机械系统动力学作业
机械动力学大作业
曲柄连杆机构的建模与仿真
曲柄连杆机构如图1所示，曲柄AC长90mm,OC距离300mm。
计算β=300时曲柄的ｖ、θ、θ’。
1-1仿真测试
通过ADAMS/View建立的如图1-1-1所示的模型：
图1-1-1曲柄连杆模型
（1）在工具栏中单击仿真控制按钮。
（2）系统打开参数设置对话框，设置为Forever，Steps为0.01，如图1-1-2所示。
图1-2运动仿真
（3）点击开始仿真图标
（4）模型开始运动。
如果曲柄逆时针转动，对旋转运动（Motion_1）单击鼠标右键，选择Modify，在Function（time）一栏的数据前面加上“-”。
开始仿真。
1-2测试仿真结果
（1）在ADAMS工具菜单的Measure中选择，在To Point栏中输入PART3，即曲柄；
（2）在Characteristic栏中选择Translation velocity 以测其速度。
（3）选择Cylindrical坐标系，并选择R选项。
（4）设置完毕单击Apply按钮，弹出测量窗口如图1-2-1曲柄连杆运行一周的速度分量图。
图1-2-1 qubingliangan 测量曲线
（5）重复（（1）~（3）步再测量节点2、3沿Y轴方向的速度分量，测量结果如图1-2-2：
图1-2-2 qubingliangan2、3测量曲线。
机械动力学大作业
单自由度杆机构的Adams动力学仿真摘要：文章分析了单自由度的铰链机构的动力学问题，已知原动件曲柄的转矩，绘制输出件摆杆的运动曲线。
首先在Adams软件中构造连杆，添加三个连杆，使其成一定角度，相互连接。
再在两杆之间添加转动副，并且头尾连杆与地相连。
并在曲柄处加转矩，最后进行仿真，并绘出相应图表。
关键词：铰链机构；Adams仿真1、机构模型的建立根据题目要求，选择一个铰链四杆机构——曲柄摇杆机构为模型，其结构简图如图1所示。
其中，曲柄1为原动件。
图1曲柄摇杆机构简图在Adams软件中，建立该曲柄摇杆机构的模型如图2所示。
图2 Adams中的曲柄摇杆机构模型曲柄摇杆机构各连杆的惯性参数参考表1。
杆件的材料均选择钢材（密度ρ=7.801×10-6 kg•mm-3，杨氏模量E=2.07×105 N•mm-2，泊松比μ=0.29）。
表1 传动导杆机构各部件惯性参数2、利用Adams软件添加约束和力矩杆1和地之间有转动副，杆1和杆2、杆2和杆3之间有转动副，杆3和地之间有转动副。
杆1为原动件，在杆1上添加转矩。
转矩大小为30。
图3约束与转矩3、进行仿真点击仿真按钮，开始仿真，选择仿真时间为2s，可以观察到该机构各个时间的运动状态如图4和图5所示。
（a）T=0时刻（b）T=1时刻图4仿真过程中机构模型的运动状态（a）T=1.2时刻（b）T=2时刻图5仿真过程中机构模型的运动状态结论当原动件曲柄的转矩取为30时，点击“后处理”，可以绘制出输出件摆杆的位移曲线、角速度曲线、加速度曲线分别如图10、图11和图12所示。
图10输出件摆杆的位移曲线图11输出件摆杆的角速度曲线图12输出件摆杆的角加速度曲线参考文献[1]陈立平，张云清，任卫群.机械系统动力学分析及ADAMS应用教程[M].北京：清华大学出版社.2005.。
第十章 机械系统动力学
题 19 图 题 20 图 20.图示为某机器的等效驱动力矩 M d (φ )和等效阻力矩 M (φ r )的线图，其等效转动惯量 为常数，该机器在主轴位置角φ 等于 时，主轴角速度达到ω ，在主轴位置 角φ 等于 时，主轴角速度达到ω min 。
max
21.将作用于机器中所有驱动力、阻力、惯性力、重力都转化到等效构件上求得的等效 力矩与机构动态静力分析中求得的作用在该等效构件上的平衡力矩 ，两者在数值 上 ，方向 。 22.为了使机器稳定运转，机器中必须安装飞轮。－－－－－－－－－－－－－－－ ） （ 23.机器中安装飞轮后，可使机器运转时的速度波动完全消除。－－－－－－－－ ) ( 24.为了减轻飞轮的重量，最好将飞轮安装在转速较高的轴上。－－－－－－－－ （ ） 25.机 器 稳 定 运 转 的 含 义是 指 原 动 件 ( 机 器 主 轴 ) 作 等 速 转 动 。 － －－ －－ － － － ） （ 26.机 器作稳 定运转， 必须在 每一瞬时 驱动功率等于 阻抗功率 。－－－－－ －－ ） （ 27.机器等效动力学模型中的等效质量(转动惯量)是一个假想质量(转动惯量)，它的大小 等于原机器中各运动构件的质量 ( 转动惯量 ) 之和。－－－－－－－－－－－－－－－ （ ） 28.机器等效动力学模型中的等效质量(转动惯量)是一个假想质量(转动惯量)，它不是原 机器中各运动构件的质量(转动惯量)之和，而是根据动能相等的原则转化后计算得出的。－ －－－－－－－－（ ） 29.机器等效动力学模型中的等效力(矩)是一个假想力(矩)，它的大小等于原机器所有作 用外力的矢量和。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ( ) 30.机器等效动力学模型中的等效力(矩)是一个假想力(矩)，它不是原机器中所有外力(矩) 的合力，而是根据瞬时功率相等的原则转化后算出的。－－－－－－－－－－－－（ ）
完整word版机械系统动力学期末作业
人称为系统的等效转动惯量。
这里分析的是广义坐标q 的变化规 律0此q (称为广义速度)是随时间变化的。
