最新二重积分的计算法(1)
02第二节二重积分的计算(一)
第二节 二重积分的计算(一)分布图示★ 利用直角坐标系计算二重积分 ★ 关于积分限的确定 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 交换二重积分次序的步骤★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题10 -2 ★ 返回内容要点一、在直角坐标系下二重积分的计算对-X 型区域：)}()(,|),{(21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤，有⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdy y x f dx dxdy y x f ϕϕ (2.2)对-Y 型区域：)}()(,|),{(21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤，有.),(),()()(21⎰⎰⎰⎰=y y dcDdx y x f dy dxdy y x f ψψ (2.3)二、交换二次积分次序的步骤（1）对于给定的二重积分,),()()(21⎰⎰x x ba dy y x f dx ϕϕ 先根据其积分限),()(,21x y x b x a ϕϕ≤≤≤≤画出积分区域D （图9-2-13）；（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D 的积分限),()(,21y x y d y c ψψ≤≤≤≤（3）写出结果 .),(),()()()()(2121⎰⎰⎰⎰=y y dcx x badx y x f dy dy y x f dx ψψϕϕ三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数),(y x f 的奇偶性和积分区域D 的对称性两方面.例题选讲在直角坐标系下二重积分的计算例1（E01）计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为—X 型,dx xydy xyd xD⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211σdx y x x12122⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=.81148222124213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰x x dx x x解二 将积分区域视为—Y 型,⎰⎰Dxyd σdy x y dy xydx yy 22122122⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2142213822⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y y .811=例2 计算σd y x yD⎰⎰-+221, 其中D 是由直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域.解 如图,D 既是—X 型,又是—Y 型.若视为—X 型,则原积分dx dy y x y x ⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=111221[]dx y x x 1112/322)1(31⎰--+-=.21)1(32)1|(|31103113=--=--=⎰⎰-dx x dx x若视为—Y 型，则,111221122dy dx y x y d y x y yD⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+⎰⎰⎰⎰--σ其中关于x 的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.例3（E02））计算二重积分,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由抛物线x y=2及直线2-=x y 所围成的闭区域.解 如图,D 既是—X 型，也是—Y 型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.dy xydx xyd y yD⎰⎰⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2122σdy y y y dy y x y y ⎰⎰-+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21522212])2([21222162346234421-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=y y y y .855=例4（E03）计算,2dxdy e Dy ⎰⎰ 其中D 由1,==y x y 及y 轴所围. 解 画出区域D 的图形.将D 表成—X 型区域,得,1,10:≤≤≤≤y x x D.1122⎰⎰⎰⎰=xy Dy dy e dx dxdy e因⎰dy e y 2的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将D 表成—Y 型区域,得,0,10:y x y D ≤≤≤≤⎰⎰Dy dxdy e2dy y x edx e dy y yy ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==110022).1(21)(211021022-===⎰⎰e y d e dy e y y y例5（E04）计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x . 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21222()(||D D Ddxdy x y dxdy y x dxdy xy ）⎰⎰⎰⎰-+-=--121121122)()(xx dy x y dx dy y x dx.15112121211142114-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰⎰--dx x x dx x例6 计算二重积分,dxdy eDyx ⎰⎰+ 其中区域D 是由0,1,0===y x x , 1=y 所围成的矩形.解 如图，因为D 是矩形区域,且,y x y x e e e ⋅=+所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰+1010dy e dx e dxdy e y Dx y x .)1())((21010-==e e e y x例7（E05）求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积.解 成的立体的体积. 