抛物线定义及其标准方程 PPT课件
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抛物线及其标准方程 课件
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0) p2，0 x＝－p2
y2＝－2px(p＞0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py(p＞0) __0_，__p2_ _ _y_＝__－__p2__
________
x2＝－2py(p＞0) _0_，__－__p2__ __y_＝__p2___
温馨提示 在抛物线的方程中只有一个参数 p，它的几何意义是 焦点到准线的距离，因此 p＞0，p 越大，抛物线开口越开 阔，反之越扁狭．
类型 1 求抛物线的标准方程
[典例 1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方 程：
(1)焦点为(－2，0)； (2)准线为 y＝－1； (3)过点 A(2，3)； (4)焦点到准线的距离为52.
归纳升华 1．本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题 首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识 解决．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为 坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得 标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常 数项，形式更为简单，便于应用．
抛物线及其标准方程
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦 点，直线 l 叫做抛物线的准线．
温馨提示 抛物线的定义中，定点 F 不能在直线 l 上，否则，动 点 M 的轨迹就不是抛物线，而是过点 F 垂直于直线 l 的 一条直线．
即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 答案：4
[迁移探究 1] (变换条件)若将上例中的 B 点坐标改 为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版
性质
抛物线具有对称性，其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线；抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点，用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线，焦点在准线 的上方；对于开口向下的抛物线，焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线，用l表示。
18
05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
19
与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
20
与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
2024/3/28
21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸，且越来越 接近其对称轴。
12
抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点，也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上，且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后，都会与准线相交。
2024/3/28
13
抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称，即如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a，y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向，只会改 变其位置和顶点坐标。
抛物线具有对称性，其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线；抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点，用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线，焦点在准线 的上方；对于开口向下的抛物线，焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线，用l表示。
18
05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
19
与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
20
与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
2024/3/28
21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸，且越来越 接近其对称轴。
12
抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点，也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上，且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后，都会与准线相交。
2024/3/28
13
抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称，即如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a，y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向，只会改 变其位置和顶点坐标。
3.3抛物线标准方程PPT课件(人教版)
2.抛物线的标准方程有四种不同的情势: 每一对焦点和准线对应一种情势. 3.p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
作业： P73习题2.4A组 1.（2）、（3） 2， 3
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你 能根据上述办法求出它的标准方程吗？完成 课本P66探究.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
yl
y2=-2px
F O x (p>0)
y
x2=2py
F
O
x (p>0)
l
y
l x2=-2py
O
x (p>0)
F
四种抛物线的 对照 P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离方程
的特点:
(1).左边是二
次式,
(2).右边是一 次式,决定了 焦点的位置. (3).开口方向 (4).知1定3
P66思考：
二次函数
的图像为什么是
抛物线？你能把它化成标准方程并写出它的
焦点坐标和准线方程吗？来自、实践感知例（1）已知抛物线标准方程是 y2 6x ，则它的焦点坐标为______， 准线l 的方程为 _________
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
3.填空
（1）抛物线 y2 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
。
（2）抛物线 y 2 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离a(a p ) ,则点 M 到准线的距离 2
是 ________，点 M 的横坐标是
；
学习小结:
1.抛物线的定义:
作业： P73习题2.4A组 1.（2）、（3） 2， 3
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你 能根据上述办法求出它的标准方程吗？完成 课本P66探究.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
yl
y2=-2px
F O x (p>0)
y
x2=2py
F
O
x (p>0)
l
y
l x2=-2py
O
x (p>0)
F
四种抛物线的 对照 P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离方程
的特点:
(1).左边是二
次式,
(2).右边是一 次式,决定了 焦点的位置. (3).开口方向 (4).知1定3
P66思考：
二次函数
的图像为什么是
抛物线？你能把它化成标准方程并写出它的
焦点坐标和准线方程吗？来自、实践感知例（1）已知抛物线标准方程是 y2 6x ，则它的焦点坐标为______， 准线l 的方程为 _________
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
3.填空
（1）抛物线 y2 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
。
（2）抛物线 y 2 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离a(a p ) ,则点 M 到准线的距离 2
是 ________，点 M 的横坐标是
；
学习小结:
1.抛物线的定义:
3-3-1抛物线及其标准方程课件(人教版)
D．12
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线
的方程是( C )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
4．已知抛物线过点(－11，13)，则抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝12629x
B．y2＝－11619x
C．y2＝－11619x 或 x2＝11231y D．x2＝－11231y
【解析】 ∵y2＝4x，∴F(1，0)，准线是 x＝－1. ∵|PM|＝5，∴xP＝4，∴|yP|＝4. ∴S△MPF＝12×5×4＝10.
探究 2 解决轨迹为抛物线问题的方法： 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先 将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足 动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的 条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义 的条件．
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
例 1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
【解析】 (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p>0)． ∵抛物线过点(－3，2)， ∴4＝－2p×(－3)或 9＝2p×2. ∴p＝23或 p＝94. ∴所求抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)． ∵A(3，m)到焦点距离为 5，∴p2＋3＝5，即 p＝4. ∴所求抛物线方程为 y2＝8x.
