第21章 主成分与因子分析

② 主成分回归
将计算出的主成分作为新的自变量，与应变量做多元回 归分析。
优点：
主要解决自变量间的共线性问题，避免回归系数的不合 理现象，揭示变量间的真实关系
实例详解
例21.1：某研究单位测得20名肝病患者4项肝功 能指标（数据文件见“例21.1.sav”）：转氨酶 （x1）、肝大指数（x2）、硫酸锌浊度（x3） 、甲胎球蛋白（x4），是做主成分分析。
第三节
§THE END
§ 从应用上讲：寻求众多变量的共同因子，即：
探讨 多个能直接测量的且有一定相关性的实测指标是 如何受少数几个不能直接测量的相对独立的因子支配的 。
（3）因子分析的基本思想
根据变量间相关性的大小把变量分组，使得同组 内的变量之间的相关性（共性）较高，并用一 个因子来代表这个组的变量，而不同组的变量 相关性较低（个性）。
（2）基本思想 § 数据的降维、数据的解释
§ 将原来众多具有一定相关性的指标，组合成一组新的相互 无关的综合指标。从中选取几个较少的综合指标尽可能多的 反映原来众多指标的信息。
§ 这种既减少了指标的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问 题的分析和处理。
§ 主成分分析的关键是：计算综合指标
§ 主成分即综合指标，它在个体间的变异应该越大越好。
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第21章 主成分与因子分析
主要内容
第一节 主成分分析 第二节 因子分析 第三节 主成分分析与因子分析的区别与联系
第一节
Principal Components Analysis
（1）定义
从多个数值变量（指标）之间的相互关系入手，利用 降维的思想，将多个变量（指标）化为少数几个互不 相关的综合变量（指标）的统计方法。
① 主成分评价
在进行多指标综合评价时，由于要求结果客观、全面， 就需要从各方面用多个指标进行测量，但这样就会使得 个观测指标间存在信息重叠，同时还存在量纲、类家室 如何确定权重系数等问题。因此使用主成分分析方法进 行信息的浓缩，并解决权重的确定等问题。
优点：
1、消除各指标不同量纲产生的影响； 2、对于相互之间有相关性的指标，不存在信息的重叠。
（4）因子分析的分类
探索性因子分析(exploratory factor analysis) 确定性因子分析(confirmatory factor analysis)
①探索性因子分析(exploratory factor analysis)
探索性因子分析：是去探讨一组可测变量的特征，性质和内部的关 联性，并揭示有多少主要的潜在因子可能影响这些可测变量。
（3）主成分的计算及性质 1.主成分的确定方法
①累计贡献率：当前k各主成分的累计贡献率达到某一
特定值（一般采用70%以上）时，则保留前k个主成分
②特征根：一般选取特征根≥1的主成分。
2. 几个相关的术语及统计量
① 特征跟（Eigenvalue ）
§ Var（Ci）= λi
§ 各主成分所提供的信息量多少，常用其方差的 大小（即特征根λ ）来衡量， λ 愈大，该主成 分提供的信息量就愈大，可见：λ1＞λ2 ＞ … ＞ λm。
Factor Analysis
（1）定义
因子分析（factor analysis)是用来寻找那些隐藏 在可测变量中的，无法直接观察到的，却影响 或支配可测变量的潜在因子；并估计潜在因子 对可测变量的影响程度以及潜在因子之间的关 联性的一种多元统计分析方法。
（2）因子分析的目的
§ 理论上讲：研究原始变量的内部关系，简化原 变量的内部结构，分析变量中存在的相关关系 。
和，反映的是因子Fj对原有变量总方差的解释能力，其值越高，说
明因子的重要程度越高。
（6）因子分析的计算步骤
§ 确定待分析的原有如干变量是否适合做因子分析。 § 构造因子变量。 § 利用旋转方法是因子变量更具有可解释性。 § 计算因子得分。
实例详解
例21.2为了研究大学生的价值观，某研究人员抽样调查 了20名大学生关于价值观的9项检验结果。包括合作性 、对分配的看法、行为出发点、工作投入程度、对发展 机会的看法、对社会地位的看法、权力距离、对职位升 迁的态度、领导风格的偏好等，分值区间为[1,20]，我 们分别对这些指标定义为X1——X9，具体数据见图2110所示。根据这9项指标进行因子分析，得到较少维度 的几个因子。 （文件见例21.1.sav ）
§ 确定性因子分析不要求寻找出的这些潜在因子是相互独立的，它的 目的是研究潜在因子之间的关联性。
④两种因子分析的使用区别
§ 探索性因子分析仅仅用在研究初期对原始数据的探讨，它的结果一 般不需要进行统计检验。
§ 确定性因子分析是确定性地描述了观察变量与潜在因子之间的关系 ，具有有效的实际意义，因此需要进行统计检验。
何时使用确定性因子分析？
如果根据以往的经验或根据探索性因子分析的结果已经清楚哪些可 测变量可能被那一个潜在因子所影响，而只需进一步确定每一个潜 在因子对可测变量的影响程度，以及了解这些潜在因子之间的关联 程度，这时可用确定性因子分析。
③两种因子分析的假设条件
§ 探索性因子分析要求寻找出的这些潜在因子是相互独立的，有实际 意义的，而且这些独立的潜在因子尽可能多地概括了原可测变量的 信息。
何时使用探索性因子分析？
如果所进行的一项研究涉及到很多的可测变量，而且在研究之前， 并不清楚有哪些可能的潜在因子会影响这些可测变量，这时可作探 索性因子分析。
②确定性因子分析(confirmatory factor analysis)
确定性因子分析：是在探索性因子分析的基础上进一步确定每一个 潜在因子对可测变量的影响程度，以及了解这些潜在因子之间的关 联程度。
② 主成分Zi方差贡献率 计算式为：
λi表示主成分Zi的方差在全部方差中的比重。这 个值越大，表明主成分Zi综合原始变量信息的能 力越强。
③ 累计贡献率
前k个主成分的贡献率之和为前k个主成分的累积 贡献率，表示前k个主成分累计提取了原始变量 多少的信息 。
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主成分的性质
（4）主成分分析的用途 主成分评价 主成分回归
（5）因子分析的相关概念
1.因子载荷aij:为第i个变量与第j个公共因子上的相关系数，反映了
第i个变量在第j个公共因子的相对重要性。
2.变量共同度：也称公共方差，反映全部公共因子对原有变量xi的
总方差的解释说明比例。原有变量xi的共同度为因子载荷矩阵A中第 i行因素的平方和。
3.公共因子Fj的方差贡献：因子载荷矩阵A中第j列各元素的平方