222R y x =+及.222R z x =+利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积,1V 然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为},0,0),{(22R x x R y y x D ≤≤-≤≤=它的顶是柱面.22x R z -=于是, ⎰⎰-=Dd x R V σ221dx dy x R R x R ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-02222dx y x R x R oR22022-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=,32)(3022R dx x R R=-=⎰故所求体积为.3/16831R V V ==交换二次积分次序的步骤例8 交换二次积分⎰⎰-xdy y x f dx 101),(的积分次序.解 题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰--=yxdx y x f dydy y x f dx1010110.),(),(例9（E06）交换二次积分⎰⎰xxdy y x f dx 2),(1的积分次序.解 题设二次积分的积分限:,,102x y x x ≤≤≤≤ 可改写为:,,10y x y y ≤≤≤≤所以⎰⎰⎰⎰=yyxx dx y x f dydy y x f dx.),(),(112例10（E07）证明⎰⎰⎰---=aa xb ya xb adx x f e x a dx x f edy 0)(0)(0)()()(其中a 、b 均为常数, 且0>a .证 等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0所以dx x f edy aya xb ⎰⎰-0)()(dx dy x f e dy x f edxa ax a x b aaxa xb ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--0)(0)()()(.)()(0)(dx x f e x a aa xb ⎰--=例11（E08）交换二次积分⎰⎰⎰⎰--+xx x dy y x f dx dy y x f dx 2021201),(),(2的积分次序.解 题设二次积分的积分限:⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤-≤≤≤≤x y x x x y x 20,2120,102可改写为 y x y y -≤≤--≤≤211,102 所以 原式.),(102112dx y x f dy yy ⎰⎰---=例12 交换二次积分)0(),(22022>-⎰⎰a dy y x f x ax axdx a 的积分次序.解 题设二次积分的积分限:ax y x ax a x 22,202≤≤-≤≤由 ax y 2=x ay =22y = 22y a a x -±=原式dx y x f dyay a a ay ⎰⎰--=2222),(.),(),(202202222dx y x f dydx y x f dyaaay aay a a ⎰⎰⎰⎰++-+例13 计算积分 .2/112/14/12/1//dx e yy dy dx e y dy I x y xy ⎰⎰⎰⎰+=解 dx e x y⎰不能用初等函数表示,∴先改变积分次序.题设二次积分的积分限:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤yx y y y x y ,12121,4121 可改写为x y x x ≤≤≤≤2,121，所以 .2183)(1211212e e dx e e x dye dx I x xx x y -=-==⎰⎰⎰利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算例14（E09） 计算,)](1[22⎰⎰++Ddxdy y x xf y 其中积分区域D 由曲线2x y =与1=y 所围成.解 令),(),(22y x xyf y x g +=因为D 关于y 轴对称,且),,(),(y x g y x g -=- 故⎰⎰=+Ddxdy y x xyf 0)(22 ⎰⎰⎰⎰-==Dx ydy dxydxdy I 1112.54)1(21114=-=⎰-dx x例15 计算,)1(dxdy xy I D⎰⎰+=其中.44:22≤+y x D 解法一 先对y 积分,积分区域:D,12121122⎩⎨⎧-≤≤--≤≤-x y x x 故dyxy dxI x x ⎰⎰----+=11121222)1(dx x dx xy x x ⎰⎰------+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112121211142122.22411)1(322/32ππ=⋅+---=x解法二 先对x 积分，积分区域:D,4214212222⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-y x y y 故.2)1(2242142122π=+=⎰⎰----dx xy dyI y y解法三 利用对称性,.⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy xydxdy I因为积分域D 关于x 轴对称，且函数xy y x f =),(关于x 是奇函数,所以.0⎰⎰=Dxydxdy又⎰⎰=Ddxdy .2π 故.2π=I例16（E10）计算,22⎰⎰Ddxdy y x 其中区域:D .1||||≤+y x 解 因为D 关于x 轴和y 轴对称，且,),(22y x y x f =关于x 或关于y 为偶函数dxdy y x I D ⎰⎰=1224⎰⎰-=1010224xdy y x dx.451)1(34132=-=⎰dx x x 注: 若直接在D 上求二重积分，则要繁琐很多.例17 证明不等式 ,2)sin (cos 122⎰⎰≤+≤Ddxdy x y其中.10,10:≤≤≤≤y x D证 因为D 关于y x =对称，所以dxdy y dxdy x DD ⎰⎰⎰⎰=22cos cos ，故dxdy x x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=+)sin (cos )sin (cos 2222又由于)4sin(2sin cos 222π+=+x x x 及102≤≤x 而D 的面积为 1. 由二重积分性质,有.2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰dxdy x y D课堂练习1. 变换下列二次积分的次序：.),(2111⎰⎰-+-x x dy y x f dx2. 计算,22⎰⎰Dd yx σ其中D 是由直线x y x ==,2及双曲线1=xy 所围成的区域.3. 计算二次积分.sin 121⎰⎰xdy y dx。
二重积分的计算法[精编文档]
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一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分（Double integral）是微积分中的一种重要计算方法，用于计算平面区域上一些函数在该区域上的积分值。
