第21章 主成分与因子分析
因子分析、主成分分析
通过主成分分析，可以研究多个变量之间的相关性，揭示变量
之间的内在联系。
多元回归分析
03
在多元回归分析中，主成分分析可以用来消除变量间的多重共
线性，提高回归分析的准确性和稳定性。
金融数据分析
风险评估
在金融数据分析中，主成分分析可以用来评估投资组合的风险， 通过提取主要因子来反映市场的整体波动。
市场趋势分析
主成分分析案例：金融数据分析
总结词
主成分分析用于金融数据分析中，能够 降低数据维度并揭示主要经济趋势。
VS
详细描述
在金融领域，主成分分析被广泛应用于股 票、债券等资产组合的风险评估和优化。 通过对大量金融数据进行主成分分析，可 以提取出几个关键主成分，这些主成分代 表了市场的主要经济趋势。投资者可以利 用这些信息进行资产配置和风险管理。
特征提取
主成分分析能够提取出数据中的 主要特征，突出数据中的主要变 化方向，有助于揭示数据的内在 规律。
数据可视化
降低数据维度后，数据的可视化 变得更加容易，有助于直观地理 解和分析数据。
多元统计
多元数据描述
01
主成分分析可以用来描述多元数据的总体特征，提供对多元数
据分布的整体理解。
多元相关分析
02
目的
通过找出影响观测变量的潜在结构， 更好地理解数据的意义，简化复杂数 据的分析，并解决诸如多重共线性等 问题。
因子分析的原理
1 2 3
基于相关性
因子分析基于观测变量之间的相关性，通过找出 这些相关性背后的公因子来解释变量之间的依赖 关系。
降维
通过提取公因子，将多个观测变量的复杂关系简 化为少数几个潜在因子的线性组合，实现数据的 降维。
主成分分析与因子分析
1
2
主成分分析
SPSS实现(因子分析与主成分分析)
拿student.sav为例，选Analyze－Data Reduction－Factor进入主对话框； 把math、phys、chem、literat、history、english选入Variables，然后点击Extraction， 在Method选择一个方法（如果是主成分分析，则选Principal Components）， 下面的选项可以随意，比如要画碎石图就选Scree plot，另外在Extract选项可以按照特征值的大小选主成分（或因子），也可以选定因子的数目； 之后回到主对话框（用Continue）。然后点击Rotation，再在该对话框中的Method选择一个旋转方法（如果是主成分分析就选None）， 在Display选Rotated solution（以输出和旋转有关的结果）和Loading plot（以输出载荷图）；之后回到主对话框（用Continue）。 如果要计算因子得分就要点击Scores，再选择Save as variables（因子得分就会作为变量存在数据中的附加列上）和计算因子得分的方法（比如Regression）；之后回到主对话框（用Continue）。这时点OK即可。
年度工作 总结汇报
主成分分析和因子分析
假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。
如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？
当然不能。
计算因子得分
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
因子分析和主成分分析的一些注意事项
卫生统计学：主成分分析与因子分析
通常先对x作标准化处理，使其均值为 零，方差为１．这样就有
x i a i1 f1 a i2 f2 a im fm e i
假定〔１〕fi的均数为 i22 ０，方差为１； 〔２〕ei的均数为０，方差为δi； 〔３〕 fi与ei相互独立．
那么称x为具有m个公共因子的因子模型
〔２〕δi称为特殊方差〔specific variance〕，是不能由公共因子解 释的局部
▪ 因子载荷〔负荷〕aij是随机变量xi与 公共因子fj的相关系数。
▪设
p
g
2 j
a
2 ij
i1
j 1, 2 ,..., m
▪ 称gj2为公共因子fj对x的“奉献〞， 是衡量公共因子fj重要性的一个指标。
根本思想：使公共因子的相对负荷 〔lij/hi2〕的方差之和最大，且保持 原公共因子的正交性和公共方差总和 不变。
可使每个因子上的具有最大载荷的变量 数最小，因此可以简化对因子的解释。
〔2〕斜交旋转〔oblique rotation〕
因子斜交旋转后，各因子负荷发生 了较大变化，出现了两极分化。各 因子间不再相互独立，而彼此相关。 各因子对各变量的奉献的总和也发 生了改变。
ai2j
g
2 j
i1
▪ 极大似然法〔maximum likelihood factor〕
▪ 假定原变量服从正态分布， 公共因子和特殊因子也服从正态分 布，构造因子负荷和特殊方差的似 然函数，求其极大，得 factor〕
▪ 设原变量的相关矩阵为 R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。 各变量特征方差的初始值取为逆 相关矩阵对角线元素的倒数， δi’=1/rii。那么共同度的初始值 为(hi’) 。
因子分析与主成分分析
单击此处添加副标题
电子工业出版社
基本原理
01
主成分分析
02
因子分析
03
本章小结
04
提 纲
主成分分析（Primary Component Analysis）主要是通过降维过程，将多个相关联的数值指标转化为少数几个互不相关的综合指标的统计方法，即用较少的指标来代替和综合反映原来较多的信息，这些综合后的指标就是原来多指标的主要成分。
