2018苏锡常镇高三三模数学试题

2018届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
方差公式：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x ＝1
n (x 1＋x 2＋…＋x n )．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 若复数z 满足(1＋i )z ＝2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为________．
2. 设集合A ＝{2，4}，B ＝{a 2，2}(其中a<0)，若A ＝B ，则实数a ＝________．
3. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(－2，4)到抛物线y 2＝－8x 的准线的距离为________．
4. 一次考试后，从高三(1)班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如下图所示，则这五人成绩的方差为________．
5. 上图是一个算法流程图，若输入值x ∈[0，2]，则输出值S 的取值范围是________．
6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是________．
7. 已知函数f(x)＝sin (πx ＋φ)(0<φ<2π)在x ＝2时取得最大值，则φ＝________．
8. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝4，则4a 1
d ＝________．
9. 在棱长为2的正四面体PABC 中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，D 是线段PN 上一
点，且PD ＝2DN ，则三棱锥DMBC 的体积为________．
10. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos B －b cos A ＝35c ，则
tan A
tan B ＝________.
11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A(2，0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．
12. 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP →·OQ →的取值范围为________．
13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12（|x ＋3|＋1），x ≤0，
ln x ， x>0，若存在实数a<b<c ，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，
则af(a)＋bf(b)＋cf(c)的最大值是________．
14. 已知a ，b 为正实数，且(a －b)2＝4(ab)3，则1a ＋1
b
的最小值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD 中，∠ADB ＝90°，CB ＝CD ，E 为棱PB 的中点． (1) 若PB ＝PD ，求证：PC ⊥BD ； (2) 求证：CE ∥平面PAD.
16. (本小题满分14分)
在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．
(1) 求角B 的大小；
(2) 设向量m ＝(sin 2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m·n 的取值范围．
下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型，索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21∶4，且点P对两塔顶的视角为135°.
(1) 求两索塔之间桥面AC的长度；
(2) 研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b)．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2
2，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C
分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M(x 1，
0)，直线AC 与直线BD 交于点N(x 2，y 2)．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若CM →＝2MD →
，求直线l 的方程； (3) 求证：x 1·x 2为定值．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，a，b∈R.
(1) 若a2＋b＝0.
(ⅰ) 当a>0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；
(ⅱ) 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
(2) 函数f(x)的图象在点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，函数f(x)的图象在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．
已知等差数列{a n }的首项为1，公差为d ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，6S n ＝9b n －a n －2恒成立．
(1) 如果数列{S n }是等差数列，求证：数列{b n }也是等差数列；
(2) 如果数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫b n ＋12为等比数列，求d 的值．
(3) 如果d ＝3，数列{c n }的首项为1，c n ＝b n －b n －1(n ≥2)，求证：数列{a n }中存在无穷多
项可表示为数列{c n }中的两项之和．
2018届高三年级第三次模拟考试(十五)
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB 为圆O 的直径，AE 平分∠BAC 交圆O 于点E ，过点E 作圆O 的切线交AC 于点D ，求证AC ⊥DE .
B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤214x 的一个特征值为3，求M －1.
C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos t ，
y ＝－2＋2sin t (t 为参数)．以原点O 为极
点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝a (a ∈R )，已知圆心C 到直线l 的距离等于2，求实数a 的值.
D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－2
3
≤c ≤1.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为1
3，乙、丙做对该
题的概率分别为m ，n(m>n)，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
(1) 求m ，n 的值； (2) 求X 的数学期望．
23. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝(x ＋5)2n ＋
1(n ∈N *，x ∈R )．
(1) 当n ＝2时，若f (2)＋f (－2)＝5A ，求实数A 的值； (2) 若f (2)＝m ＋α(m ∈N *，0<α<1)，求证：α(m ＋α)＝1.