在二维平面上，我们可以将区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形内函数的函数值乘以其面积，再将所有小矩形的积分值求和，即可得到二重积分的近似值。
为了更好地理解和计算二重积分，我们将其分为三个部分进行讨论：积分区域的确定、积分函数的选择和积分计算方法。
一、积分区域的确定：确定二重积分的积分区域是计算的第一步。
在平面上，积分区域可以是一个有界闭区域、一个有界开区域或者无穷区域。
积分区域的确定需要根据具体问题进行分析、绘图和建立坐标系。
对于有界闭区域，通常可以直接利用给定的区域边界方程建立坐标系，进而确定积分区域。
对于有界开区域，可以通过给定的边界方程建立坐标系，然后再引入限制条件来确定积分区域。
例如，给定条件是$x>0$，$y>0$，则可以建立第一象限坐标系，并按照给定的边界方程绘制积分区域。
对于无穷区域，可以通过适当的变量替换将其转化为有界区域，然后再进行积分计算。
例如，将积分区域$x>0$，$y>0$转换为极坐标系下的∞半径的极坐标区域。
二、积分函数的选择：选择正确的积分函数是二重积分计算的关键。
积分函数的选择需要根据具体问题中函数的性质和所要计算的目的进行合理选择。
常见的积分函数包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
对于具体问题，可以根据函数的性质选择合适的积分函数。
在选择积分函数时，还需要考虑积分区域的特点。
如果积分区域对称，可以考虑选择合适的奇偶函数进行积分计算，减少计算量。
三、积分计算方法：根据实际情况，二重积分可以采用不同的计算方法。
1.直角坐标系下的二重积分：在直角坐标系下，可以通过定积分的计算方法进行二重积分的计算。
其中，积分区域可以用水平边界和垂直边界的方程表示，从而确定积分的上下限。
如果积分区域为有界区域，可以采用上下限函数的自变量依次固定的方法进行计算。
二重积分的计算法
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对二元函数在某个区域上的积分进行计算，而二重积分就是用来描述这样的问题的数学工具。
本文将介绍二重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二重积分的定义。
对于平面上的有界闭区域D和在D 上有定义的连续函数f(x, y)，我们可以将D分成许多小的面积ΔS，然后在每个小面积ΔS上取点(xi, yi)，计算函数值f(xi, yi)与ΔS的乘积，然后将所有这些乘积相加，得到的极限值就是二重积分的值，即：∬D f(x, y) dxdy = lim Σ f(xi, yi)ΔS。
其中，ΔS是小面积ΔS的面积，Σ表示对所有小面积求和，极限值即为二重积分的值。
接下来，我们将介绍二重积分的计算方法。
在实际应用中，我们通常会遇到以下几种情况：1. 矩形区域上的二重积分计算。
当积分区域为矩形区域时，我们可以利用定积分的性质，将二重积分转化为两次定积分的形式进行计算。
具体而言，对于矩形区域D=[a, b]×[c, d]上的函数f(x, y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy = ∫c^d ∫a^b f(x, y) dxdy。
这样，我们就可以将二重积分的计算转化为两次定积分的计算，从而简化了计算的过程。
2. 极坐标系下的二重积分计算。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
对于极坐标系下的二元函数f(r, θ)，其二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) drdθ。
在极坐标系下，积分区域D的描述通常更加简单，而且在计算过程中也更加方便，因此在一些问题中，我们可以通过将坐标系转化为极坐标系来简化计算过程。
3. 用换元法进行二重积分计算。
在一些复杂的情况下，我们可以利用换元法来简化二重积分的计算。
通过适当的变量替换，我们可以将原来的积分区域转化为一个更加简单的积分区域，从而简化计算过程。
0902二重积分的计算法-1
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a
二重积分地计算方法(1)
1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x bϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x xϕϕ在[,]a b上连续，则有21()()(,)(,)b xa xDf x y d dx f x y dyϕϕσ=⎰⎰⎰⎰；（1）若D为y型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y dψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y yψψ在[,]c d上连续，则有21()()(,)(,)d yc yDf x y d dy f x y dxψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dydxdyx⎰⎰，其中D是由2x=，y x=，及1xy=所围成．分析积分区域如图3所示，为x型区域()1D=,12,x y x y xx⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解积分区域为x型区域()1D=,12,x y x y xx⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则yy=xxy=1D2D121图12221221x x Dy y dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ 321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122xxx xdx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰y图41222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例3计算二重积分D，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤． 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解 区域D 如图6可分为12D D U ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩由公式（3）则12DD D =+2212111523x xdx dx π--=+=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x y ux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx xαβ==，如果设2,y y u v x x ==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯ ()()4,,,.uJ u v u v v=∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dx dxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311dudv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰ （5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）图 8例7计算DI =，其中D 为圆域：221x y +≤分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解 作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩， 则有DI =21d πθ=⎰⎰120d πθ⎡=⎣⎰202d πθπ==⎰． 