进行分析，按一定标准确定提取的因子数目；
如果进行的是主成分分析，则将主成分存在的新变量用于继续分析，步骤到此结束；
如果进行的是因子分析，则考察因子的可解释性，并在必要时进行因子旋转，以寻求最佳解释方式；
如有必要，可计算出因子得分等中间指标供进一步分析使用。
因子分析
因子分析是多元统计分析的一个重要分支。其主要目的是运用对诸多变量的相关性研究，即可以用假设的少数几个变量来表示原来变量的主要信息，以便浓缩数据（Data Reduction）。
基本原理
因子分析（Factor Analysis）是主成分分析的推广和发展，也是利用降维方法进行统计分析的一种多元统计方法。因子分析研究相关矩阵或协方差的内部依赖关系，由于它将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，故得到了广泛的应用。
因子分析一般要求提取出的公因子有实际含义，如果分析中各因子难以找到合适的意义，则可以运用适当的旋转，以改变信息量在不同因子上的分析，最终方便对结果的解释。
因子分析
在理论分析和具体SPSS操作方面，因子分析过程需经过如下几个重要步骤。 因子提取。 因子旋转。 计算因子得分。
因子分析
依次单击菜单“分析→降维→因子分析”命令，打开 “因子分析”主对话框
主成分分析与因子分析
∴
( yk ,xi )
k ii
tik
4. m个主成分对原始变量的贡献率
用xi 与 y1 , …, ym 的复相关系数的平方，作为
度量主成分y1 , …, ym包含有 xi 的信息多少的指标
称为m个主成分y1 , …, ym对原始变量xi的贡献率，
记为νi（ i21 m）。
m
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i 2 ( xi ,y j ) jti2j / ii
载荷矩阵
∵ X=T y 其中 T = ( tij )
x1 x2
t11 t21
t12 t22
x p
t p1
t p2
t1 p t2 p
y1 y2
t
pp
y
p
选取前m个主成分，记
xˆ 1
一般地，第 i 主成分为：
y i tiT x
var yi i ,
i 1, p
主成分的性质
1.主成分的协方差矩阵
Y
y1
,
1
0
y p
0
p
由于 Y T T X X TY
var(Y ) var( T T x ) T T var( x )T T T T TTTTTT
标准化主成分 f 的载荷矩阵
先对m个主成分 的方差标准化，再求出主 成分的载荷矩阵。令：
主成分分析和因子分析(朱艳科)
主成分分析和因子分析法一、主成分分析概论主成分分析的工作对象是样本点×定量变量类型的数据表。
它的工作目标，就是要对这种多变量的平面数据表进行最佳综合简化。
也就是说，要在力保数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理。
很显然，识辨系统在一个低维空间要比一个高维空间容易得多。
英国统计学家斯格特（M.Scott ）在1961年对157个英国城镇发展水平进行调查时，原始测量的变量有57个。
而通过主成分分析发现，只需5个新的综合变量（它们是原变量的线性组合），就可以95%的精度表示原数据的变异情况，这样，对问题的研究一下子从57维降到5维。
可以想象，在5维空间中对系统进行任何分析，都比在57维中更加快捷、有效。
另一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(Stone)在1947年关于国民经济的研究。
他曾利用美国1929～1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息和外贸平衡等等。
在进行主成分分析后，竟以97.4%的精度，用三个新变量就取代了原17个变量。
根据经济学知识，斯通给这三个新变量要别命名为总收入1F 、总收入变化率2F 和经济发展或衰退的趋势3F （是时间t 的线性项）。
更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。
二、主成分分析的基本思想与理论1、主成分分析的基本思想在对某一事物进行实证研究中，为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律，人们往往要考虑与其有关系的多个指标，这些指标在多元统计中也称为变量。
这样就产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标，而另一方面随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性，同时也由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免地造成信息的大量重叠，这种信息有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。
基于上述问题，人们就希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。
主成分分析、因子分析
主成分分析在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。
多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。
