机械系统动力学作业

{x} = [x1 x2 x3 x4 ]T
·
·
·
··
{x} = [x1 x2 x3 x 4 ]
··
·· ·· ·· ··
{x} = [x1 x2 x3 x4 ]T
2.2 求固有频率和主振型
··
当[c] = 0 和[P] = 0 时，可知（2.1）式化为：[m]{x} + [k]{x} = 0
（2.2）
6
3）、工作辊有大质量差时
图 3-5 在上下工作辊有很大的质量和质量差下固有频率的变化趋势
图 3-6 在上下工作辊有很大的质量和质量差下上下工作辊的主振型差的变化趋势 以上两图是在 m3=30，m2 逐渐减小的情况下得到的，当上下工作辊有很大的质量并且有相对大的差 距时，这里只是对这种变化情况分析 f 和 dh 的变化趋势。由上图 3-5 和图 3-6 可知，在 f4 下，上下工作辊 振型有变化，但是还是维持在很大的高度情况；而在 f3 的情况下有较大的 dh 变化。
图 3-9 随支承辊的质量变化各阶固有频率的变化情况
图 3-10 随支承辊质量变化上下工作辊的主振型差变化情况 综上分析，可知，若要获得较好的轧件质量，可使 K3（上下工作辊以及带材之间在轧制力 P 作用下的 等效刚度）增大，且尽量不要工作在高的固有频率范围内。
9
3.2 分析系统受影响的因素及优化参数
进过以上分析可知为了使轧件的质量获得最好，应该避开第四阶固有频率的工作范围，因为在这个固 有频率内上下工作辊的振型差最大，无论参数如何变化其都维持在很大的高度，影响轧件的质量使之最坏， 而由上分析和图可知，若轧机工作在第一阶的固有频率的低阶频率内，则轧件上下工作辊的主振型差最小，
各阶振型的图形表示为：
第一阶
第二阶
第三阶
图 2-1 各阶主振型图示
4
第四阶
三、当各参数变化时的分析和优化 3.1 参数[k]和[m]变化对系统的影响
由（2.4）式可知影响固有频率 f 和各阶主振型的因素有[k]和[m]的变化引起，所以这只对这两种情况 进行 MATLAB 计算并画出图形来对比和分析各参数变化时对系统的影响。且影响轧件质量的只要是由上下 工作辊的上下振型差距（dh）决定的。
+ k3 (x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
x2 )2
+ k4 (x4
- x3 )2
+ k5 x42 ]
D
=
1 2
[c1
·
x12 +
·
c2 (x3
-
·
x2 )2 ]
将以上 3 式子代入（1.1）式，可得：
d dt
¶E (· ¶ x1
)
=
m1
··
x1
¶E = 0 ¶x1
¶V ¶x1
=
k1 x1
- k2 (x2
-
x1 )
由（1.1）式，知：
f2
f3
151.83
481.92
表 2-4 第二阶 -0.4947 -0.2159 0.4555 0.7079
各阶主振型 第三阶 -0.0763 0.7039 0.7019 -0.0778
f4 640.33
第四阶 0.0405 -0.7057 0.7062 -0.0410
可以看出在第四阶振型下上下工作辊的振型是朝方向相反的状态变化，所引起的轧件的质量最坏的， 是重点防止和研究的。
图 3-4 上下工作辊质量同时变化时上下主振型差的变化趋势 由图 3-3 和图 3-4 可知，当上下工作辊质量同时变化时 f4 和 f3 同时承下降趋势，而 f1 和 f2 则表现很 平缓且保持在很小的高度。、随上下工作辊质量同时变化在各阶固有频率下上下工作辊的主振型差都保持 了很平缓的变化，但是，在 f4 的情况下 dh 还是在很大的高度上，而在 f3 的情况下 dh 在很小的高度，这 是我们想要的情况。
=
P
d dt
(
¶E
·
¶ x3
)
=
m3
··
x3