例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==，以及曲线x =所围成的平面区域．分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域D 与1D 据极坐标变换简化一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根被积函数．解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，又1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+=⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩ 并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9计算D I =⎰⎰，其中(),0D x y y x a ⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解 作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知DI =⎰⎰1200d πθ=⎰⎰126abc d abc ππθ==⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰ 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰12002dy ydx =⎰()31220213y y dy =+⎰()()5212022111515y =+=．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区11域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+- 故原式224Dxy dxdy +-⎰⎰()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰，利用极坐标计算有()()1222220448D xy dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰()()2232220125442D xy dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=． 例12 求(),Df x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.12解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D =U U . 在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy edxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()a b xab xx y x y a xadx edy dx edy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰a b a b ae be e e ----=-+-。
二重积分的计算(1)
–1
例4 将二重积分换序 I =
∫
a
0
dx ∫
2 ax − x 2
x
f ( x , y )dy
0≤ x≤a D: x ≤ y ≤ 2ax − x 2
y 2 = 2ax − x 2
y
a
x = a − a2 − y2
即 y + ( x − a) = a
又Q x ≤ a,
2
2
2
∴x−a = − a − y
所围立体在 xoy 面上的投影是
Q 0 ≤ x + y ≤ 1, ∴ x + y ≥ xy ,
所求体积V =
1 1− x
∫∫ ( x + y − xy )dσ
D
= ∫0 dx ∫0 ( x + y − xy )dy
1 7 3 = ∫0 [ x (1 − x ) + (1 − x ) ]dx = . 24 2
a x
(练习)将二重积分化成二次积分 将二重积分化成二次积分 二 先对 y 积分
y
I=
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
b
o y D
I=
a x
∫
a
0
dx ∫
b x a 0
f ( x , y )dy
b
o y
.
D
I=
a x
x y + =1 a b .
∫
a
0
dx ∫b f ( x , y )dy
a x
0
∫
x
=
∫
1
0
xdx ∫ 2 ydy
x
x
1 1 1 3 5 = = ∫ ( x − x )dx 24 2 0
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
二重积分的基本计算方法
二重积分的基本计算方法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域内的面积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将介绍二重积分的基本计算方法。
我们来看二重积分的定义。
对于二元函数f(x,y)，在平面上的一个闭区域D上，可以定义二重积分为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面上的面积元素，可以表示为dx dy或者dy dx。
二重积分的计算方法主要有两种：先对x进行积分，再对y进行积分；或者先对y进行积分，再对x进行积分。
第一种方法是先对x进行积分，再对y进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在x轴上的投影为[a, b]，在y轴上的投影为[c, d]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dy dx2. 针对y进行积分时，将x看作常数，即将f(x,y)中的x替换为常数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
3. 最后对x进行积分，将y看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于x的函数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
