半径 为，则
由图知
又
所以
1-24 一火炮在原点处以仰角、初速发射一枚炮弹。另有一门位于m
处的火炮同时以初速发射另一枚炮弹，其仰角为何值时，可望能与第一
枚炮弹在空中相碰?相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)?
[解] 设经过时间t后，炮弹1、炮弹2的坐标分别为、，则
1—20 如图所示，一卷机扬自静止开始作匀加速运动，绞索上一点 起初在A处经3s到达鼓轮的B处，然后作圆周运动。已知AB=0.45m，鼓 轮半径R=0.5m，求该点经过点C时，其速度和加速度的大小和方向。
[解] 设指点的切向加速度为，经过B点时的速率为，法向加速度为， 由题意知
(1) (2)
(3)
(4) 联立以上四式，得
对炮弹1
对炮弹2
当炮弹1、炮弹2相碰时
即
(1)
(2)
解式(1)、(2)组成的方程组得 (3)
所以
相遇时的坐标设为(x，y)，则
1—25 河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的 流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为。某人以相对水流不变 的速率v垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程。
[解] (1) 由得 两边积分，得 即 由t=0时v=0 得 c=g 所以，物体的速率随时间变化的关系为:
(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B
1—12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a，此后随t均 匀增加，经时间后，加速度变为2a，经后，加速度变为3a，……。求经 时间后，该质点的加速度和所走过的距离。
[解] 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 火车的总加速度 设加速度a与速度v之间的夹角为，则
1—18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上 运动，周期等于地球的自转周期T=24h。求卫星离开地面的高度和卫星 的速率(距地球中心r处的重力加速度，是地球的半径。)
[解] 设同步卫星距地球的中心为r，引导速率为v，则 (1)