如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。
盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。
因此需要找到一个合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。
由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。
主成分分析与因子分析就属于这类降维的方法。
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。
主成分分析，是考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。
最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
2. 问题描述下表1是某些学生的语文、数学、物理、化学成绩统计：首先，假设这些科目成绩不相关，也就是说某一科目考多少分与其他科目没有关系。
主成分分析与因子分析法
主成分分析与因子分析法主成分分析是一种减少数据维度的统计学方法，通过将多变量数据投影到一个较低维度的空间中，实现数据的降维。
主成分分析的基本思想是将原始数据转换为一组新的变量，这些新的变量称为主成分，通过主成分的降序排列，能够使原始数据中较大方差的信息更好地保留下来。
1.数据标准化：根据数据的特点，将数据进行标准化处理，使得各个变量具有相同的尺度。
2.计算协方差矩阵：通过计算数据的协方差矩阵，了解各个变量之间的相关性。
3.求解特征向量和特征值：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值。
4.选择主成分：选取前k个特征向量对应的主成分，使得它们能够解释绝大部分的方差。
通常选择的标准是特征值大于1，或者解释方差的累积比例达到一定的阈值。
5.主成分系数：计算原始变量和主成分之间的线性关系，这个关系可以用主成分的特征向量作为系数矩阵进行表示。
1.降低维度：主成分分析能够将高维数据降维，提取出最能代表原始数据的主成分。
2.去除冗余信息：通过选择主成分，可以去除原始数据中的冗余信息，提取出最有用的信息。
3.可视化：降维后的数据可以更容易地可视化和解释。
二、因子分析法（Factor Analysis）因子分析法是一种用于确定多个观测变量之间的潜在结构的统计学方法。
它假设观测变量是由一组潜在因子决定的，通过观测变量和因子之间的相关性，可以推断出潜在因子之间的关系。
因子分析法的基本步骤如下：1.确定因子数：根据研究的目的和背景，确定潜在因子的个数。
2.求解因子载荷矩阵：通过最大似然估计或主因子方法，求解因子载荷矩阵，得到每个观测变量与潜在因子之间的相关关系。
3.提取因子：根据因子载荷矩阵，提取出与观测变量相关性最高的因子，将原始数据映射到潜在因子空间中。
4.旋转因子：通过旋转因子载荷矩阵，使得因子之间更易解释和解读，常用的旋转方法有正交旋转和斜交旋转。
5.因子得分：根据观测变量的信息和因子载荷矩阵，计算每个样本在每个因子上的得分。
主成分分析与因子分析
样本数据的标准化可解决平移问题 根据旋转变换的公式：
yy12
x1cosx2sin x1sinx2cos
y y1 2 cso in sc sio n sx x1 2 U x
主成分分析
• 正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。 • 选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴
本完成了。 • 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫
做主成分(principal component)。
主成分分析的数学模型
假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息，并且相互独立。
排序、判别和分类等问题。
主成分分析 (Principal Components Analysis)
x2
•• •
• ••
• •
•
•
•• •
••
x1
•
•
x2
••
•
•
••
•
••
•
• ••
x1
• 例中的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是
6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空
x2
间表示。由于6维空间无法直接观察，因此，我从2 维空间开始解释主成分分析的原理。
长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一 个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。
主成分分析和因子分析案例分析PPT课件
+姓名
主成分分析
基础概念：主要成分分析就是考虑各指标之间的相互关系，利用降维方法将 多个指标转换为少数几个互不相关的指标，从而使进一步研究变得简单的一 种统计方法。
分析步骤： （1）原始数据标准化处理 （2）计算相关数矩阵 （3）计算特征值及单位特征向量 （4）计算主成分的方差贡献率和累积方差贡献率 （5）计算主成分
试分析一个国家参与经济全球化的过程主要受哪些因素影响?