第二种方法是先对y进行积分，再对x进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在y轴上的投影为[c, d]，在x轴上的投影为[a, b]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[c,d]∫[a,b] f(x,y) dx dy2. 针对x进行积分时，将y看作常数，即将f(x,y)中的y替换为常数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
3. 最后对y进行积分，将x看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于y的函数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
无论采用哪种方法，最终的结果都是相同的。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
除了基本的计算方法之外，还可以利用二重积分来计算一些特殊区域的面积、质量、质心等物理量。
例如，对于平面上的一个闭区域D，可以使用二重积分来计算该区域的面积。
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
二重积分的计算
b | x dx
dx
1 b (b − t )n f ( t )dt = ∫a n
关于对称性的定理 （关于 x 轴、y 轴、 设 D1 , D2 是对称的两部分. 原点、 或某直线）. (1) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相等， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ
y
x = −1
y=x
1
D
y 1 + x 2 − y 2 dσ ∫∫
D
= ∫ dx ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy
−1
1
x
−1
x o 1
y =1
x
= ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy −1
2 2
1
1
x
= = = =
1 1 2 2 dx ∫ 1 + x − y (− ) d (1 + x 2 − y 2 ) ∫− 1 x 2 1 1 dx ∫ 1 1 + x 2 − y 2 d (1 + x 2 − y 2 ) (− ) ∫ x 2 −1 3 1 1 2 2 2 2 1 (− ) ∫ (1 + x − y ) | dx 2 −1 3 x 1 2 1 3 (− ) ∫−1 (| x | −1) dx 2 3
D2 D1
(2) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相反， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = − ∫∫ f ( x , y )dσ
D2 D1
D : x 2 + y 2 ≤ R 2 , ( R > 0) 例6 设 ( 2) ∫∫ x | y | dσ 求 (1) ∫∫ | xy | dσ
二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学中的一种重要计算方法，用于计算二元函数在平面区域上的累计效应。
在实际问题中，二重积分常常用于计算平面区域上的面积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在计算二重积分时，可以采用多种方法，如直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化、换元积分法等。
接下来，我们将详细介绍这些计算方法。
一、直角坐标系下的直接计算方法二、极坐标系下的计算方法在一些情况下，特别是当被积函数具有旋转对称性时，我们可以利用极坐标系对二重积分进行变换，从而简化计算过程。
具体而言，对于形如$f(r,\theta)$的二元函数，我们可以通过进行坐标变换得到$f(x,y)$的形式，然后按照直角坐标系下的直接计算方法计算积分。
换句话说，我们先将极坐标系下的$r$和$\theta$表示转化为直角坐标系下的$x$和$y$表示，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
例如，对于极坐标下的面积分，我们有如下变换关系：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，从而可以将极坐标下的面积分转化为直角坐标下的面积分。
三、换元积分法在一些情况下，被积函数本身可能比较复杂，或者积分的区域形状比较复杂，这时可以通过换元积分法将原问题转化为更简单的形式，从而方便计算。
例如，对于形如$f(x,y)$的二元函数，我们可以通过变量替换将其转化为新的二元函数$g(u,v)$，并找到合适的Jacobian行列式来计算变换后的二重积分。
具体而言，变量替换的过程包括两个步骤：首先，通过$u=g_1(x,y)$，$v=g_2(x,y)$的关系找到$x$和$y$与$u$和$v$之间的函数关系；然后，计算Jacobian行列式$J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$，并将其带入变换后的二重积分中进行计算。
需要注意的是，选取合适的变量替换和Jacobian行列式是成功应用换元积分法的关键。
综上所述，二重积分的计算方法包括直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化和换元积分法等。
10.2二重积分计算(1)
y
y = 4 − x2
D = D + D2 (如图所示 如图所示) 如图所示 1
显然, 在D 上, f (−x, y) = − f (x, y) 显然 1
D 1
o D2 1 x
x =1
在D2上, f (x,−y) = − f (x, y)
∴ I = ∫∫ x ln(y + 1+ y2 )dxdy
D 1
z
D
o
(曲边梯形的面积 曲边梯形的面积) 曲边梯形的面积
a x0 b x y = ϕ1(x)
V = ∫∫ f (x, y) dσ = ∫ A(x)d x D
b
为第二次积分的 被积函数的因子
b
=∫ [ ∫
a
b
ϕ2 ( x)
a
ϕ1( x)
f (x,y) dy ]d x ∆∫ dx∫
a
ϕ2 ( x)
ϕ1 ( x)
D3
∫∫(xy + cos xsin y)d xd y = 0 + 2∫∫cos xsin yd xd y
D2 D 1
例.计算 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成 解: 令 f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 其中 由
4
y = −3x
= ∫∫ f (x, y)dxdy
D
性质: 性质
(有和定积分完全对应的性质 条) 有和定积分完全对应的性质:7条 有和定积分完全对应的性质
D
1. ∫∫ k f (x, y)dσ = k ∫∫ f (x, y) dσ ( k 为常数) 为常数 D
假 定 下 列 性 质 中 出 现 的 二 重 积 分 存 在
二重积分的计算法
即等于两个定积分的乘积.
