最新二重积分的计算法(1)
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D
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
x y2 y x2
(x2
D
y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
例 2
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
D
2
将 DD 1D 2 视为Y–型区域 , 则 o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
ID f(x,y)dxdy 0 d y
例4 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解
D
1 x y y
1 y 2
2
y y2
I=
dy
1
1 x 2 dx y
Y—型
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
0
3
0
6
1(1 2). 6e
例7 计算积分
1
I 2 dy
yy
1
e xdx . dy
yy
e xdx
1
1
4
2
1 2
y
y
解 exd不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
1 xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1 2
3e 1 e. 82
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
以上各例说明
化二重积分为累次积分时选择积分次 序的重要性，有些题目两种积分次序在计 算上难易程度差别不大，有些题目在计算 上差别很大，甚至有些题目对一种次序能 积出来，而对另一种次序却积不出来
另外交换累次积分的次序：先由累 次积分找出二重积分的积分区域，画出 积分区域，交换积分次序，写出另一种 次序下的累次积分。
y2x y 2xx2
1
2 y
原式
dy
Hale Waihona Puke 0 11 y2f (x, y)dx .
练习 交换下列积分顺序
2 x2
22 8 x2
I0dx0 2f(x,y)dy 2 dx0 f(x,y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2,D2:02yx822x2
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
1、 ( x3 3x 2 y y3 )d ________.
D
其中 D : 0 x 1,0 y 1.
2、 x cos(x y)d _________.其中
D
D是顶点分别为 (0,0)，( ,0)，( , )
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f(x ,y)da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y)d.y ［X型］
D
Df(x ,y)dc dd y 1 2 ((y y ))f(x ,y)d.［xY型
（在积分中要根据积分区域和被积 函数的特征正确选择积分次序）
练习题
一、 填空题:
例5 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
D
22
解 D是X—型区域 I dx yexydy
11
要分部积分，不易计算
x
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idyyexydxdyyexydx
D
0
1 y
11
易见尽管须分片积分，但由于被积函
数的特点，积分相对而言也较方便。
二重积分的计算法(1)
一、利用直角坐标系计算二重积分
1、如果积分区域为D：axb,
［X－型 ］
1 (x )y2 (x ).
特点：
穿过区域且平行
y2(x)
y2(x)
于y轴的直线与区 域边界相交不多于
D
y1(x)
D
y1(x)
两个交点.
a
b
a
b
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
注意
则
D:1(xa)yx b2(x)
f(x,y)dxdy
D
b
2(x)
dx
a
1(x)
f
(x,
D
x oay1(x)b y)dy
x
若D为Y –型区域D: 1(yc) xy d2(y)
y x2(y) d y
x1(y)
则
d dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
c o
x
练习： 求 ( x2 y)dxdy，其中 D 是由抛物
yx y x2
例8 计算
ysixn 1 )d ( x ,D :d y2 yx ,yx2
D x 1
解 根据积分区域的特点
应先对 x 后对 y 积分
2
I
2 y2
dy
ysinx(1)dx
1 y2 x1
但由于 sin(x 1)
1
4
x 1 -1
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
先x 后y 有
例6 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2
y3 dy
e 1 y2 y2dy2
1
I dx
x y sin( x 1) dy
0 x x1
4
dx
x y sin( x 1)dy
1 x2 x 1
奇函数
0 4 1 [ x ( x 2 ) 2 ] sin( x 1 ) dx
12
x1
1
4
(
x2
5x
4 ) sin(
x 1 ) dx
21
x1
1
4
(4
x ) sin(
1
4
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围
内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。
由以上例3、例4可见，为了使二重 积分的计算较为方便，究竟选用哪一种
积分次序主要由积分区域的特点来确定，
在积分区域的表达式中选取比较简单的
一组，从而确定相应的公式，同时还要
兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪 一个变量较容易积分(如下例），总之要 兼顾积分区域和被积函数的特点。
00
分析：此类题可先由所给积分画出积分区域 图，写出交换次序后的不等式组，最后写出 新的二次积分。
解 积分区域如图
原式
1 1y
dy
f(x,y)dx.