2018届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)
数学参考答案
1. －1
2. －2
3. 4
4. 20.8
5. [0，1]
6. 1
4π 7. π2
8. 2 9. 29 10. 4 11. ⎣⎡⎦
⎤－72，7
2 12. [2－1，1] 13. 2e 2－12 14. 2 2
15. 证明：(1) 取BD 的中点O ，连结CO ，PO. 因为CD ＝CB ，所以△CBD 为等腰三角形， 所以BD ⊥CO.(2分)
因为PB ＝PD ，所以△PBD 为等腰三角形， 所以BD ⊥PO.(4分)
又PO ∩CO ＝O ，所以BD ⊥平面PCO.(6分) 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC ⊥BD.(7分)
(2) 连结EO ，因为E 为PB 的中点，所以EO ∥PD. 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD.(9分) 因为∠ADB ＝90°，BD ⊥CO ，所以CO ∥AD ， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD.(11分)
又CO ∩EO ＝O ，所以平面CEO ∥平面PAD.(13分) 因为CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD.(14分)
16. 解：(1) 由题意，有4×1
2ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，(2分)
则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 2
2ac ，所以sin B ＝3cos B ．(4分)
因为sin B ≠0，所以tan B ＝ 3.(4分)
又0<B<π，所以B ＝π
3
.(6分)
(2) 由m ＝(sin 2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得
m·n ＝3sin 2A －6cos 2A ＝3sin 2A －3cos 2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π
4－3.(8分) 由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π
3，
所以2A －π
4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12，(10分) 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－2
2，1，(12分) 所以m·n ∈(－6，32－3]，
即取值范围是(－6，32－3]．(14分)
17. 解：(1) 设AP ＝21t ，CP ＝4t(t>0)，设∠APB ＝α，∠CPD ＝β，则tan α＝6021t ＝20
7t ，
tan β＝604t ＝15
t
，(2分)
由tan (α＋β)＝tan 45°＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝207t ＋
15t
1－3007t 2
＝1，(4分)
化简得7t 2－125t －300＝0， 解得t ＝20或t ＝－15
7
(舍去)，
所以AC ＝AP ＋PC ＝25×20＝500(米)．(6分) 故两索塔之间的距离AC ＝500米．
(2) 设桥面某处为点M ，AM ＝x 米，点M 处的承重强度之和为L(x)， 则L(x)＝60⎣⎡⎦
⎤ab x 2＋ab
（500－x ）2，且x ∈(0，500)，
即L(x)＝60ab ⎣⎡⎦
⎤1x 2＋1
（500－x ）2，x ∈(0，500)．(9分)
记l(x)＝1x 2＋1（500－x ）2，x ∈(0，500)，则l′(x)＝－2x 3＋2
（500－x ）3，(11分) 令l′(x)＝0，解得x ＝250.
当x ∈(0，250)，l′(x)<0，l(x)单调递减； 当x ∈(250，500)，l′(x)>0，l(x)单调递增，
所以当x ＝250时，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值6ab
3 125
.(13分)
故两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为6ab
3 125.(14分)
18. 解：(1) 由椭圆的离心率为
2
2
，焦点到对应准线的距离为1. 得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2
c －c ＝1，
解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，(2分)
所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2
＝1.(4分)
(2) 由(1)知C(0，1)，设D(x 0，y 0)，
因为CM →＝2MD →
，得2y 0＝－1，所以y 0＝－12，(6分)
代入椭圆方程得x 0＝62或x 0＝－62
， 所以D ⎝⎛
⎭⎫62，－12或D ⎝⎛⎭⎫－62
，－12， 所以l 的方程为y ＝
62x ＋1或y ＝－6
2
x ＋1.(9分) (3) 设点D 的坐标为(x 3，y 3)，由C(0，1)，M(x 1，0)可得直线CM 的方程为y ＝－1
x 1
x ＋1，
联立椭圆方程得⎩
⎨⎧y ＝－1
x 1x ＋1，
x
22
＋y 2＝1，解得x 3＝4x 1x 21＋2，y 3＝x 21－2
x 21＋2.(12分)
由B(2，0)，得直线BD 的方程y ＝x 21－2
－2x 2
1＋4x 1－22(x －2)， ① 直线AC 的方程为y ＝
2
2
x ＋1， ② 联立①②得x 2＝2
x 1
，(15分)
从而x 1x 2＝2为定值．(16分)
19. 解：(1) (ⅰ)由f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 及a 2＋b ＝0， 得f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2.(1分) 令f′(x)＝0，解得x ＝a
3
或x ＝－a.
