3.1.3空间向量的数量积运算(不错)
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标5
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
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=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
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(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2
3.1.3空间向量的数量积运算 课件
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
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小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案
3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ， 则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。
高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
3.1.3 空间向量的数量积运算(共68张ppt)资料
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
3.1.3空间向量的数量积运算
C D b b a D'
由DBD 30 知 CA , BD 120.
P
O
A
a
l
a PO 0 , a OA 0 a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 a PA, 即l PA .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3. 空间向量数量积的性质
2
2
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
ab ③ cos a , b (求角度). ab
D' C' A' B'
D
4 3 5 2(0 10 7.5) 85
2 2 2
C
A
B
AC 85
练习 2 【例 3 】如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中，
解析：易知AB C1C , BB1 CB, )60 (A (B )90 AB, CB 120, BB1 , C1C 180 | AB | 2 | BB1 | AB1 C1B ( AB BB1 ) (C1C CB) AB C1C AB CB BB1 C1C BB1 CB
课件9：3.1.3 空间向量的数量积运算
课堂小结
1．正确分清楚空间向量的夹角。
2．两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。
而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0
而l·m＝0 ，l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
对于非零向量 ，有：
5)空间向量的数量积满足的运算律
注意：
数量积不满足结合律
二、 课堂练习
全错
A
D
F
C
B
E
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。
n
m
g
g
m
n
l
l
要证l与g垂直，只需证l·g＝0
3.1.3 空间向量的数量积运算
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
O
A
B
同起点是关键
2）两个向量的数量积
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
A1
B1
B
A
E
4)空间向量的数量积性质
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
解：由 ，可知 . 由 知 .
例4 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。
学案6：3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点) 基础·初探教材整理1 空间向量的夹角 阅读教材，完成下列问题. 1.夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 2.夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量________，记作________. 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点.( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( )(3)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( ) 教材整理2 空间向量的数量积及其性质 阅读教材，完成下列问题.1.已知两个非零向量a ，b ，则________叫做a ，b 的数量积，记作________.规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a ＝________.2.空间向量数量积满足下列运算律： (1)(λa )·b ＝λ(a·b )； (2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a ·(b ＋c )＝________. 3.空间向量数量积的性质：两个向量数量积的性质若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔若a 与b 同向，则a·b ＝|a |·|b |； 若反向，则a·b ＝ . 特别地：a·a ＝|a |2或|a |＝a·a .若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝ |a·b |≤|a |·|b |预习自测下列式子中正确的是( ) A.|a |a ＝a 2 B.(a ·b )2＝a 2b 2 C.a (a ·b )＝b ·a 2 D.|a ·b |≤|a ||b |合作探究类型1 空间向量数量积的运算例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)AB →·CD →. 名师指导在几何体中求空间向量的数量积的步骤1.首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2.利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3.根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4.代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解. 跟踪训练1.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.类型2 利用数量积证明空间的垂直关系例2 已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC . 名师指导用向量法证明垂直关系的步骤 1.把几何问题转化为向量问题. 2.用已知向量表示所证向量.,3.结合数量积公式和运算律证明数量积为0.4.将向量问题回归到几何问题. 跟踪训练2.如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，CD ′与DC ′相交于点O ，连接AO ，求证：(1)AO ⊥CD ′； (2)AC ′⊥平面B ′CD ′.类型3 利用数量积求夹角例3 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC →1与AC →夹角的大小.