2. 系统的势能
对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情况 下，由构件的重量产生的势能与动能相比数值也很小，因此拉格朗日 方程中的势能常常略去。
3. 系统的广义力
设F 花(k=lr2,…，111)和隔.(j=l,2,…，U)分别为作用于机械 上的外力和外力距，则这些力和力矩的功率为：
m n
p =工(FScQSg) + 工(士M M )
(6) fc=l j=l
式中：Wj ——有外力距My 作用的构件的角速度；
外力乍用点的速度；
弧 ---- F/C 与夹角。
式中第二项符号的确定方法为：当Afy 与呦同向时取正号，反向取 负号。
广义力的定义就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的 功等于系统中全部力和力矩在同一时间为所作的功。
因此，当广义坐 标为一个角位移时，广义力F 为一等效力矩Mg,它可以按下式计算： m - n
严严)+》(±喘)
k=l T 7=1 r
按照拉格朗日方程中的要求，将(4)表达的功能求导数得：
dEj,_ldJ, .2 dq 2 Og ° 顾*q
d S 将式7、式8和式10代入拉格朗日方程(1)可得到：
=》mi +Jsi Je
1=
(8)
(10)。
单自由度机械系统动力学
•位移和转角叫广义坐标， •速度和角速度叫广义速度。
vk
,
j
; vk v
, j v
称为传动速比。
12
Confucius said: “A gentleman neither worries nor fears.”
v
13
Confucius said: “A gentleman neither worries nor fears.”
for(i=0;i<37;i++)
{
phi1=i*h;
//Euler(double phi1);
Runge_Kutta(phi1);
printf("%3.0f %8.3f\n",phi1*180/pi,omega10);
omega10=omega1;
}
}
66
欧拉法：
void Euler(double phi1) {
❖ 研究方法： 等效力学模型
2
2.2 驱动力和工作阻力
2.2.1 系统受力 主要受力有：驱动力、惯性力、工作阻力、介质阻
力、重力和摩擦阻力等。 ❖驱动力：原动机产生的力，做正功。
驱动力的变化规律为：１）常数；２）是位移的函 数；３）是速度的函数。 ❖工作阻力：工作构件的阻力，做负功。
工作阻力的变化规律为：１）常数；２）是位移的 函数；３）是速度的函数；４）是时间的函数。
#define pi 3.1416
#define h 10*pi/180
30
double l1,l2,ls2,e,J01,J2,m2,m3;
double phi1,Je,dJe,omega1,Vc;
int i;
机械系统动力学大作业
《机械系统动力学》课程作业小组成员：王凌飞 20150702081t王毅 20150702041 指导教师：***学院：机械工程学院专业：机械工程重庆大学机械工程学院二〇一五年十一月机械系统动力学大作业一、 问题描述图1为汽车结构简化模型：图1 汽车结构简化模型图2为汽车结构受力分析：图2 受力分析图已知22120.64m 4000kg 2000N s/m r m c c ====⋅121220000N/m0.9m1.4m k k l l ====r ：车辆的回转半径。
初始条件为：0x x θθ====。
外部冲击力矩：)(10t δ。
试用MATLAB 中的ode45函数求解并画出0-5s 内的位移x 和转角θ的响应。
单位冲击函数()t δ的定义：1,()0,t t t δ=⎧=⎨≠⎩，其图像如图3所示。
00.511.5tδ图3 单位冲击函数图像二、求解过程1.系统运动方程不考虑冲击力矩，由图2机构受力分析得到系统运动方程如下：0)()()()(112221112221=-+++-+++θθk l k l x k k c l c l x c c x m (1) 0)()()()(222121112212122211222=++-+++-+θθk l k l x l k l k c l c l x l c l c x mr (2) 考虑t=0时刻，系统受到一个冲击力矩)(10t δ，此时运动学方程表示为：0)()()()(112221112221=-+++-+++θθk l k l x k k c l c l x c c x m (3) 222222211221122112211()()()()10()mr c l c l x l c l c k l k l x l k l k t θθθδ+-+++-++= (4)2．