【2024版】】抛物线的定义及标准方程PPT课件
y
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
想一想:
1.椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？ 2.根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开
口方向？
3.第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴 （或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称 轴上。！ 第二：一次的系数决定了开口方向
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y .M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
.
o
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
课题： 抛物线及 其标准方程（一）
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆;
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？
M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、定义
定点F与定直线l的位置关系是 怎样的？
(3) (4)
（0, 021，4 -2）
准线方程
x=-5
y= -
1
—8
y 1 24
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
想一想:
1.椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？ 2.根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开
口方向？
3.第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴 （或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称 轴上。！ 第二：一次的系数决定了开口方向
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y .M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
.
o
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
课题： 抛物线及 其标准方程（一）
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆;
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？
M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、定义
定点F与定直线l的位置关系是 怎样的？
(3) (4)
（0, 021，4 -2）
准线方程
x=-5
y= -
1
—8
y 1 24
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
5.二次函数 = ( ≠ )的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
抛物线及其标准方程(优秀课件)
形状和性质
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)(1)
(变量+系数正负)
✓ 看对称轴(变量)
✓ 看开口方向(系数正负)
求焦点坐标(1/4系数)
求准线方程(相反数)
【巩固1】抛物线的标准方程
练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 P133-2
(1) y 20 x
F (5,0), 准线 : x 5
1
( 2) x y
2
1
1
F (0, ), 准线 : y
a
2
2
法三:抛物线的焦点弦
2
x1 x2 p (焦点在x轴)
AB
y1 y2 p (焦点在y轴)
法四:圆的弦长 AB 2 r 2 d 2
FIGHTING
＋2 2＝8＋2 2，当且仅当 M′，M，N 三点共线时等
号成立．
【巩固3】抛物线的焦点弦
[引例1]已知过抛物线y 2 6 x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
若B(3,2), 求 PB PF 的最小值及此时点P的坐标;
Q
Q'
P
B
析 : 过P作准线的垂线, 垂足为Q.
| PB | | PF || PB | | PQ |
| Q' B | (当BQ与准线垂直时等号成立)
3 1 4
将P( x,2)代入方程得4 4 x, x 1. P(1,2)
p
p
设M ( x, y), FK p, 则焦点F ( ,0), 准线l : x .
抛物线的定义与标准方程.ppt
y2=2px(p>0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标 准方程。其中p为正常数,表示焦点在x轴 正半轴上.
焦点坐标是( p , 0) 准线: x p
2
2
P的几何意义是:
焦点到准线的距离
y
想一想? y
K
0
x
y2=2px（P>0）
方程是 什么?
x 0
x2 2 py( p 0)
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －ax2， 求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
例2 求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且过
点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解 (1)当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
K 0F
x
L 1.建立坐标系 2.设动点坐标
3.列方程
4.化简,整理
以过F且垂直于L的直线为x
轴,垂足为K.以F,K的中点为
坐标原点建立直角坐标系.
设M(x,y), |FK|=P,则F ( p , 0)
准线L:
p x .
2
则
2
(x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
抛
物
线
的
定莆
义 与
田 二 中
标 准
蔡 海 涛
方
程
思考：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹是 椭圆? 双曲线?
(1) o<e<1,是椭圆 (2) e>1, 是双曲线
抛物线及其标准方程 课件
[规律方法] 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离 等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互 转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值 时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[规律方法] 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx 或 x2＝ny，这样可以 减少讨论情况的个数． (3)注意 p 与p2的几何意义．
抛物线的定义的应用
例 2、(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m， －3)到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2my(m≠0)，由焦点到准 线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标 准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为 y2＝－ 2px(p>0)或 x2＝－2py(p>0)．
抛物线及其标准方程
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫 做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 思考 1：抛物线的定义中，若点 F 在直线 l 上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点 F 且垂直于直线 l 的直线．
[思路探究]
(1)(2)
由题意可确 定方程形式
抛物线及其标准方程 课件
抛物线及其标准方程
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
抛物线及其标准方程课件
即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.
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的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
定点F叫做抛物线的 焦点
定直线l 叫做抛物线的 准线
l
· N M ·F
二、标准方程
想一想:
l
· N M
如何建立直角坐标系？
·F
﹒ 方程 y2 = 2px（p＞0）
y
叫做抛物线的标准方程。
ox
它表示抛物线的焦点在 x轴的右半轴 上. 其中p为正常数，它的几何意义是
焦点到准线的距离
思考：根据抛物线标准方程的 形式，如何判断抛物线的焦点 位置，开口方向？
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
练习：
1.求下列抛物线的焦点坐标和准 线方程：
(1)y2=20x
(2)x2+8y=0
(3)y= -2的标 准方程：
(1)准线方程为y=0.5 (2)焦准距为a(a>0)，且焦点在x轴上。
2.4.1抛物线 定义及其标准
方程
复习：
设动点M到定点F的距离和它到 定直线L的距离的比是常数e，
当0<e<1时，其轨迹是 椭圆
当e＞1时，其轨迹是 双曲线
l M
·F
l M
F·
0＜e ＜1
e＞1
问: 当e＝1时,
动点M的轨迹是什么曲线呢？
l
·M
·F
e=1
新授：
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
5(x 1 )2 (y 2 )2 |3 x 4 y 1| 2 0
则点P的轨迹为______。
例3：(1)M是抛物线y2 = 2px（P
＞0）上一点，若点M 的横坐标
为X0，则点M到焦点的距离是
x0
p 2
——————————
． y M ．
OF
x
练习： (1) 抛物线y2=12x上与焦 点的距离等于9的点的坐标是 _________.