从数据来看，一共15个因 素，但有些因素是存在相 关性的，同时各因素对全 球化影响程度也不一样， 故可采用主成分分析。
确定变量及相关步骤
因子分析结果
（1）特征值和方差贡献值
从表中可看前3个主成分已经 解释了总方差的近86.7%，故 可以选择前3个主成分进行分 析。
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
表明因子提取方法是 主成分分析，旋转的 方法是方差极大法。
得出结论：北京受x1-x15因素的影响排在第一位。山东排在最后一位。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
旋转后的因子载荷矩阵
是按照前面设定的“方差极大法”对因子载荷矩 阵旋转的结果。在旋转前的的矩阵中，因子变 量在许多变量上均有较高的载荷，从旋转后的 因子可以看出，因子1在1、3、6、7、12、13、 14上有较大载荷，反映科技投入与产出情况， 可以命名为创新水平因子：因子2在指标5、8、 15上较大载荷，反映地区经济发展及财政科技 投入水平，可以命名为创新因子；因子3在指 标9和10上有较大载荷，可以命民为高科技产 业发展因子。
因子分析与主成分分析
因子分析与主成分分析因子分析和主成分分析是统计学中常用的降维技术，它们在数据分析和模式识别等领域中广泛应用。
本文将介绍因子分析和主成分分析的基本概念与原理，并对它们的应用进行探讨。
一、因子分析的概念与原理因子分析是一种用于发掘多个变量之间潜在关联性的方法。
当我们面对大量变量时，往往希望找到其中的共性因素来解释观测数据。
因子分析通过将变量进行降维，将原始变量解释为共同的因子或构念，从而减少信息冗余，提取数据的主要特征。
因子分析的核心思想是假设多个观测变量是由少数几个潜在因子所共同决定的。
这些潜在因子无法直接观测，但可以通过观测变量的线性组合进行间接估计。
通过因子分析，我们可以得到因子载荷矩阵，它描述了每个观测变量与潜在因子之间的关系强度。
二、主成分分析的概念与原理主成分分析是一种常用的无监督学习方法，用于降维和数据压缩。
与因子分析类似，主成分分析也采用线性组合的方式将原始变量映射到一个低维的特征空间。
主成分分析的目标是找到一组新的变量，称为主成分，它们能够最大程度地保留原始数据中的信息。
主成分分析的步骤如下：1. 标准化数据：将原始数据标准化，使得变量的均值为0，方差为1，以消除变量尺度差异的影响。
2. 计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵，用于评估各个变量之间的相关性。
3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 选择主成分：根据特征值大小，选择要保留的主成分数量。
5. 计算主成分：将原始数据投影到所选择的主成分上，得到降维后的数据。
三、因子分析与主成分分析的应用1. 数据降维：因子分析和主成分分析可以用于降低数据集的维度，减少冗余信息。
在机器学习和数据挖掘中，高维数据集的处理往往会面临计算复杂度和过拟合等问题，降维技术可以有效解决这些问题。
2. 变量选择：通过因子分析和主成分分析，可以识别出对观测数据具有重要影响的变量。
这对于特征选择和模型建立有重要意义，可以提高模型的解释性和泛化能力。
主成分分析与因子分析
在实际工作中，为了全面的分析问题，往往会收集很多变量，这些变量之间通常都会存在大量重复信息，如果直接用来分析，不但计算繁琐，模型复杂，而且还有一个更严重的问题就是共线性问题，前面提到过共线性问题会导致模型误差增大，失去意义。
当面对变量过多时，通常的处理方法是降维，即设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合成一组新的互相无关的综合变量，这些综合变量要尽可能多的反映原有变量的信息。
降维的方法有很多，其中最常用的就是主成分分析和因子分析一、主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)1.基本思路设有n个原始变量，如果将它们都用散点图表示，会发现一些变量是存在某种线性关系的，这就是共线性，我们可以利用这个特点，创建一个变量Yi，使它成为某些原始变量的线性组合结果Yi =β+β1x1+...βnxn，这样处理之后，n个原始变量就转化为i个新变量，这i个新变量不同程度的反映了原始变量的信息，并且互不相关，这就解决了共线性问题。