运动方程一阶常微分方程组形式令，，，，4321x x x x x x ====θθ 则t=0时：12212222114121221133422222422112221142211111223()/()/()/()/[10()/()()()]/x x x c c x m l c l c x m k k x m l k l k x m x x x l c l c x l c l c x l k l k x l k l k x mr =⎧⎪=-+---+--⎪⎨=⎪⎪=---+---+⎩ t>0时：12212222114121221133422222422112221142211111223()/()/()/()/[()/()()()]/x x x c c x m l c l c x m k k x m l k l k x m x x x l c l c x l c l c x l k l k x l k l k x mr =⎧⎪=-+---+--⎪⎨=⎪⎪=---+---+⎩ 3. MATLAB 程序求解运动方程ode45函数主程序文件solution.m ，如下所示： clc;clear;r=0.8; m=4000; c1=2000; c2=2000; k1=20000; k2=20000; l1=0.9; l2=1.4; t0=0; tf=5;x0=[0,0,0,0];[t,x]=ode45('f1',[t0 tf],x0); subplot(3,1,1) plot(t,x);subplot(3,1,2) plot(t,x(:,1)); subplot(3,1,3) plot(t,x(:,3));ode45函数微分关系函数文件f1.m ，如下所示：function xdot=f1(t,x) r=0.8; m=4000; c1=2000; c2=2000; k1=20000; k2=20000; l1=0.9; l2=1.4; t0=0; tf=5;xdot=zeros(4,1); xdot(1)=x(2);xdot(2)=-(c1+c2)/m*x(2)-(l2*c2-l1*c1)/m*x(4)-(k1+k2)/m*x(1)-(l2*k2-l1*k1)/m*x(3);xdot(3)=x(4); if t<=0xdot(4)=10/(m*r*r)-(c2*l2-c1*l1)/(m*r*r)*x(2)-(c2*l2*l2+c1*l1*l1)/(m*r*r)*x(4)-(k2*l2-k1*l1)/(m*r*r)*x(1)-(l1*l1*k1+l2*l2*k2)/(m*r*r)*x(3); elsexdot(4)=-(c2*l2-c1*l1)/(m*r*r)*x(2)-(c2*l2*l2+c1*l1*l1)/(m*r*r)*x(4)-(k2*l2-k 1*l1)/(m*r*r)*x(1)-(l1*l1*k1+l2*l2*k2)/(m*r*r)*x(3); end在MATLAB 中运行以上两个程序，即可得0～5s 内汽车系统的位移x 与转角θ的响应。
机械动力学作业
机械动力学作业1、机械动力学的研究内容机械动力学是一门基于Newton力学，研究机械系统宏观动态行为的学科。
该学科的研究对象包括几乎所有具有机械功能的系统，其研究范围涵盖了这类系统的建模与仿真、动力学分析与设计、动力学控制、运行状态监测和故障诊断等。
该学科的主要任务是采用尽可能低的代价使产品在设计、研制、运行各阶段具有最佳的动力学品质。
机械动力学是机械原理的主要组成部分。
它研究机械在运转过程中的受力、机械中各构件的质量与机械运动之间的相互关系，是现代机械设计的理论基础。
研究机械运转过程中能量的平衡和分配关系。
主要研究的是：在已知外力作用下，求具有确定惯性参量的机械系统的真实运动规律；分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力；研究回转构件和机构平衡的理论和方法；机械振动的分析；以及机构的分析和综合等等。
研究内容概况6个方面：1、在已知外力作用下，求具有确定惯性参量的机械系统的真实运动规律；分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力；研究回转构件和机构平衡的理论和方法；机械振动的分析；以及机构的分析和综合等等。
为了简化问题，常把机械系统看作具有理想、稳定约束的刚体系统处理。
对于单自由度的机械系统，用等效力和等效质量的概念，可以把刚体系统的动力学问题转化为单个刚体的动力学问题；对多自由度机械系统动力学问题一般用拉格朗日方程求解。
机械系统动力学方程常常是多参量非线性微分方程，只在特殊条件下可直接求解，一般情况下需要用数值方法迭代求解许多机械动力学问题可借助电子计算机分析计算机根据输入的外力参量、构件的惯性参量和机械系统的结构信息，自动列出相应的微分方程并解出所要求的运动参量。
2、分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力。
这些力的大小和变化规律是设计运动副的结构、分析支承和构件的承载能力以及选择合理润滑方法的依据。
在求出机械真实运动规律后可算出各构件的惯性力，再依据达朗伯原理用静力学方法求出构件间的相互作用力。
机械动力学第二章作业(答案)
第二章习题2- 1如图2-1所示，长度为L 、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O 点微幅振动的微分方程。
222...2..011T J 2231V 2(sin )(1cos )222()0m 0322ml L Lk mg dT V dtmg k L θθθθθθθ==⋅=⋅+-+=⎛⎫++= ⎪⎝⎭解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2- 2如图2-2所示，质量为m 、半径为r 的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k 弹簧相连,求系统的振动微分方程。