例1.求满足下列条件的抛物 线的标准方程：
(1)过点P(4，-2)；
(2)焦点在直线x-2y-4=0上。
例2:已知点M与点F（4，0）的距 离比它到直线L：x+5=0的距离小 1，求点M的轨迹方程。
练习:1.已知点M与点F（1，0） 的距离比它到y轴的距离大1，求 点M的轨迹方程。
2.若点P(x,y)的坐标满足方程
(2)已知抛物线的顶点在原点，焦 点在y轴，抛物线上一点M(m,-3) 到焦点的距离是5，求m的值及抛 物线的方程。
小结：
1、基本知识：抛物线的定义、四
种标准方程形式及其对应关系。
2、思想方法：注重数形结合。
1.抛物线标准方程与二次函数 之间有什么区别与联系?
2.抛物线标准方程与椭圆、双曲 线的标准方程有什么区别与联系？
1.某隧道横断面由抛物线及矩形 的三边组成，尺寸如图，某卡车 轻车时能通过此隧道，现载一集 装箱宽3米，车与箱共高4.5米， 问此车能否通过隧道？
2.如图，有一张长为8，宽为4 的矩形纸片ABCD，按图示方 法进行折叠，使每次折叠后点 B都落在AD边上，此时将B记 为B1(EF为折痕，F也可落在 CD上)，过点B1作B1T∥CD交 EF于点T，求点T的轨迹方程。
定点F叫做抛物线的 焦点
定直线l 叫做抛物线的 准线
l
· N M ·F
二、标准方程
想一想:
l
· N M
如何建立直角坐标系？
·F
﹒ 方程 y2 = 2px（p＞0）
y
叫做抛物线的标准方程。
ox
它表示抛物线的焦点在 x轴的右半轴 上. 其中p为正常数，它的几何意义是
焦点到准线的距离
思考：根据抛物线标准方程的 形式，如何判断抛物线的焦点 位置，开口方向？
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
练习：
1.求下列抛物线的焦点坐标和准 线方程：
(1)y2=20x
(2)x2+8y=0
(3)y= -2的标 准方程：
(1)准线方程为y=0.5 (2)焦准距为a(a>0)，且焦点在x轴上。
2.4.1抛物线 定义及其标准
方程
复习：
设动点M到定点F的距离和它到 定直线L的距离的比是常数e，
当0<e<1时，其轨迹是 椭圆
当e＞1时，其轨迹是 双曲线
l M
·F
l M
F·
0＜e ＜1
e＞1
问: 当e＝1时,
动点M的轨迹是什么曲线呢？
l
·M
·F
e=1
新授：
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
5(x 1 )2 (y 2 )2 |3 x 4 y 1| 2 0
则点P的轨迹为______。
例3：(1)M是抛物线y2 = 2px（P
＞0）上一点，若点M 的横坐标
为X0，则点M到焦点的距离是
x0
p 2
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． y M ．
OF
x
练习： (1) 抛物线y2=12x上与焦 点的距离等于9的点的坐标是 _________.
例1.求满足下列条件的抛物 线的标准方程：
(1)过点P(4，-2)；
(2)焦点在直线x-2y-4=0上。
例2:已知点M与点F（4，0）的距 离比它到直线L：x+5=0的距离小 1，求点M的轨迹方程。
练习:1.已知点M与点F（1，0） 的距离比它到y轴的距离大1，求 点M的轨迹方程。
2.若点P(x,y)的坐标满足方程
(2)已知抛物线的顶点在原点，焦 点在y轴，抛物线上一点M(m,-3) 到焦点的距离是5，求m的值及抛 物线的方程。
小结：
1、基本知识：抛物线的定义、四
种标准方程形式及其对应关系。
2、思想方法：注重数形结合。
1.抛物线标准方程与二次函数 之间有什么区别与联系?
2.抛物线标准方程与椭圆、双曲 线的标准方程有什么区别与联系？
1.某隧道横断面由抛物线及矩形 的三边组成，尺寸如图，某卡车 轻车时能通过此隧道，现载一集 装箱宽3米，车与箱共高4.5米， 问此车能否通过隧道？
2.如图，有一张长为8，宽为4 的矩形纸片ABCD，按图示方 法进行折叠，使每次折叠后点 B都落在AD边上，此时将B记 为B1(EF为折痕，F也可落在 CD上)，过点B1作B1T∥CD交 EF于点T，求点T的轨迹方程。