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. (3)积分区域D既是X型:
y
a x b, 1 ( x ) y 2 ( x )
又是Y型:
二重积分的计算法
2 2 x y 2 2 说明: 当f (x, y )在所考虑的区域上连续时 , 当 x y 0, 时, 2 2 2 例如: 设f ( x , y ) ( x y ) 二次积分可以交换积分次序 . 2 2 当x y 0时. 0, 1 1 I1 dx f ( x , y )dy , 0 0 4 1 1 x I 2 dy f ( x , y )dx , 由于 2 2 f ( x , y ), 0 0 x x y 1 1 1 x x 1 故 f ( x , y ) dx 2 dx 2 2 2 2; 0 0 x x y x y 0 1 y 1 1 1 1 1 所以 I 2 dy f ( x , y )dx d y arctan y 0 2 0 0 0 1 y 1 1 1 1 . 0 dx 0 f ( x, y )dy 0 dy 0 f ( x, y )dx. 18 4
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
1二重积分的计算
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x2 + y2 = a2 ⇒ r = a,
( x2 + y2 )2 = 2a2 ( x2 − y2 ) ⇒ r = a 2cos 2θ ,
由⎨⎧r ⎩
=
a r
2cos2θ =a
,
得交点A = (a, π), 6
所求面积σ = ∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
f ( x, y) 为曲顶柱体的体积． z
z = f (x, y)
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
y
A(x0 )
y = ϕ2(x)
x
b
x0 a
得
f (x, y)dσ =
b
ϕ2 (x)
f
(x,
y = ϕ1(x)
y)dydx.
∫∫ ∫ ∫ D
a ϕ1 ( x )
=
b
dx
ϕ2 (x) f (x, y)dy.
∫∫ 1. 计算 I
=
D
sin y dσ y
，其中区域 D 为曲线 y =
x 及直线
y=x 所围成。
∫∫ 2． 计算 I = ln(1+ x2 + y2 )dσ ，其中区域 D 为曲线 x2 + y2 = 1及 D 坐标轴围成的第一象限的部分。
作业
P153. 1(1,4),3,6(1,2,4,5,6) ,8,9,10,15
D
c
ϕ1( y)
1
∫∫ ∫ ∫ D
f ( x, y)dσ =
d⎡ c ⎢⎣
φ2 ( y ) φ1 ( y )
f
高等数学二重积分的计算ppt课件
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
例1. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
则
若D为Y –型区域
则
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(1)
(2)
例6. 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
注:
利用例Байду номын сангаас可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
①
故①式成立 .
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
显然,
对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线 =常数, 分划区域D 为
即
设
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分的定义是求某一域内的函数的积分，概念是由一重积分到二重积分扩展而来的，而二重积分的计算一般是采用一些公式进行运算。
这里，我们介绍一下二重积分中四则运算的公式，以便读者能够更准确、更方便地积分并得到想要的计算结果。
1.法二重积分加法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy+∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)+g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表积分中的函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy 代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)+g(x,y)]不过是把两个函数相加而已。
2.法二重积分减法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy-∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)-g(x,y)]不过是把两个函数相减而已。
3. 乘法二重积分乘法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy×∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)g(x,y)]不过是把两个函数相乘而已。
4.法二重积分除法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy÷∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)÷g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)÷g(x,y)]不过是把两个函数相除而已。
以上就是二重积分四则运算的公式，它们都能够帮助人们快速、准确地算出二重积分。
在现实应用中，这些公式是实现计算机自动求积分的重要基础，对于域内的函数积分及数值求解有极大的帮助，值得大家反复研习、积极运用。
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线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
x y2 y x2
(x2
D
y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
例 2
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
D
2
将 DD 1D 2 视为Y–型区域 , 则 o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
ID f(x,y)dxdy 0 d y
例4 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解
D
1 x y y
1 y 2
2
y y2
I=
dy
1
1 x 2 dx y
Y—型
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
0
3
0
6
1(1 2). 6e
例7 计算积分
1
I 2 dy
yy
1
e xdx . dy
yy
e xdx
1
1
4
2
1 2
y
y
解 exd不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
1 xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1 2
3e 1 e. 82
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
以上各例说明
化二重积分为累次积分时选择积分次 序的重要性，有些题目两种积分次序在计 算上难易程度差别不大，有些题目在计算 上差别很大，甚至有些题目对一种次序能 积出来，而对另一种次序却积不出来
另外交换累次积分的次序：先由累 次积分找出二重积分的积分区域，画出 积分区域，交换积分次序，写出另一种 次序下的累次积分。
y2x y 2xx2
1
2 y
原式
dy
Hale Waihona Puke 0 11 y2f (x, y)dx .