22 (2)2..0111T J ,2221V ()2()03m 02m r J mr k r dT V dtk θθθθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=+=+=解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2- 3如图2-3所示，质量为m 、半径为R 的圆柱体,可沿水平面作纯滚动，与圆心O 距离为a 处用两根刚度为k 的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。
图2- 1 图2- 22.222..220111T J ,2221V (2)[()]2()032()02m R J mR k R a dT V dt mR k R a θθθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=⋅++=++=解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得： 2- 4求图2-4所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程(假设滑轮与绳索间无滑动)。
2.222....0111T J ,2221V ()2()0()02m r J Mr k r dT V dt x r x r M m x kx θθθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=⋅+===++=解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得其中，，化简得： 2- 5质量可忽略的刚性杆-质量-弹簧-阻尼器系统参数如图2-5所示，2L 杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。
第11章 机械系统动力学
专业：学号：姓名：（7）在周期性速度波动中，一个周期内机器的盈亏功之和是。
A．大于0 B．小于0 C．等于0（8）有三个机构系统，它们主轴的ωmax和ωmin分别是：A．1025rad/s，975rad/s；B．512.5rad/s，487.5md/s；C．525rad/s，475rad/s。
其中，运转最不均匀的是，运转最均匀的是。
（9）下列说法中，正确的是。
A．机械的运转速度不均匀系数的许用值[δ]选得越小越好，因为这样可以使机械的速度波动较小；B．在结构允许的条件下，飞轮一般装在高速轴上；C．在结构允许的条件下，飞轮一般装在低速轴上；D．装飞轮是为了增加机械的重量，从而使机械运转均匀。
（10）一机器的能量指示图如图所示，最大盈亏功为。
A．70J；B．50J；C．120J；D．60J。
11-3 判断题（1）等效力矩是加在等效构件上的真实力矩，它等于加在机械系统各构件上诸力矩合力矩。
( )（2）在稳定运转状态下机构的周期性速度波动也可用调速器调节。
( )（3）机械系统的等效力矩等于该系统中所有力矩的代数和。
( )（4）在周期性速度波动的机器中，飞轮一般是安装在高速轴上；假如把飞轮安装在低速轴上，也能起到调速作用。
( )专业：学号：姓名：11-4 如图所示为一机床工作台的传动系统，设已知各齿轮的齿数，齿轮3的分度圆半径r3，各齿轮的转动惯量J1、J2、J2′、J3，因为齿轮1直接装在电动机轴上，故J1中包含了电动机转子的转动惯量，工作台和被加工零件的重量之和为G。
当取齿轮1为等效构件时，试求该机械系统的等效转动惯量J e。
解：想一想：①何谓等效构件？何谓等效力和等效力矩？何谓等效质量与等效转动惯量？②为什么要建立机器等效力学模型？建立时应遵循的原则是什么？建立机器等效力学模型的意义何在？③机构中各外力的合力是否等于等效力？机构中各活动构件的质量之和是否等于其等效质量？④当机器处于不同位置时，其等效力矩（或力）和等效转动惯量（或质量）一定相同吗？11-5 某蒸汽机—发电机组的等效力矩如图所示，等效阻力矩M r为常数，等于等效驱动力矩M d的平均值（7550N·m）。
机械系统动力学答案
5. 如何设计参数，使减振器效果最佳？
答：动力减振器视辅助质量与主质量联结方式不同分为：
ⅰ 有阻尼动力减振器（有弹性元件又有阻尼元件与主质量联结） ⅱ 无阻尼动力减振器（有弹性元件无阻尼元件与主质量联结） ⅲ 磨擦减振器（无弹性元件只有阻尼元件与主质量联结）
1）对无阻尼减振器（0ξ=）时：
()()22
1
222221st A u αλδλαλλα-=--- 当 ()21,0n A ωωαλ===即时只有减振器振动
（主系统实现减振）主系统共振危害大。
通常令21,1n n ωωα==即 以消除主系统的共振
2）对有阻尼动力减振器（0ξ≠）；
不同值ξ，不同幅频曲线，无论ξ为何值，所有曲线过P 和Q 点。
令该两点分别对应的频率 : 12;P Q λλ⇒⇒ 要使振幅最大值尽可能小。
减振器在整个频率范围内都有好的减振效果。
即：
111max st st st P Q A A A δδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
按这条件推导减振器最佳参数：22,,k u m αξ→→
a.