那么接下来的问题是，n个变量的线性组合有很多种，我们取哪种结果作为新变量呢？经典的方法就是根据方差来判断，方差越大，变异越大，而我们的目的并不是消除变异，而是用尽可能少的新变量表示大部分原始变量，因此变异信息也必须尽量完整的反映。
我们将新变量按照方差大小排序，最大者也就是包含变异最多的为第一主成分，以此类推，通常只取前面几个最大的主成分，这样虽然损失部分信息，但是抓住了主要变异，如果全都取的话是没有意义的，因为原则上有多少个原始变量，就可以提取多少个主成分，但是这样做违背了降维的目的，多数情况下，取钱2-3个主成分就可以代表90%以上的变异信息，其余的可以忽略不计。
2.计算过程前面讲了PCA的基本思路，现在用具体数学算法来加以实现<1>数据标准化由于每个变量都有自己的数量级和量纲，首先要对变量进行标准化处理以消除这方面的差异<2>计算协方差矩阵或相关系数矩阵对于一维数据，也就是一个变量的数据，我们可以用均值、方差、标准差来描述，而协方差用于衡量两个变量的总体误差，如果多于两个变量，那就要用协方差矩阵来表示。
《主成份与因子分析》课件
助我们理解变量之间的关系。
因子分析的原理和步骤
1
原理
通过假设存在一些潜在的因子来解释观测数据中的相关性。
2
步骤
1. 确定因子数目 2. 估计因子载荷矩阵 3. 旋转因子载荷矩阵 4. 解释因子载荷矩阵 5. 命名解释出的因子
3
总结与展望
因子分析可以帮助我们理解观测数据中的潜在结构与因果关系。
区别与联系
主成份与因子分析
在这份PPT课件中，我们将探讨主成份与因子分析的定义、背景以及它们在 不同领域的应用。我们还将介绍分析的原理和步骤，并通过案例研究加深理 解。让我们一同进入这个令人着迷的主题！
定义和背景
1 主成份分析
通过线性组合一组变量，提取出能够解释数据方差最多的几个主成份。
2 因子分析
通过假设存在一些无法直接观测到的“因子”，解释观测数据的相关性。
3 背景
这些分析方法应用广泛，从社会科学到自然科学，都有探索变量关系的需求。
主成份分析的原理和步骤
1
原理
通过寻找能够最大化解释数据方差的线
步骤
2
性组合来减少变量数目。
1. 标准化变量
2. 计算协方差矩阵
3. 计算特征值和特征向量
4. 选择最大特征值对应的特征向量
3
总结与展望
5. 归一化主成份
主性组合减少变量数目，因子分析 通过解释观测数据的相关性来揭示潜在的因子。
联系
两种分析方法都可以帮助我们理解变量之间的关系， 从而为进一步研究和应用提供依据。
应用领域
社会科学
主成份和因子分析被广泛用 于心理学、教育学等社会科 学领域，帮助揭示变量之间 的潜在关系。
市场研究
通过主成份和因子分析，我 们可以了解消费者偏好、产 品特征等市场信息。
主成分分析与因子分析
主成分分析与因⼦分析主成分分析，主成份是原始变量的线性组合，在考虑所有主成份的情况下主成份和原始变量间是可以逆转的。
即“简化变量”，将变量以不同的系数合起来，得到好⼏个复合变量，然后在从中挑⼏个能表⽰整体的复合变量就是主成份，然后计算得分。
因⼦分析，公共因⼦和原始变量的关系是不可逆转的，但是可以通过回归得到。
是将变量拆开，分成公共因⼦和特殊因⼦。
过程是：因⼦载荷计算，因⼦旋转，因⼦得分。
主成份分析主成份分析需要知道两变量之间的相关性，⽣成协⽅差举证和相关新矩阵，对应的⽣成的新向量矩阵Y还有特征值λi，对应是第I个新向量对总体信息的贡献率为λi/(λ1+λ2+...+λn),对应的还有⼀个累积贡献率。
确定主成份的个数的⽅法有：特征值⼤于1（要求原始数据的每⼀个变量⾄少能贡献1各单位的变异）、陡坡检验法（陡坡图中开始平坦的点之前的点的个数）、累积解释变异⽐例法（即（λ1+...+λi）/(λ1+λ2+...+λn)>70%）。
同时也可以知道主成分分析对应的⼏个难点①是使⽤协⽅差矩阵还是相关系数矩阵②如何确定主成份的个数。
当数据中不同变量的度量单位不同并且数值相差较⼤就⽤标准化后的相关系数矩阵，当数值相差不⼤并且指标的权重不⼀样时，考虑⽤协⽅差矩阵。
对于个数的确定就是我们⼀些边界问题是否1左右的也可以囊括进主成份中，是否难以确定开始变平坦的是那个点，是否70%不够。
等⼏个问题。
主成分分析可以⽤两个过程步完成PROC FACTORS 、PROC PRINCOMP。
后者能处理的数据量⼤⼀些，效率⾼⼀些，，前者输出的内容丰富些，还可以做旋转因⼦。