由a>0知，当x ∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a ，a
3时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增，(3分)
所以f(x)的极大值为f(－a)＝1＋a 3
，f(x)的极小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a
3
27
.(4分) (ⅱ)当a ＝0时，b ＝0时，此时f(x)＝x 3＋1不存在三个相异零点；
当a<0时，与(ⅰ)同理可得f(x)的极小值为f(－a)＝1＋a 3
，f(x)的极大值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a 3
27
. 要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1＋a 3
)·⎝⎛⎭
⎫1－5a 3
27<0， 解得a 3<－1或a 3>27
5
.(6分)
不妨设f(x)的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，
则f(x 1)＝x 31＋ax 21－a 2
x 1＋1＝0，①
f(x 2)＝x 32＋ax 22－a 2
x 2＋1＝0，②
f(x 3)＝x 33＋ax 23－a 2
x 3＋1＝0，③
②－①得(x 2－x 1)(x 2
2＋x 1x 2＋x 21)＋a(x 2－x 1)·(x 2＋x 1)－a 2(x 2－x 1)＝0， 因为x 2－x 1>0，
所以x 22＋x 1x 2＋x 21＋a(x 2＋x 1)－a 2
＝0， ④(8分)
同理x 23＋x 3x 2＋x 22＋a(x 3＋x 2)－a 2
＝0， ⑤
⑤－④得x 2(x 3－x 1)＋(x 3－x 1)(x 3＋x 1)＋a(x 3－x 1)＝0. 因为x 3－x 1>0，所以x 2＋x 3＋x 1＋a ＝0.(9分) 又x 1＋x 3＝2x 2，所以x 2＝－a
3，(10分)
所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，解得a 3＝－27
11
<－1，
所以存在这样实数a ＝－3
311满足条件．(12分)
(2) 设A(m ，f(m))，B(n ，f(n))，则k 1＝3m 2＋2am ＋b ，k 2＝3n 2＋2an ＋b.
又k 1＝f （m ）－f （n ）m －n ＝（m 3－n 3）＋a （m 2－n 2）＋b （m －n ）m －n
＝m 2＋mn ＋n 2＋a(m ＋n)＋b ，(13分)
所以3m 2＋2am ＋b ＝m 2＋mn ＋n 2＋a(m ＋n)＋b ，化简得n ＝－a －2m ，
所以k 2＝3(－a －2m)2＋2a(－a －2m)＋b ＝12m 2＋8am ＋a 2＋b ，(15分)
所以12m 2＋8am ＋b ＋a 2＝4(3m 2＋2am ＋b)，
所以a 2＝3b.(16分)
20. 解：(1) 设数列{S n }的公差为d′.由6S n ＝9b n －a n －2，①
6S n －1＝9b n －1－a n －1－2(n ≥2)，②
①－②得6(S n －S n －1)＝9(b n －b n －1)－(a n －a n －1)，③(2分)
即6d′＝9(b n －b n －1)－d ，
所以b n －b n －1＝6d′＋d 9
为常数， 所以数列{b n }为等差数列．(3分)
(2) 由③得6b n ＝9b n －b n －1－d ，即3b n ＝9b n －1＋d ，(4分)
所以b n ＋
12b n －1＋12＝3b n －1＋d 3＋12b n －1＋12＝3⎝⎛⎭⎫b n －1＋12＋d 3－1b n －1＋12＝3＋d 3－1b n －1＋12是与n 无关的常数， 所以d 3－1＝0或b n －1＋12
为常数．(6分) 当d 3
－1＝0时，d ＝3，符合题意；(7分) 当b n －1＋12
为常数时， 在6S n ＝9b n －a n －2中令n ＝1，则6b 1＝9b 1－a 1－2.又a 1＝1，解得b 1＝1，(8分)
所以b n －1＋12＝b 1＋12＝32
， 此时3＋d 3
－1b n －1＋12＝3＋d 3－132
＝1，解得d ＝－6. 综上，d ＝3或d ＝－6.(10分)
(3) 当d ＝3时，a n ＝3n －2.(11分)
由(2)得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以b n ＋12＝32·3n －1＝12
·3n ， 即b n ＝12(3n －1)．(12分)
当n ≥2时，c n ＝b n －b n －1＝12(3n －1)－12
(3n －1－1)＝3n －1， 当n ＝1时，也满足上式，
所以c n ＝3n －1(n ∈N *)．(13分)
设a n ＝c i ＋c j (1≤i ≤j )，则3n －2＝3i －1＋3j －1，即3n －3i －1(3j －i ＋1)＝2，如果i ≥2，因为
3n 为3的倍数，3i －1(3j －i ＋1)为3的倍数，
所以2也为3的倍数，矛盾，(15分)
所以i ＝1，所以3n ＝3＋3j －1，即n ＝1＋3j －2(j ＝2，3，4，…)，
所以数列{a n }中存在无穷多项可表示为数列{c n }中的两项之和．(16分)
21. 解：A. 连结OE ，因为ED 是圆O 的切线，
所以OE ⊥ED .