即1,st P Q A δ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12A u m ⇒−−
→−−→选定 b.由
11u α=
+ 得 22:k u m αα⇒⇒ c.由()23
3281P Q opt u
u ξξξ+==+ 得ξ
d.验算减振器弹性元件强度：由2A 验算减振器弹簧强度.
3) 对磨擦减振器
图中，无论阻尼比ξ为何值，各曲线都过Q 点（和P 点，0λ=处） 为使Q 点为最高点，求得最佳阻尼比：
opt
ξ=。
机械系统动力学习题2010.
⎨ ⎪⎩−KB1
+ (2K
−
2mω2
)B2
=
P0
得
解该方程组，
B1
=
(2K
−
KP0 mω2)(2K −
2mω2 )
−
K
2
B2
=
(2K
−
(2K − mω2 )P0 mω2)(2K − 2mω2) − K
2
所以，受迫响应为
x1
=
(2K
−
KP0 mω2)(2K −
2mω2 )
−
K
2
sinωt
及
x2
=
(2K
所以碰撞后的系统可视为低阻尼状态
•
碰撞初始位置： x0 = 0, x0 = v = 0
•
所以 A =
x0
+
x0
+ξwn x0 wd
=
x0 = 0.082 m wn 1 −ξ2
Td
2π ==
wd
wn
2π 1−ξ2
= 1.4
s
所以在相撞后的约 Td ≈0.35 s 达到最大振幅 Ae−ξwnt ≈0.07 m
整理，得
ωn4
−
1 M
[k
(M +
+ l
m)
g
]ωn
2
+
kg Ml
=0
解：取质量块的位移 x1 , x2 为广义坐标， 对 m1, m2 分别进行受力分析，根据牛顿定律，有
⎧ ••
⎪m1 x1 = K2 ( x2 − x1 ) − K1 x1
⎨
⎪ ⎩
m2
••
x2
=
第14章 机械系统动力学
G2 )M f G1
将Mf，Mf
’代入上式： ( J 2.6)
50 350 50 (1 ) J 20 30 450 30 14
J＝1.689kgm2
f M f 1.689 50π 1 0.035 G1r 3014 450 0.04
2.单缸四冲程发动机近似的等效输出转矩Md如图所示。主轴
以积分方式表示的机械系统运动方程式为：
1 1 2 2 d ( M M ) d J Me d r 0 0 Je 2 2 0 0
机械系统运动方程式的建立
等效构件为往复移动的回转件时，微分形式的机械系统运 动方程式为：
dv v 2 dm F e Fd Fr me dt 2 ds
ωmax发生在 处；
五、试题自测及答案（1 、2、3、4）
1. 一重力 G1=450N 的飞轮支承在轴径直径 d ＝ 80 mm 的轴承上，
在轴承中摩擦阻力矩作用下，飞轮转速在14s内从200 r/min
均匀地下降到 150 r/min。若在飞轮轴上再装上重力 G2=350N 的鼓轮，其对转动轴线的转动惯量 J2=2.6kgm2，此时在轴承 摩擦阻力矩作用下，飞轮连同鼓轮的转速在 20s 内从 200 r/min均匀下降到150 r/min，设轴承摩擦系数为常数，试求：
2 e1 1 2 3 4 3 2 2 2
bcl AB bcl AB p S 3l AB z1 J J J m J z2 pbl BC pbl BC pb
1 2 3 4 3
分c’d的方程为 M d 600 200
π
当Md=Mr， 即
机械动力学第二次大作业孟富强
动力学方程
J12 q1 J 22 q2 Q2
J11q1 J12q2 Q1
进行Adams建模，对模型进行仿真
04
小组成员
学号 S318070019
姓名 龚锐
任务 讨论选择何种结构，参与物理参数、动力学方程等的计算。
S318070034
刘易
讨论选择何种结构，参与物理参数、动力学方程等的计算。制作PPT并根据小组其他成员意见 修改PPT，并在制作过程中核对计算。 讨论选择何种结构，参与物理参数、动力学方程等的计算。进行Adams建模及运动学仿真。
02
建立模型
该机构自由度为2，其主要参数如下：
齿轮号 1 齿数 56 模数 2 分度圆锥角 45