练习 交换下列积分顺序
2 x2
22 8 x2
I0dx0 2f(x,y)dy 2 dx0 f(x,y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2,D2:02yx822x2
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
1、 ( x3 3x 2 y y3 )d ________.
D
其中 D : 0 x 1,0 y 1.
2、 x cos(x y)d _________.其中
D
D是顶点分别为 (0,0)，( ,0)，( , )
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f(x ,y)da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y)d.y ［X型］
D
Df(x ,y)dc dd y 1 2 ((y y ))f(x ,y)d.［xY型
（在积分中要根据积分区域和被积 函数的特征正确选择积分次序）
练习题
一、 填空题:
例5 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
D
22
解 D是X—型区域 I dx yexydy
11
要分部积分，不易计算
x
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idyyexydxdyyexydx
D
0
1 y
11
易见尽管须分片积分，但由于被积函
数的特点，积分相对而言也较方便。
二重积分的计算法(1)
一、利用直角坐标系计算二重积分
1、如果积分区域为D：axb,
［X－型 ］
1 (x )y2 (x ).
特点：
穿过区域且平行
y2(x)
y2(x)
于y轴的直线与区 域边界相交不多于
D
y1(x)
D
y1(x)
两个交点.
a
b
a
b
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
注意
则
D:1(xa)yx b2(x)
f(x,y)dxdy
D
b
2(x)
dx
a
1(x)
f
(x,
D
x oay1(x)b y)dy
x
若D为Y –型区域D: 1(yc) xy d2(y)
y x2(y) d y
x1(y)
则
d dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
c o
x
练习： 求 ( x2 y)dxdy，其中 D 是由抛物
yx y x2
例8 计算
ysixn 1 )d ( x ,D :d y2 yx ,yx2
D x 1
解 根据积分区域的特点
应先对 x 后对 y 积分
2
I
2 y2
dy
ysinx(1)dx
1 y2 x1
但由于 sin(x 1)
1
4
x 1 -1
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
先x 后y 有
例6 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2
y3 dy
e 1 y2 y2dy2
1
I dx
x y sin( x 1) dy
0 x x1
4
dx
x y sin( x 1)dy
1 x2 x 1
奇函数
0 4 1 [ x ( x 2 ) 2 ] sin( x 1 ) dx
12
x1
1
4
(
x2
5x
4 ) sin(
x 1 ) dx
21
x1
1
4
(4
x ) sin(
1
4
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围
内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。
由以上例3、例4可见，为了使二重 积分的计算较为方便，究竟选用哪一种
积分次序主要由积分区域的特点来确定，
在积分区域的表达式中选取比较简单的
一组，从而确定相应的公式，同时还要
兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪 一个变量较容易积分(如下例），总之要 兼顾积分区域和被积函数的特点。
00
分析：此类题可先由所给积分画出积分区域 图，写出交换次序后的不等式组，最后写出 新的二次积分。
解 积分区域如图
原式
1 1y
dy
f(x,y)dx.
00
y1x
例 3 改变积分
1
dx
2 x x2
f (x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
00
10
分析：略
解 积分区域如图
ⅰ）二重积分化二次积分的步骤
①画积分区域图； ②选择积分次序，写出不等式组； ③将二重积分化为二次积分。
ⅱ）二次积分中积分的上限不小于下限。
ⅲ）若是X—型，就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ，
注意内层积分限是外层积分变量的函数， 外层积分限是常数。
若D为 X – 型区域
y y2(x)