00
y1x
例 3 改变积分
1
dx
2 x x2
f (x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
00
10
分析：略
解 积分区域如图
ⅰ）二重积分化二次积分的步骤
①画积分区域图； ②选择积分次序，写出不等式组； ③将二重积分化为二次积分。
ⅱ）二次积分中积分的上限不小于下限。
ⅲ）若是X—型，就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ，
注意内层积分限是外层积分变量的函数， 外层积分限是常数。
若D为 X – 型区域
y y2(x)
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
x y2 y x2
(x2
D
y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
例 2
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
D
2
将 DD 1D 2 视为Y–型区域 , 则 o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
ID f(x,y)dxdy 0 d y
例4 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解
D
1 x y y
1 y 2
2
y y2
I=
dy
1
1 x 2 dx y
Y—型
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
0
3
0
6
1(1 2). 6e
例7 计算积分
1
I 2 dy
yy
1
e xdx . dy
yy
e xdx
1
1
4
2
1 2
y
y
解 exd不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
1 xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1 2
3e 1 e. 82
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
以上各例说明
化二重积分为累次积分时选择积分次 序的重要性，有些题目两种积分次序在计 算上难易程度差别不大，有些题目在计算 上差别很大，甚至有些题目对一种次序能 积出来，而对另一种次序却积不出来
另外交换累次积分的次序：先由累 次积分找出二重积分的积分区域，画出 积分区域，交换积分次序，写出另一种 次序下的累次积分。
y2x y 2xx2
1
2 y
原式
dy
Hale Waihona Puke 0 11 y2f (x, y)dx .
练习 交换下列积分顺序
2 x2
22 8 x2
I0dx0 2f(x,y)dy 2 dx0 f(x,y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2,D2:02yx822x2
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
1、 ( x3 3x 2 y y3 )d ________.
D
其中 D : 0 x 1,0 y 1.
2、 x cos(x y)d _________.其中
D
D是顶点分别为 (0,0)，( ,0)，( , )
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f(x ,y)da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y)d.y ［X型］
D
Df(x ,y)dc dd y 1 2 ((y y ))f(x ,y)d.［xY型
（在积分中要根据积分区域和被积 函数的特征正确选择积分次序）
练习题
一、 填空题:
例5 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
D
22
解 D是X—型区域 I dx yexydy
11
要分部积分，不易计算
x
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idyyexydxdyyexydx
D
0
1 y
11
易见尽管须分片积分，但由于被积函
数的特点，积分相对而言也较方便。
二重积分的计算法(1)
一、利用直角坐标系计算二重积分
1、如果积分区域为D：axb,
［X－型 ］
1 (x )y2 (x ).
特点：
穿过区域且平行
y2(x)
y2(x)
于y轴的直线与区 域边界相交不多于
D
y1(x)
D
y1(x)
两个交点.
a
b
a
b
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
注意
则
D:1(xa)yx b2(x)
f(x,y)dxdy
D
b
2(x)
dx
a
1(x)
f
(x,
D
x oay1(x)b y)dy
x
若D为Y –型区域D: 1(yc) xy d2(y)
y x2(y) d y
x1(y)
则
d dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
c o
x
练习： 求 ( x2 y)dxdy，其中 D 是由抛物
yx y x2
例8 计算
ysixn 1 )d ( x ,D :d y2 yx ,yx2
D x 1
解 根据积分区域的特点
应先对 x 后对 y 积分
2
I
2 y2
dy
ysinx(1)dx
1 y2 x1
但由于 sin(x 1)
1
4
x 1 -1
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
先x 后y 有
例6 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2
y3 dy
e 1 y2 y2dy2
1
I dx
x y sin( x 1) dy
0 x x1
4
dx
x y sin( x 1)dy
1 x2 x 1
奇函数
0 4 1 [ x ( x 2 ) 2 ] sin( x 1 ) dx
12
x1
1
4
(
x2
5x
4 ) sin(
x 1 ) dx
21
x1
1
4
(4
x ) sin(
1
4
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围
内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。
由以上例3、例4可见，为了使二重 积分的计算较为方便，究竟选用哪一种
积分次序主要由积分区域的特点来确定，
在积分区域的表达式中选取比较简单的
一组，从而确定相应的公式，同时还要
兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪 一个变量较容易积分(如下例），总之要 兼顾积分区域和被积函数的特点。
00
分析：此类题可先由所给积分画出积分区域 图，写出交换次序后的不等式组，最后写出 新的二次积分。
解 积分区域如图
原式
1 1y
dy
f(x,y)dx.
00
y1x
例 3 改变积分
1
dx
2 x x2
f (x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
00
10
分析：略
解 积分区域如图
ⅰ）二重积分化二次积分的步骤
①画积分区域图； ②选择积分次序，写出不等式组； ③将二重积分化为二次积分。
ⅱ）二次积分中积分的上限不小于下限。
ⅲ）若是X—型，就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ，
注意内层积分限是外层积分变量的函数， 外层积分限是常数。
若D为 X – 型区域
y y2(x)