过一点作三次函数图像切线条数的完备结论

收稿日期:2007-10-25

作者简介:贺斌(1961—

),男,湖北随州人,湖北省谷城县第三中学高级教师.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论

贺　斌

(谷城县第三中学,湖北　441700)

中图分类号:O123.3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2008)03-0011-02

文[1]回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.受文[1]启发,一个自然的问题是:过哪些点可以作三次函数y 图像的一条切线、两条切线?本文在文[1]的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论.

引理[2],[3]　三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图像C 上的点N (-b

3a

,f (-b

3a

))是C 的唯一对称中心.定理　设三次函数图像C 在其对称中

心N 处的切线为l ,M 是三次函数图像C 所

在平面上的一点,则

(Ⅰ)过点M 能且仅能作C 的一条切线,当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上、下两个区域内(边界除外),或点M 与点N 重合;

(Ⅱ)过点M 能且仅能作C 的两条切线,当且仅当点M 位于图像C 或切线l 上

(点N 除外);

(Ⅲ)过点M 能且仅能作C 的三条切

线,当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左、右

两个区域内(边界除外).

为方便读者形象直观的理解,我们根据三次函数首项系数的正(如图1)负(如图2)画出相应的示意图如右.

证　设三次函数为f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),点M 的坐标为(x 0,y 0),

点

A (t ,f (t ))为三次函数y =f (x )图像C 上

的一点,则点A 处的切线方程为y -f (t )=f ′

(t )(x -t ).于是,切线过点M ,等价于存在实数t ,使

图1　三次函数 图2　三次函数

y 0-f (t )=f ′(t )(x 0-t )(1)

注意到(1)是关于t 的三次方程(易知

t 3

的系数不为0),故过点M 最多可作图像C 的三条切线.

记g (t )=y 0-f (t )-f ′(t )·(x 0-t ),则

g ′

(t )=-f ′(t )-f ″(t )(x 0-t )+f ′(t )=(t -x 0)f ″

(t )=2(t -x 0)(3at +

b ).

若x 0=-b

3a

,则g ′

(t )=6a (t -x 0)2,g (t )为R 上的单调函数,方程g (t )=0有且仅有一个实数根.即过直线x =-

b

3a

上的任一点能且仅能作y =f (x )图像的一条切线.

若x 0≠-

b

3a

,则g ′

(t )在点x 0附近的函数值异号,在点-b

3a

附近的函数值也异1

12008年第3期 数学通讯

号,故x 0和-

b

3a

都是g (t )的极值点.于是结合函数g (t )的单调性知:

1)方程g (t )=0有且仅有一个实数根,

当且仅当函数g (t )的极大值<0(如图3,仅画出了g (t )首项系数大于0的情况,后同)或极小值>0(如图4)

.

图3　三次函数 图4　三次函数

即

g (x 0)<0,g (-

b

3a

)<0,或g (x 0)>0,g (-b

3a

)>0.亦即g (x 0)·g (-b

3a

)>0(x 0≠-b 3a

).即x 0≠-b

3a

,[y 0-f (x 0)]·[y 0-f (-b 3a

)　-f ′

(-b 3a )(x 0+b 3a

)]>0(2)

由引理知,三次函数y =f (x )的图像有唯一对称中心N (-b 3a ,f (-b

3a

)).而C 在点N 处的切线l 的方程为

y -f (-b 3a )=f ′(-b 3a )(x +b 3a

).故直线x =x 0与C 及l 的交点纵坐标分别为

f (x 0),f (-b 3a )+f ′(-b 3a )(x 0+b 3a

).由于x 0≠-

b

3a

,故上述两纵坐标不相等.注意到不等式组(2)的第二式为关于y 0

的一元二次不等式,并且y 20项的系数为正,故满足上述不等式组的点M (x 0,y 0)位于C 和l 所夹的上、下两个区域内(边界除外).

2)方程g (t )=0有且仅有两个相异实

数根,当且仅当g (x 0)=0,或g (-

b

3a

)=0(如图5,6),

即y 0=f (x 0),或y 0-f (-b

3a

)=f ′

(-b 3a )(x 0+b 3a

).亦即当且仅当点M 位于y =f (x )的图像上,或点M 位于过三次

函数对称中心N (-b 3a ,f (-b

3a

))处的切线l 上(点N 除外)时,可作y =f (x )的两条切

线.

图5　三次函数 图6　三次函数

3)方程g (t )=0有三个相异的实数根,

当且仅当

x 0≠-

b 3a

,g (x 0)·g (-b

3a

)<0,即

x 0≠-b

3a

,[y 0-f (x 0)]·[y 0-f (-

b

3a

)　-f ′

(-b 3a )(x 0+b

3a

)]<0.通过与1)类似的分析(或参见文[1])知:满足上述不等式组的点M (x 0,y 0)位于C 和l 所夹的左、右两个区域内(边界除外).

综上,定理获证.

参考文献:

[1]　贺斌,黄福.过哪些点可以作三次函数图像的

三条切线.数学通讯,2007(21).

[2]　管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯,

2004(15).

[3]　刘国杰.三次函数图像对称性的探索.数学通

讯,2006(20).

2

1数学通讯 2008第3期