公共课数值计算教案

《计算方法》教案

课题1 ：§1.1 数值分析研究对象与特点

§1.2 数值计算的误差§1.3 误差定性分析与避免误差危害

一、教学目的

掌握以下内容：绝对误差、误差限、相对误差和有效数字的概念。

能确定具体实数的有效数字位数。

懂得推导相对误差与有效数字的相互关系。

能够推导算术运算中绝对误差限与相对误差限的估计式。

二、教学重点

绝对误差、误差限、相对误差和有效数字的概念，熟悉相对误差和有效数字的关系。

三、教学难点

相对误差和有效数字的关系

四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学

五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具

六、教学过程：

1、介绍课程的重要性、课程的安排（约5分钟）

2、介绍计算方法发展的历史（约10分钟）

3、计算机数值方法的研究对象与特点（约5分钟）

4、数值问题与数值算法的基本概念（约10分钟）

5、误差的种类及来源（约10分钟）

6、误差和误差限的概念及计算方法（约20分钟）

7、有效数字的计算（约20分钟）

8、数值运算的误差估计（约10分钟）

七、课题小结：（约5分钟）

八、作业： 2 3 4

课题2 ：§2.1 二分法§2.2 迭代法

一、教学目的：

1.懂得如何隔离方程的根。

2.懂得用二分法求方程的根。

3.熟悉二分法的优缺点。

4.了解迭代法的基本思想。

5.掌握迭代法收敛与发散的定义。

6.懂得迭代法收敛的一个充分条件。

二、教学重点：懂得根的隔离与二分法求方程的根的过程

将方程的一般形式化为迭代格式、迭代法收敛性的一个定理

三、教学难点：二分法的计算误差、理解不同的迭代格式具有不同的收敛性

四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。

六、教学过程：

1.回顾上堂课内容。（约5分钟）

2.简介新的一章方程求根所要解决的主要问题。（约5分钟）

3.复习连续函数的性质，介绍二分法的基本思想。（约 15 分钟）

4.介绍二分法的求解过程。（约 5 分钟）

5.推导第二分法第k 步产生的误差，及如何根据给定的误差计算二分次数。（约 10 分钟）

6.分析二分法适用的条件，及优缺点（如收敛速度慢等）（约10分钟）

7.通过例子，介绍迭代法的基本思想。（约10分钟）

8.演示例题，给出迭代法收敛以及发散的定义。（约10分钟）

9.分析例题，说明同一方程式用不同的迭代格式，具有不同的收敛性结果。（约10分钟）

10.证明关于迭代函数收敛的一个充分条件的定理（约 10 分钟）

七、课题小结：（约5 分钟）

八、作业：1 3 9

课题3：§2.3 迭代法的收敛性

一、教学目的：

1.能够推导并证明迭代法局部收敛的条件。

2.了解迭代法收敛阶数的定义。

3.掌握掌握求收敛阶数的方法。

二、教学重点：迭代法的收敛性条件，判定收敛的阶数

三、教学难点：迭代法的收敛性条件、迭代法局部与全局收敛的条件

四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。

六、教学过程：

0、回顾上堂课内容。（约5分钟）

1、讲解作业。（约15分钟）

2、引导学生思考什么形式的迭代法能够收敛呢?（约5分钟）

3、进一步推广上堂课的定理，给出局部收敛性的定义（约10分钟）

4、讲解例题，巩固上述知识点（约10分钟）

5、定义收敛的阶数，重点分析一阶和二阶收敛。（约15分钟）

6、回顾泰勒展开式，介绍如何确定收敛的阶数的方法。（约15分钟）

7、例题分析。（约10分钟）

七、课题小结：（约5 分钟）

八、作业： 6 8

课题4 ：§2.4 牛顿迭代法

一、教学目的：

1.熟悉牛顿法和近似牛顿法的具体迭代格式以及证明其收敛性。

2.掌握牛顿法的收敛阶数。

3.能够利用牛顿法解方程。

二、教学重点：牛顿法的迭代格式、牛顿法的收敛阶数

三、教学难点：牛顿法的收敛阶数、牛顿法的特点

四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。

六、教学过程：

0、回顾上堂课内容。（约5分钟）

1、讲解作业。（约10分钟）

2、推导牛顿法的迭代格式（约15分钟）

3、用图示说明牛顿法的几何原理。（约10分钟）

4、举例说明用Newton迭代法求方程根的过程。（约10分钟）

5、分析牛顿法的局部收敛性，及收敛阶数，重点说明单根和重根的不同情况。（约20分钟）

6、分析牛顿法的特点，提醒学生注意收敛性依赖于初值的选取。（约5分钟）

7、讲解例题：如何利用牛顿法求一个数的平方根。（约10分钟）

七、课题小结：（约5 分钟）

八、作业：13 14

课题5：§3.1 高斯消去法

一、教学目的：

1.掌握应用高斯消去法求解线性方程组

2.了解高斯消元无需换行即可进行的充要条件

3.了解列主元消去法

4.了解全主元消去法

二、教学重点：高斯消去法、列主元消去法、主元消去法

三、教学难点：顺序主子式、高斯消元无需换行即可进行到底的充要条件

四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。

六、教学过程：

0、回顾上堂课内容。（约5分钟）

1、介绍消去法、消元与回代计算，。（约 10 分钟）

2、通过实例介绍高斯消去法的过程。（约 10 分钟）

3、引入顺序主子式定义。（约 10 分钟）

4、根据顺序主子式的性质，分析高斯消元无需换行即可进行到底的充要条件。（约15 分钟）

5、进一步分析上述条件不满足时高斯消去法的过程。简要分析Gauss消去法的运算量（约 20 分

钟）

6、通过实例说明小主元可能导致计算失败。进一步介绍全主元消去法的概念，和计算中的注意事

项。（约 10分钟）

7、介绍列主元消去法，以及与全主元消去法的异同（如没有全主元法稳定）（约 5分钟）

七、课题小结：（约5 分钟）

八、作业： 1

课题6：§3.2 三角分解法

一、教学目的：

1.掌握矩阵的三角分解并能给出计算公式。

2.理解矩阵能进行三角分解的充要条件。

3.能够推导求解三对角阵为系数矩阵的线性方程组的“追赶法”的“追”与“赶” 的递推格式。

4.掌握利用追赶法解系数矩阵为三对角阵的线性方程组。

二、教学重点：三角分解的计算公式、追赶法

三、教学难点：推导三角分解的计算公式、追赶法

四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。

六、教学过程：

0、回顾上堂课内容，引入矩阵三角分解的方法；。（约5分钟）

1、通过实例，分析不带行交换的Gauss 消去法的消元过程,产生一个单位下三角矩阵L和一个上三

角矩阵U，引入矩阵三角分解的定义（约 20 分钟）

2、讲解矩阵能进行三角分解的充要条件：A的所有顺序主子式均不为0。（约 10 分钟）

3、分析将线性方程组系数矩阵分解后的求解思路。（约 10 分钟）

4、介绍Doolittle和Crout分解的异同。（约5 分钟）

5、介绍LU 分解的紧凑格式（约5 分钟）