名师指导1.由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系.当〈a ，b 〉∈ ⎝⎛⎦⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈ ⎝⎛⎦⎤π2，π时，它们互补. 2.利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤： (1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos 〈a ，b 〉； (3)定结果cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. 跟踪训练3.如图，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.探究共研型探究点 利用数量积求距离探究1 已知A (1,2,1)，B (2,0,2)，求|AB →|的值.探究2求两点间距离或线的长度的方法.例4平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB 与CD成60°角，求点B，D间的距离.名师指导1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算.2.用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离.跟踪训练4.如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.课堂检测1.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝k e1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A.－6B.6C.3D.－32.在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22C.－12D.0 3.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.4.如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长.参考答案基础·初探教材整理1 空间向量的夹角 2.【答案】 π 垂直 a ⊥b 预习自测【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质 阅读教材，完成下列问题.1.【答案】 |a||b|cos 〈a ，b 〉 a·b 0 02. (3)【答案】 a ·b ＋a ·c3. a·b ＝0 －|a |·|b | a·b|a ||b |预习自测 【答案】 D【解析】 根据数量积的定义知，A ，B ，C 均不正确.故选D. 合作探究类型1 空间向量数量积的运算 例1 解：(1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 跟踪训练 1.【答案】 14a 2【解析】 AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →·12AD → ＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2. 类型2 利用数量积证明空间的垂直关系例2 解：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC . 跟踪训练2.证明：(1)因为AO →＝AD →＋DO →＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)，因为CD ′→＝DD ′→－DC →，所以AO →·CD ′→＝12(DD ′→＋DC →＋2AD →)·(DD ′→－DC →)＝12(DD ′→·DD ′→－DD ′→·DC →＋DC →·DD ′→－DC →·DC →＋2AD →·DD ′→－2AD →·DC →)＝12(|DD ′→|2－|DC →|2)＝0，所以AO →⊥CD ′→，故AO ⊥CD ′.(2)因为AC ′→·B ′C →＝(AB →＋BC →＋CC ′→)·(B ′B →＋BC →)＝AB →·B ′B →＋AB →·BC →＋BC →·B ′B →＋BC →·BC →＋CC ′→·B ′B →＋CC ′→·BC →， 可知AB →·B ′B →＝0，AB →·BC →＝0， BC →·B ′B →＝0，BC →·BC →＝|BC →|2， CC ′→·B ′B →＝－|CC ′→|2，CC ′→·BC →＝0， 所以AC ′→·B ′C →＝|BC →|2－|CC ′→|2＝0， 所以AC ′→⊥B ′C →，所以AC ′⊥B ′C . 同理可证，AC ′⊥B ′D ′.又B ′C ，B ′D ′⊂平面B ′CD ′，B ′C ∩B ′D ′＝B ′，所以AC ′⊥平面B ′CD ′. 类型3 利用数量积求夹角例3 解：不妨设正方体的棱长为1， BC →1·AC →＝(BC →＋CC →1)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA →1)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA →1·AB →＋AA →1·AD → ＝0＋AD →2＋0＋0＝AD →2＝1， 又∵|BC →1|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC →1·AC →|BC →1||AC →|＝12×2＝12.∵0°≤〈BC →1，AC →〉≤180°， ∴〈BC →1，AC →〉＝60°. ∴BC →1与AC →夹角的大小为60 °. 跟踪训练3.(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解：∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 探究共研型探究点 利用数量积求距离探究1 【提示】 AB →＝(1，－2,1)， ∴|AB →|＝12＋(－2)2＋12＝ 6.探究2 【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |2＝a ·a 求解即可. 例4 解：由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0， 且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos 〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5， 解得|BD →|＝13或5， 即B ，D 间的距离为13或 5. 跟踪训练4. 解：EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝⎛⎭⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝⎛⎭⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2. ∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2. 课堂检测 1.【答案】 B【解析】 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6. 2.【答案】 D【解析】 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||O B →|＝0，∴OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 3.【答案】 0【解析】 原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →)＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.4.解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5， ∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53， 即MN ＝53.。