以下是主成分分析过程；proc princomp data=sashelp.cars out=car_component;var mpg_city mpg_highway weight wheelbase length;run;输出结果：先是输出统计结果，再是输出相关性矩阵，这⾥princomp步默认使⽤的是相关系数矩阵，实际应⽤过程中，可以通过cov选项来指定使⽤的矩阵。
因子分析与主成分分析的区别与应用
因子分析与主成分分析的区别与应用因子分析与主成分分析是统计学中常用的多变量分析方法，用于降维和提取数据中的主要信息。
虽然它们都可以用于数据分析，但在方法和应用上存在一些区别。
本文将介绍因子分析与主成分分析的区别，并讨论它们各自的应用。
一、因子分析与主成分分析的定义因子分析是一种用于研究多个观测变量之间的内在相关性结构的统计技术。
它通过将多个变量组合为少数几个“因子”来解释数据的方差。
每个因子代表一组相关性高的变量，可以帮助我们理解数据背后的潜在结构。
主成分分析是一种通过将原始变量转换为线性组合（即主成分）来降低多维数据维度的技术。
它通过找到数据中的最大方差方向来确定主成分，并逐步提取主成分，以解释数据的最大方差。
主成分分析可以帮助我们发现数据中的主要特征。
二、因子分析与主成分分析的区别1. 目的不同：因子分析的目的是确定一组能够最好地描述观测数据之间关系的因子，并解释数据中的方差。
因子分析更加关注变量之间的共同性和相关性，希望通过较少的因子来解释数据。
主成分分析的目的是通过寻找数据中的主要结构和主要特征来降低数据的维度。
主成分分析着重于方差的解释，通过线性组合来减少变量数量，提取出主要成分。
2. 基本假设不同：因子分析基于观察变量之间的共同性，假设观测变量是由一组潜在因子决定的。
它假设每个观测变量都与每个因子有一个固定的因子载荷。
主成分分析假设原始变量之间是线性相关的，并且通过线性变换，可以找到解释大部分数据方差的新变量。
3. 输出结果不同：因子分析输出因子载荷矩阵，该矩阵显示每个因子与每个观测变量之间的关系。
因子载荷表示每个因子对每个变量的贡献程度，可用于解释观测变量之间的共同性。
主成分分析输出的是主成分，每个主成分是原始变量的线性组合。
主成分按照解释的方差大小排序，因此前几个主成分更能代表原始数据的方差。
三、因子分析与主成分分析的应用因子分析的应用广泛，可以用于心理学、社会科学、市场调研等领域。
主成分分析与因子分析法ppt课件
事实上，以上问题在平时的研究中，也会经 常遇到。它所涉及的问题可以推广到对企业、 对学校、对区域进行分析、评价、排序和分 类等。
比如对n个样本进行综合评价，可选的描述样 本特征的指标很多，而这些指标往往存在一 定的相关性（既不完全独立，又不完全相 关），这就给研究带来很大不便。若选指标 太多，会增加分析问题的难度与复杂性，选 指标太少，有可能会漏掉对样本影响较大的 指标，影响结果的可靠性。
在各种线性组合中方差达到最大者。
满足上述约束得到的合成变量Y1, Y2, …, Yp分别称为 原始变量的第一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分，
而且各成分方差在总方差中占的比重依次递减。在实际研究
工作中，仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统
结构的目的。
24
24
三、主成分分析的计算步骤
25
21
(二) 主成分分析的基本思想
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …,
Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …,
Xp)，设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 ,
… , Yp)为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 11
主成分分析法与因子分析法
1
主要内容
➢ 主成分分析法 ➢ 因子分析法 ➢ 附：主成分分析法与因子分析法的区别
2
主成分分析法
（Principal Components Analysis,PCA） ➢ 主成分分析法概述 ➢ 主成分分析的基本原理 ➢ 主成分分析的计算步骤
3
一、主成分分析概述
4
引子
假定你是一个公司的财务经理，掌握了公 司的所有数据，这包括众多的变量，比如 固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额 和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、 产值、利润、折旧、职工人数、职工的分 工和教育程度等等。