2
2'
44
30
2
2
45
45
3
62
2
45
03
模型求解
q1
M1 ↓ J1 Z1
q2
0
1
J2+J2' M3 ↑
MH↓
2-2' Z3
H
J3
JH
0
1
由表格法得到如下数据
惯性系数
14 2 5 2 J11 J1 J 2 J 2 (8070039
孟富强 讨论选择何种结构，参与物理参数、动力学方程等的计算。画机构简图，进行计算并求出最 王路遥 后的动力学方程。 讨论选择何种结构，参与物理参数、动力学方程等的计算。解决计算过程遇到的问题，参与 徐文龙 仿真过程。
S318070060
S318070073
感谢聆听 批评指导
机械动力学第二次大作业
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01
(完整word版)西北工业大学机械系统动力学试题(含答案)(word文档良心出品)
考试科目： 机械系统动力学 课程编号：056022 开课学期： 2014-2015学年第二学期 考试时间：2015/07/08 说 明：所有答案必须写在答题册上,否则无效。
共6 页 第 1页1. 用加速度计测出某结构按频率82 Hz 简谐振动时的最大加速度为50g (2/980s cm g =). 求该振动的振幅及最大速度.解答: 已知振动频率 82f Hz =，最大加速度max 50a g =,振动角频率2164f ωππ==rad/s将简谐振动表述为正弦函数 sin()x A t ωϕ=+ ，则其速度为 cos()x A t ωωϕ=+ ，加速度为 2sin()x A t ωωϕ=-+振幅 m a x 22509.80.185(164)a A cm ωπ⨯=== 最大速度 max 1.8516495.1/v A cm s ωπ==⨯=2. 一个机器内某零件的振动规律为0.4sin 0.3cos x t t ωω=+，x 的单位是cm ，10/s ωπ=。
这个振动是否简谐振动? 求出它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
解答：频率相同的简谐振动合成的振动仍是简谐振动，显然该振动为简谐振动。
0.4sin 0.3cos sin()x t t A t ωωωϕ=+=+其中，振幅 0.5A == ，相角为 10.3370.4tg ϕ-==︒ 最大速度 max 0.5105v A ωππ==⨯=最大加速度 22max 0.5(10)500a A ωπ==⨯=振幅、最大速度和最大加速度之间的旋量关系可表示为图0 所示：图0 振幅、最大速度和最大加速度间的旋量关系表示3. 将图1所示的锯齿波展为富里叶级数, 并画出频谱图.考试科目： 机械系统动力学 课程编号：056022 开课学期： 2014-2015学年第二学期 考试时间：2015/07/08 说 明：所有答案必须写在答题册上,否则无效。
机械动力学——两自由度系统习题
解：
以 0 为零势能点
系统势能：U (m1 m2 )gl(1 cos)
系统动能： T
1 2
m1 2l 2
1 2
m2 (l 2 2
x 2
2xl
cos )
1 4
m2 x 2
U x
0
U
(m1 m2 )gl sin
T 0 x
T x
3 2
m2
x
m2l
cos
d dt
T x
3 2
m2x
m2l cos
解：
（1）系统水平方向运用动量定理： d[m1x m(x l cos )] 2kx dt
m1 mx ml cos ml sin2 2kx 0
对 m 进行受力分析，沿垂直于杆的方向：
ml m cosx mg sin ml 2 ml cosx mgl sin 0
因为自由微振动 cos 1 、 sin 、2 0 ，得微分方程组：
k
k
k k
12
0 0
K M 0
频率方程
自然频率：
1 I 22 2Ik k 2 0 2
12
1
2
(2
2
)k
I
(2 2)k
I
固有振型：
1211
1
2
,
1222
1
2
主振型图：
2 1
-3/11-
机械系统动力学作业 4