空间向量的数量积运算 精品
§3.1.3空间向量的数量积运算 公开课教案调兵山市第二高中 王雅男课题：3.1.3空间向量的数量积运算 (人教版普通高中课程标准实验教科书)选修2-1 教学目标: 知识目标：① 掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式； ② 运用公式解决立体几何中的有关问题。
能力目标：① 比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；② 探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
情感目标：① 通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；② 通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
教学重点：空间向量数量积公式及其应用。
教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。
教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式； 学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。
课型：新授课教具：多媒体投影仪授课时间：2007.12.12（周三）上午第二节 授课地点：高二（10）班 授课教师：林益强 授课过程：1.复习引入(1)”数量积”概念提出的背景:如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ,那么力F 所作的功||||cos W F S F S θ=⋅=,为了在数学中体现”功”的这样一个标量,我们引入了”数量积”的概念.(2)平面向量的数量积定义:我们把 ||||cos a b θ 叫做向量a b 与的数量积(或内积,点积)记作a b ⋅ ,其中,0a b θθπ≤≤是和的夹角范围是注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.02πθ≤<时,0a b ⋅> ,2πθπ<≤时,0a b ⋅< , 2πθ=时, 0a b ⋅= :00a ⋅= 规定(3)平面向量的数量积的几何意义:cos .a b a a b a b θ⋅数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(4)平面向量的数量积的主要性质:设,a b是两个非零向量①0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,a ba b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时2,a a a a ⋅== 特别地或用于计算向量的模③cos a ba bθ⋅=⋅ 用于计算向量的夹角2.平面向量数量积满足的运算律①交换律:a b b a ⋅=⋅ ②对数乘的结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③分配律:()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅OABaabb注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅问题:如图,线段,AB BD 在平面α内,,,,BD AB AC AB a BD b α⊥⊥==求,C D 之间的距离以及异面直线CD 与AB 所成的角θ的余弦值.这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度.3.两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,a b,总可以在空间中任取一点O ,,,OA a OB b == 使从而可知AOB a b ∠ 角为向量与的夹角，,a b 〈〉 记作：0,a b π≤〈〉≤范围：,,a b b a 〈〉〈〉＝, ,,2a b a b a b π〈〉=⊥ 特别的:时则称与互相垂直，并记作：注意:,,,OA OB OA OB OA OB π<->=<->=-<>而cos ,,,cos ,a b a b a b a b a b a b a b 〈〉⋅⋅=〈〉叫做空间两向量的数量积，记作：即空间向量的数量积的几何意义:cos ,.a b a a b a b a b ⋅〈〉数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积空间向量的数量积的主要性质:设,a b是两个非零向量①0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,a ba b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时 2,a a a a ⋅== 特别地或用于计算向量的模③cos ,a ba b a b⋅〈〉=⋅用于计算向量的夹角空间向量数量积满足的运算律①交换律:a b b a ⋅=⋅ ②对数乘的结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③分配律:()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅回到开头的问题上来如图,线段,AB BD 在平面α内,,,,,BD AB AC AB a BD b α⊥⊥==求,C D 之间的距离以及异面直线CD 与AB 所成的角θ的余弦值. 解:因为AC α⊥,所以,AC BD AC AB ⊥⊥,又知BD AB ⊥,所以αlAO P0,0,0A CB D AC A B A B BD ⋅=⋅=⋅= , 2||()()CD CD CD CA AB BD CA AB BD =⋅=++⋅++ 222||||||CA AB BD =++ 222a b c =++,所以||CD =2cos ||||CD AB CD AB θ⋅====4.空间向量数量积在立体几何中的应用:例1:如图:,PO PA 分别是平面α的垂线、斜线,AO 是PA 在平面α内的射影,,l l OA α⊂⊥,求证:l PA ⊥.证明:取直线l 的方向向量a ,同时取向量PO ,OA ,因为l OA ⊥,所以0OA a ⋅=因为PO α⊥,且l α⊂,所以l PO ⊥,因此0PO a ⋅=,又因为()a PA a PO OA a PO a OA ⋅=+=⋅+⋅=0,所以l PA ⊥.例2:如图:,m n 是平面α内的两条相交直线,如果,l m l n ⊥⊥,求证:l α⊥. 证明:在α内任作一直线g ,分别在,,,l m n g 因为m 与n 相交,所以向量,m n →→不平行.条件知,存在唯一的有序实数对(,)x y ,使g x m y n →→→=+,将上式两边与向量l →作数量积,得l g x l m y l n →→→→→→⋅=+,由,l m l n ⊥⊥知0,0l m l n →→→→⋅=⋅=所以0l g →→⋅=.从而l g →→⊥,即l g ⊥,由g 的任意性知, l α⊥.思考题1: 若将例1命题改为: ,PO PA 分别是平面α的垂线、斜线,AO 是PA 在平面α内的射影,,l l PA α⊂⊥,求证:l OA ⊥.你能用向量方法证明吗?思考题2: ,,,,AB AC BD AB αα⊥⊥已知线段在平面内线段线段0','30,DD DBD AB a α⊥∠==线段如果,.AC BD b C D ==求、之间的距离5.小结:1.空间向量的数量积运算公式,以及相关的主要性质和运算律.2.利用空间向量的数量积知识,证明了立体几何中的两个定理(即:三垂线定理及线面垂直的判定定理),解决了立体几何中关于长度与夹角的求解问题,了解了立体几何问题代数化的基本思考方法. 6.布置作业:《高中教学与测试 数学》活页本P181 23.空间向量的数量积(1)。
313空间向量的数量积运算27914
复习巩固
B、4、C,对若O空uuPur间=任xO一uuAur点+Oy和OuuBu不r +共zO线uuC三ru，点则A点、 P在平面ABC内的充要条件是：
x＋y＋z＝1
3.1.3 空间向量的数量积运算
回顾平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a, b , 则 a b cos?