浅谈主成分分析与因子分析-基本思想-主要性质-应用举例-计算步骤-主要区别
浅谈主成分分析与因子分析1、主成分分析主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标，同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息。
这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统计方法叫做主成分分析，也是数学上处理降维的一种方法。
主成分分析的一般目的是：(1)变量的降维；(2)主成分的解释。
1.1基本思想主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。
通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。
最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1,F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
这些主成分不仅不相关，而且他们的方差依次递减。
1.2计算步骤设有n个样品，每个样品观测P个指标，将原始数据写成矩阵。
（1）将原始数据标准化，即将每个指标的原始数据减去这个指标的均值后，再除以这个指标的标准差。
（2）建立变量的相关系数阵：。
（3）求R的特征根及相应的单位特征向量。
在解决实际问题时，一般不是取p个主成分，而是根据累计贡献率的大小取前k个，称第一主成分的贡献率为，这个值越大，表明第一主成分综合信息的能力越强。
前k 个主成分的累计贡献率达到85%，表明取前k 个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息。
1.3算法原理（1）对资料阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n p p x x x x x x X ...................................1221111标准化，得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n p p a a a a a a A ................................1221111 其中2)(1/)(j ij j ij ij x x n X x a --= i=1,2……n, j=1,2,……P 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
④两种因子分析的使用区别
§ 探索性因子分析仅仅用在研究初期对原始数据的探讨，它的结果一 般不需要进行统计检验。
§ 确定性因子分析是确定性地描述了观察变量与潜在因子之间的关系 ，具有有效的实际意义，因此需要进行统计检验。
和，反映的是因子Fj对原有变量总方差的解释能力，其值越高，说
明因子的重要程度越高。
（6）因子分析的计算步骤
§ 确定待分析的原有如干变量是否适合做因子分析。 § 构造因子变量。 § 利用旋转方法是因子变量更具有可解释性。 § 计算因子得分。
实例详解
例21.2为了研究大学生的价值观，某研究人员抽样调查 了20名大学生关于价值观的9项检验结果。包括合作性 、对分配的看法、行为出发点、工作投入程度、对发展 机会的看法、对社会地位的看法、权力距离、对职位升 迁的态度、领导风格的偏好等，分值区间为[1,20]，我 们分别对这些指标定义为X1——X9，具体数据见图2110所示。根据这9项指标进行因子分析，得到较少维度 的几个因子。 （文件见例21.1.sav ）
（5）因子分析的相关概念
1.因子载荷aij:为第i个变量与第j个公共因子上的相关系数，反映了
第i个变量在第j个公共因子的相对重要性。
2.变量共同度：也称公共方差，反映全部公共因子对原有变量xi的
总方差的解释说明比例。原有变量xi的共同度为因子载荷矩阵A中第 i行因素的平方和。
3.公共因子Fj的方差贡献：因子载荷矩阵A中第j列各元素的平方
② 主成分回归
将计算出的主成分作为新的自变量，与应变量做多元回 归分析。
优点：
主要解决自变量间的共线性问题，避免回归系数的不合 理现象，揭示变量间的真实关系
实例详解