3. 如图所示，一质量为 m1 的水平台用两根长度为 l 的绳子悬挂起来，其上有一半 径为 r，质量为 m2 的圆柱体，沿水平台作无滑动滚动。试用 和 x 为广义坐标建立 系统的运动微分方程。
弹簧无初始应力，
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6
3）、工作辊有大质量差时
图 3-5 在上下工作辊有很大的质量和质量差下固有频率的变化趋势
图 3-6 在上下工作辊有很大的质量和质量差下上下工作辊的主振型差的变化趋势 以上两图是在 m3=30，m2 逐渐减小的情况下得到的，当上下工作辊有很大的质量并且有相对大的差 距时，这里只是对这种变化情况分析 f 和 dh 的变化趋势。由上图 3-5 和图 3-6 可知，在 f4 下，上下工作辊 振型有变化，但是还是维持在很大的高度情况；而在 f3 的情况下有较大的 dh 变化。
各阶振型的图形表示为：
第一阶
第二阶
第三阶
图 2-1 各阶主振型图示
4
第四阶
三、当各参数变化时的分析和优化 3.1 参数[k]和[m]变化对系统的影响
由（2.4）式可知影响固有频率 f 和各阶主振型的因素有[k]和[m]的变化引起，所以这只对这两种情况 进行 MATLAB 计算并画出图形来对比和分析各参数变化时对系统的影响。且影响轧件质量的只要是由上下 工作辊的上下振型差距（dh）决定的。
f2
f3
151.83
481.92
表 2-4 第二阶 -0.4947 -0.2159 0.4555 0.7079
各阶主振型 第三阶 -0.0763 0.7039 0.7019 -0.0778
f4 640.33
第四阶 0.0405 -0.7057 0.7062 -0.0410
可以看出在第四阶振型下上下工作辊的振型是朝方向相反的状态变化，所引起的轧件的质量最坏的， 是重点防止和研究的。
¶D
·
·
= c1 x1
¶ x1
d dt
(
¶E
·
¶ x1
)
-
¶E ¶x1
+
¶V ¶x1
+
¶D
·
¶ x1
=
P1
··
= m1 x1 + c1
·
x1 + (k1
+ k2 )x1
- k2x2
=0
1
（1.1） （1.2） （1.3） （1.4）
（1.5）
d dt
(
¶E
·
¶ x1
)
=
m2
··
x2
¶V ¶x1
=
k2 (x2
表 2-1 各个等效刚度值（10MN/mm）
k1
k2
k3
k4
k5
3.15
6.28
2.83
6.28
4.45
表 2-2 各个等效质量值（103kg）
m1
m2
m3
m4
73.5
7.6
7.6
73.5
3
经 MATLAB 计算得：
f1 106.84
第一阶 0.5731 0.5583 0.4579 0.3876
表 2-3 各阶固有频率（Hz）
一、建立运动和振动模型 1.1 模型的建立
在本次模型的建立时，是对四辊轧机建立的模型，其中将除轧辊以外的所有机架等视为刚体且与地面 固定，所以其没有振动，在本次运动与振动分析 中，是四轧辊四自由度的模型，其简化模型如下图 1.1 所 示：
图 1.1 四轧辊四自由度的简化模型
其中 m1——上支承辊质量， m2——上工作辊质量， m3——下工作辊质量， m4——下支撑辊质量； K1——上支承辊中部至上横梁中部的等效刚度， k2——上工作辊和上支承辊之间的弹性接触等效刚度， K3——上下工作辊以及带材之间在轧制力 P 作用下的等效刚度， K4——下工作辊和下支承辊之间的弹性接触等效刚度 K5——下支承辊中部至下横梁中部的等效刚度； P——轧制力。
1）、引起[k]矩阵变化的主要是 k3 的变化，这里就对仅有 k3 的变化而其他参数不变的情况下所引起的 变化做分析并作图，如下所示。
图 3-1 当 k3 变化时固有频率 Wn 的变化情况
图 3-2 当 k3 变化时上下工作辊的振型差 由上图 3-1 和图 3-2 可知，当 k3 逐渐变大时各阶固有频率都承上升趋势；在 f4 的固有频率状态下 dh
7
4）、工作辊有小质量差时
图 3-7 在上下工作辊有小质量和小质量差时固有频率变化情况