¶E = 0 ¶x3
¶V ¶x3
= k3 (x3
- x2 ) - k4 (x3
- x3 )
¶D
·
·
·
= c2 (x3 - x2 )
¶ x3
由（1.1）式，知：
d dt
(
¶E
·
¶ x3
)
-
¶E ¶x3
+ ¶V ¶x3
+
¶D
·
¶ x3
= P3
··
= m3 x3 - c2
··
·
[m]{x} + [c]{x} + [k]{x} = [P]
（2.1）
其中：[m]——质量矩阵，[c]——阻尼矩阵，[k]——刚度矩阵，[P]——外力矩阵；
·
··
{x}——位移向量，{x} ——速度向量，{x} ——加速度向量。
结合图 1 与影响系数法可知：
é m1
ù
ê [m] = ê
m2
ú ú
·
¶ x4
=
P4
= m4
··
x4 - k4 x3
+ (k4
+ k5 )x4
=0
由（1.5）（1.6）（1.7）（1.8）可得：
ïìm1
··
x1 + c1
·
x1 + (k1
+ k2 )x1
- k2x2
=0
ï
ïïím2
··
x1 + c2
x2
- c2
·
x3 - k2 x1
+ (k2
+
k3 )x2
- k3 x3
1.2 拉格朗日法求运动
拉格朗日方程为：
d dt
(
¶E
·
¶ xi
)
-
¶E ¶xi
+ ¶V ¶xi
+
¶D
·
¶ xi
= Pi
其中，E——系统动能，V——系统势能，D——系统耗散能。
在本系统中：
E
=
1 2
(m1
·
x12
+
m2
·
x22
+
m3
·
x32 +
m4
·
x42
)
V
=
1 2
[k1
x12
+ k2 (x2
- x1 ) 2
5
变化很小，但是维持在很大的高度，这对轧件的影响是很坏的；在 f2 和 f1 的固有频率下 dh 承下降趋势， 这对轧件的影响的逐渐消弱；在 f3 的固有频率下 dh 变化很小且维持在很小的范围内，这对轧件很有利。
2)、上下工作辊质量同时变化时
图 3-3 上下工作辊质量同时变化时固有频率的变化趋势
8
且维持在很小的高度，使轧件的质量获得最好。 在 k3 的变化图 3-2 可知当 k3 逐渐增大时除了在第四阶固有频率的主振型的 dh 维持在高范围内，在 f2
和 f3 以及 f1 的固有频率的主振型的 dh 都有下降的趋势，若工作在这样的范围位内，则可得到较好的轧件 质量。
而改变工作辊质量的方法只是由于磨损而来的。经计算，若改变上下支承辊质量，在 f4 的固有频率下 dh 依旧维持在很大的高度，又由于，支承辊的价格不菲，所以增大支撑辊的质量的方法也不可取。如图 3-9 和图 3-10。
1）、引起[k]矩阵变化的主要是 k3 的变化，这里就对仅有 k3 的变化而其他参数不变的情况下所引起的 变化做分析并作图，如下所示。
图 3-1 当 k3 变化时固有频率 Wn 的变化情况
图 3-2 当 k3 变化时上下工作辊的振型差 由上图 3-1 和图 3-2 可知，当 k3 逐渐变大时各阶固有频率都承上升趋势；在 f4 的固有频率状态下 dh
ê ê ë
m3
ú
m4
ú û
ék1 + k2
ê
[k] = ê
- k2
ê0
ê ë
0
- k2 k2 + k3
- k3 0
0 - k3 k3 + k4 - k4
0ù
0
ú ú
k
-k 4+
4
k
5
ú ú û
éc1 0 0 0ù
[c ]
=
ê ê
0
c2
- c2 0úú
ê0
ê ë
0
- c2 0
c2 0
0ú 0úû
{P} = [0 P P 0]T
7
4）、工作辊有小质量差时
图 3-7 在上下工作辊有小质量和小质量差时固有频率变化情况