例21.1：某研究单位测得20名肝病患者4项肝功 能指标（数据文件见“例21.1.sav”）：转氨酶 （x1）、肝大指数（x2）、硫酸锌浊度（x3） 、甲胎球蛋白（x4），是做主成分分析。
IBM-SPSS
第21章 主成分与因子分析
主要内容
第一节 主成分分析 第二节 因子分析 第三节 主成分分析与因子分析的区别与联系
第一节
Principal Components Analysis
（1）定义
从多个数值变量（指标）之间的相互关系入手，利用 降维的思想，将多个变量（指标）化为少数几个互不 相关的综合变量（指标）的统计方法。
（2）基本思想 § 数据的降维、数据的解释
§ 将原来众多具有一定相关性的指标，组合成一组新的相互 无关的综合指标。从中选取几个较少的综合指标尽可能多的 反映原来众多指标的信息。
§ 这种既减少了指标的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问 题的分析和处理。
§ 主成分分析的关键是：计算综合指标
§ 主成分即综合指标，它在个体间的变异应该越大越好。
（4）因子分析的分类
探索性因子分析(exploratory factor analysis) 确定性因子分析(confirmatory factor analysis)
①探索性因子分析(exploratory factor analysis)
探索性因子分析：是去探讨一组可测变量的特征，性质和内部的关 联性，并揭示有多少主要的潜在因子可能影响这些可测变量。
① 主成分评价
在进行多指标综合评价时，由于要求结果客观、全面， 就需要从各方面用多个指标进行测量，但这样就会使得 个观测指标间存在信息重叠，同时还存在量纲、类家室 如何确定权重系数等问题。因此使用主成分分析方法进 行信息的浓缩，并解决权重的确定等问题。
优点：
1、消除各指标不同ຫໍສະໝຸດ 纲产生的影响； 2、对于相互之间有相关性的指标，不存在信息的重叠。
（3）主成分的计算及性质 1.主成分的确定方法
①累计贡献率：当前k各主成分的累计贡献率达到某一
特定值（一般采用70%以上）时，则保留前k个主成分
②特征根：一般选取特征根≥1的主成分。
2. 几个相关的术语及统计量
① 特征跟（Eigenvalue ）
§ Var（Ci）= λi
§ 各主成分所提供的信息量多少，常用其方差的 大小（即特征根λ ）来衡量， λ 愈大，该主成 分提供的信息量就愈大，可见：λ1＞λ2 ＞ … ＞ λm。
Factor Analysis
（1）定义
因子分析（factor analysis)是用来寻找那些隐藏 在可测变量中的，无法直接观察到的，却影响 或支配可测变量的潜在因子；并估计潜在因子 对可测变量的影响程度以及潜在因子之间的关 联性的一种多元统计分析方法。
（2）因子分析的目的
§ 理论上讲：研究原始变量的内部关系，简化原 变量的内部结构，分析变量中存在的相关关系 。
② 主成分Zi方差贡献率 计算式为：
λi表示主成分Zi的方差在全部方差中的比重。这 个值越大，表明主成分Zi综合原始变量信息的能 力越强。
③ 累计贡献率
前k个主成分的贡献率之和为前k个主成分的累积 贡献率，表示前k个主成分累计提取了原始变量 多少的信息 。
主成分的性质
（4）主成分分析的用途 主成分评价 主成分回归
第三节
§THE END
何时使用探索性因子分析？
如果所进行的一项研究涉及到很多的可测变量，而且在研究之前， 并不清楚有哪些可能的潜在因子会影响这些可测变量，这时可作探 索性因子分析。
②确定性因子分析(confirmatory factor analysis)
确定性因子分析：是在探索性因子分析的基础上进一步确定每一个 潜在因子对可测变量的影响程度，以及了解这些潜在因子之间的关 联程度。
何时使用确定性因子分析？
如果根据以往的经验或根据探索性因子分析的结果已经清楚哪些可 测变量可能被那一个潜在因子所影响，而只需进一步确定每一个潜 在因子对可测变量的影响程度，以及了解这些潜在因子之间的关联 程度，这时可用确定性因子分析。
③两种因子分析的假设条件
§ 探索性因子分析要求寻找出的这些潜在因子是相互独立的，有实际 意义的，而且这些独立的潜在因子尽可能多地概括了原可测变量的 信息。
§ 从应用上讲：寻求众多变量的共同因子，即：
探讨 多个能直接测量的且有一定相关性的实测指标是 如何受少数几个不能直接测量的相对独立的因子支配的 。
（3）因子分析的基本思想
根据变量间相关性的大小把变量分组，使得同组 内的变量之间的相关性（共性）较高，并用一 个因子来代表这个组的变量，而不同组的变量 相关性较低（个性）。