图 3-8 在上下工作辊有小质量和小质量差时上下工作辊主振型差变化情况 在实工作情况下由于磨损等消耗使得上下工作辊有了质量的差，在这样的情况下可以看到 f3 和 f4 先 变小又变大随后又变小，而 f1 和 f2 维持在很小的高度且变化很小。在 f4 的情况下 dh 有了明显变化，但 是不稳定而且已然在很大的高度，在 f2 和 f3 的情况下 dh 也引起了很大的变化，在 f1 的情况下 dh 在很小 的高度且变化不明显。
8
且维持在很小的高度，使轧件的质量获得最好。 在 k3 的变化图 3-2 可知当 k3 逐渐增大时除了在第四阶固有频率的主振型的 dh 维持在高范围内，在 f2
和 f3 以及 f1 的固有频率的主振型的 dh 都有下降的趋势，若工作在这样的范围位内，则可得到较好的轧件 质量。
而改变工作辊质量的方法只是由于磨损而来的。经计算，若改变上下支承辊质量，在 f4 的固有频率下 dh 依旧维持在很大的高度，又由于，支承辊的价格不菲，所以增大支撑辊的质量的方法也不可取。如图 3-9 和图 3-10。
5
变化很小，但是维持在很大的高度，这对轧件的影响是很坏的；在 f2 和 f1 的固有频率下 dh 承下降趋势， 这对轧件的影响的逐渐消弱；在 f3 的固有频率下 dh 变化很小且维持在很小的范围内，这对轧件很有利。
2)、上下工作辊质量同时变化时
图 3-3 上下工作辊质量同时变化时固有频率的变化趋势
··
·
[m]{x} + [c]{x} + [k]{x} = [P]
（2.1）
其中：[m]——质量矩阵，[c]——阻尼矩阵，[k]——刚度矩阵，[P]——外力矩阵；
·
··
{x}——位移向量，{x} ——速度向量，{x} ——加速度向量。
结合图 1 与影响系数法可知：
é m1
ù
ê [m] = ê
m2
ú ú
=
P
d dt
(
¶E
·
¶ x3
)
=
m3
··
x3
¶E = 0 ¶x3
¶V ¶x3
= k3 (x3
- x2 ) - k4 (x3
- x3 )
¶D
·
·
·
= c2 (x3 - x2 )
¶ x3
由（1.1）式，知：
d dt
(
¶E
·
¶ x3
)
-
¶E ¶x3
+ ¶V ¶x3
+
¶D
·
¶ x3
= P3
··
= m3 x3 - c2
ê ê ë
m3
ú
m4
ú û
ék1 + k2
ê
[k] = ê
- k2
ê0
ê ë
0
- k2 k2 + k3
- k3 0
0 - k3 k3 + k4 - k4
0ù
0
ú ú
k
-k 4+
4
k
5
ú ú û
éc1 0 0 0ù
[c ]
=
ê ê
0
c2
- c2 0úú
ê0
ê ë
0
- c2 0
c2 0
0ú 0úû
{P} = [0 P P 0]T
图 3-9 随支承辊的质量变化各阶固有频率的变化情况
图 3-10 随支承辊质量变化上下工作辊的主振型差变化情况 综上分析，可知，若要获得较好的轧件质量，可使 K3（上下工作辊以及带材之间在轧制力 P 作用下的 等效刚度）增大，且尽量不要工作在高的固有频率范围内。
9
·
¶ x4
=
P4
= m4
··
x4 - k4 x3
+ (k4
+ k5 )x4
=0
由（1.5）（1.6）（1.7）（1.8）可得：
ïìm1
··
x1 + c1
·
x1 + (k1
+ k2 )x1
- k2x2
=0
ï
ïïím2
··
x1 + c2
x2
- c2
·
x3 - k2 x1
+ (k2
+
k3 )x2
- k3 x3
3.2 分析系统受影响的因素及优化参数
进过以上分析可知为了使轧件的质量获得最好，应该避开第四阶固有频率的工作范围，因为在这个固 有频率内上下工作辊的振型差最大，无论参数如何变化其都维持在很大的高度，影响轧件的质量使之最坏， 而由上分析和图可知，若轧机工作在第一阶的固有频率的低阶频率内，则轧件上下工作辊的主振型差最小，
-
x1 ) - k3 (x3
-
x2 )
由（1.1）式，知：
¶E = 0 ¶x2
¶D
·
·
·
= -c2 (x3 - x2 )
¶ x2
d dt
(
¶E