图 3-8 在上下工作辊有小质量和小质量差时上下工作辊主振型差变化情况 在实工作情况下由于磨损等消耗使得上下工作辊有了质量的差，在这样的情况下可以看到 f3 和 f4 先 变小又变大随后又变小，而 f1 和 f2 维持在很小的高度且变化很小。在 f4 的情况下 dh 有了明显变化，但 是不稳定而且已然在很大的高度，在 f2 和 f3 的情况下 dh 也引起了很大的变化，在 f1 的情况下 dh 在很小 的高度且变化不明显。
-
x1 ) - k3 (x3
-
x2 )
由（1.1）式，知：
¶E = 0 ¶x2
¶D
·
·
·
= -c2 (x3 - x2 )
¶ x2
d dt
(
¶E
·
¶ x2
)
-
¶E ¶x2
+ ¶V ¶x2
+
¶D
·
¶ x2
=
P2
··
= m2 x1 + c2
x2
- c2
·
x3 - k2 x1 + (k2
+ k3 )x2
- k3x3
¶D
·
·
= c1 x1
¶ x1
d dt
(
¶E
·
¶ x1
)
-
¶E ¶x1
+
¶V ¶x1
+
¶D
·
¶ x1
=
P1
··
= m1 x1 + c1
·
x1 + (k1
+ k2 )x1
- k2x2
=0
1
（1.1） （1.2） （1.3） （1.4）
（1.5）
d dt
(
¶E
·
¶ x1
)
=
m2
··
x2
¶V ¶x1
=
k2 (x2
·
x2 + c2
·
x3 - k3 x2
+ (k3 + k4 )x3
- k4x4
=P
d dt
¶E (· ¶ x4
)
=
m4
··
x4
¶E = 0 ¶x4
¶V ¶x3
= k4 (x4
- x3 ) + k5 x4
¶D
·
=0
¶ x4
由（1.1）式，知：
d dt
(
¶E
·
¶ x4
)
-
¶E ¶x4
+ ¶V ¶x4
+
¶D
表 2-1 各个等效刚度值（10MN/mm）
k1
k2
k3
k4
k5
3.15
6.28
2.83
6.28
4.45
表 2-2 各个等效质量值（103kg）
m1
m2
m3
m4
73.5
7.6
7.6
73.5
3
经 MATLAB 计算得：
f1 106.84
第一阶 0.5731 0.5583 0.4579 0.3876
表 2-3 各阶固有频率（Hz）
=
P
ïïm3
··
x3 - c2
·
x2 + c2
·
x3 - k3 x2
+ (k3
+ k4 )x3
- k4 x4
=
P
ï ·· ïîm4 x4 - k4 x3 + (k4 + k5 )x4 = 0
（1.6） （1.7） （1.8） （1.9）
2
二、系统的振动分析
2.1 影响系数法求系数矩阵
当系统是多自由度的振动时，可以由以下矩阵方程求解：
一、建立运动和振动模型 1.1 模型的建立
在本次模型的建立时，是对四辊轧机建立的模型，其中将除轧辊以外的所有机架等视为刚体且与地面 固定，所以其没有振动，在本次运动与振动分析 中，是四轧辊四自由度的模型，其简化模型如下图 1.1 所 示：
图 1.1 四轧辊四自由度的简化模型
其中 m1——上支承辊质量， m2——上工作辊质量， m3——下工作辊质量， m4——下支撑辊质量； K1——上支承辊中部至上横梁中部的等效刚度， k2——上工作辊和上支承辊之间的弹性接触等效刚度， K3——上下工作辊以及带材之间在轧制力 P 作用下的等效刚度， K4——下工作辊和下支承辊之间的弹性接触等效刚度 K5——下支承辊中部至下横梁中部的等效刚度； P——轧制力。
此时{x} 的解为：{x} = {A}eiwnt
（2.3）
( ) 若求（2.3）式，则须求{A}与
wn，可先求：
[k
]
-
w
2 n
[m]
{A}
=
0
（2.4）
即求（2.4）的关于{A}的特征值与特征向量，这里用 MATLAB 软件求其特征值 Wn 与特征向量{A}。
其中各个参数如表 2-1 和表 2-2 所述。