因为OA ＝OE ，所以∠OAE ＝∠OEA .(6分)
又因为∠OAE ＝∠EAD ，所以∠EAD ＝∠OEA ，(8分)
所以OE ∥AC ，所以AC ⊥ED .(10分)
B. 由⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2－1－4λ－x ＝0， 得(λ－2)(λ－x )－4＝0的一个解为3，(3分)
代入得x ＝－1，(5分)
因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤214－1，所以M －1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1616
23－13.(10分) C . 消去参数t ，得到圆的普通方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.(3分) 由2ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π4＝a 得ρcos θ＋ρsin θ－a ＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －a ＝0.(6分)
依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|3－2－a |2
＝2，解得a ＝－1或a ＝3.(10分) D. 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，
所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.(3分)
由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，(6分)
即5(1－c 2)≥(1－c )2，
整理得3c 2－c －2≤0，解得－23
≤c ≤1，(9分) 所以－23
≤c ≤1.(10分) 22. 解：(1) 由题意得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－13（1－m ）（1－n ）＝13，13mn ＝136.(3分) 又m>n ，解得m ＝13，n ＝14.(5分)
(2) 由题意得a ＝13×23×34＋23×13×34＋23×23×14＝49
，(7分) b ＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝1－13－49－136＝736
.(9分) E(x)＝0×13＋1×49＋2×736＋3×136＝1112
.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝2时，
f(x)＝(x ＋5)5＝C 05x 5＋C 15x 45＋C 25x 3(5)2＋C 35x 2(5)3＋C 45x(5)4＋C 55(5)5，(1分)
所以f(2)＋f(－2)＝(2＋5)5＋(－2＋5)5＝2[C 15(5)124＋C 35(5)322＋C 55(5)520]
＝2×(5×165＋10×4×55＋255)＝6105，所以A ＝610.(3分)
(2) 因为f(x)＝(x ＋5)2n ＋1＝C 02n ＋1x 2n ＋1＋C 12n ＋1x 2n 5＋C 22n ＋1x
2n －1(5)2＋…＋C 2n ＋12n ＋1·(5)2n ＋1，
所以f(2)＝C 02n ＋122n ＋1＋C 12n ＋12
2n 5＋C 22n ＋122n －1·(5)2＋…＋C 2n ＋12n ＋1(5)2n ＋
1＝m ＋α(m ∈N *，0<α<1)．
首先证明对固定的n ∈N *，满足条件的m ，α是唯一的． 假设f (2)＝(2＋5)2n ＋
1＝m 1＋α1＝m 2＋α2(m 1，m 2∈N *，0<α1<1，0<α2<1，m 1≠m 2，α1≠α2)， 则m 1－m 2＝α1－α2≠0，而m 1－m 2∈Z ，α2－α1∈(－1，0)∪(0，1)，矛盾， 所以满足条件的m ，α是唯一的．(5分)
下面我们求m 及α的值： 因为f (2)－f (－2)＝(2＋5)2n ＋1－(－2＋5)2n ＋1＝(2＋5)2n ＋1＋(2－5)2n ＋1＝2[C 02n ＋1·22n ＋
1＋C 22n ＋122n －1(5)2＋C 42n ＋122n －3(5)4＋…＋C 12n ＋121(5)2n ]，
显然f (2)－f (－2)∈N *.(7分) 因为5－2∈(0，1)，所以(5－2)2n ＋
1∈(0，1)，
即f (－2)＝(－2＋5)2n ＋1＝(5－2)2n ＋1∈(0，1)，(8分)
所以令m ＝2[C 02n ＋122n ＋1＋C 22n ＋122n －1(5)2＋C 42n ＋122n －3(5)4＋…＋C 12n ＋121(5)2n ]，
α＝(－2＋5)2n ＋1， 则m ＝f (2)－f (－2)，α＝f (－2)．
又m ＋α＝f (2)，(9分) 所以α(m ＋α)＝f (－2)·f (2)＝(2＋5)2n ＋1·(－2＋5)2n ＋1＝(5－4)2n ＋1＝1.(10分)。