叫做 a, b 的数量积，记作 a ?b , 即
? OA OC ? OA OB
A
C
?| OA | ?| OC | cos? ? | OA | ?| OB | cos?
?| OA | ?| OB | cos? ? | OA | ?| OB | cos?
B
?0
? OA ? BC
探求新知
对于空间两个非零向量 a，b，〈a，b〉 与〈b，a〉，〈a，b〉与 〈－a，b〉 的大小关系如何？
? AB MA ? AB AD ? AB DN
D
? ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 0
244
N C
? MN ? AB 同理，MN ? CD
3.已知空间四边形OABC , OB ? OC , ? AOB ? ? AOC ? ?
，求证：OA ? BC。
O
证明：∵
OA BC ? OA (OC ? OB )
O
证明：由已知 OA ? B C ，OB ? AC
所以 OA ?BC ? 0 , OB ?AC ? 0
OA ?(OC ? OB ) ? 0
A
C
B
OB ?(OC ? OA ) ? 0 所以 OA ?OC ? OA ?OB
OB ?OC ? OB ?OA
所以 OA ?OC ? OB ?OC ? 0
§3.1.3空间向量的数量积运算
§3.1.3空间向量的数量积运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1、掌握空间向量的数量积概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律。
2、能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直。
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理） 1、空间向量的夹角（1）文字叙述：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作==,则______叫做向量,a b 的夹角，记作______ ①范围:______________.,a b 〈〉 =0时,a b与________;,a b 〈〉 =π时,a b与_________.②,,a b b a 〈〉〈〉＝，那么_________.（2 ）如果2,π=〉〈b a ,则称a 与b _______,记作：___________；2、两个向量的数量积(1)定义：已知空间两个非零向量、a b,则______叫做、a b的数量积。
(2)记法：a b ∙. 即__________a b ∙= .3、空间两个向量的数量积性质（1）a e ⋅=____________（2）______a b ⊥⇔（3）2a a a =⋅4、空间向量的数量积满足的运算律思考1.⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？思考2.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a , b , c ,由∙=∙a b a c 能得到=b c 吗？如果不能，请举出反例.思考3.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则c a =b .(或cb =a )对于向量 a ,b ,若∙= a b k 能否写成= k a b ( 或=k b a )？也就是说向量有除法吗？思考 4.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc)对于向量 a , b , c ,()()=a b c a b c成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a b b a ⋅=⋅(交换律) ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)【突破·核心知识】典型例题（合作.探究.展示） 题型一：空间向量的数量积的基本运算 例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求下列数量积： （1）_________11=∙C B （2）_________1=∙BA （3）_________11=∙B A （4）_________1=∙BC【典例训练】判断真假:1)若0,a b ⋅= 则0,0a b ==( )222222)()()()3)()()4)()a b c a b c p q p q p q p q p q ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅-=- 题型二：利用向量的数量积证明垂直问题例 2. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【典例训练】在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？例3．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．（写出已知求证）题型三：利用数量积求距离（即线段长度）例4、如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值【归纳∙知识方法】【知识梳理】lm nm ng gl【随堂∙自我测评】1、下列式子中，正确的是（）A、2B、222)(∙=∙C、)()(∙∙=∙∙ D2、已知向量,,两两夹角都是060，其模都是1，+-（）A、5B、5C、6D、63、空间四边形OABC中，OB=OC,,3π=∠=∠AOCAOB则=〉〈BCOA,cosA、21B、22C、21- D、04、在正三棱柱111CBAABC-中，若,21BBAB=则BCAB11与所成角的大小为（）A、060 B、090 C、0105 D、0755、已知,1=++，则_________=∙+∙+∙6、在平行六面体1111DCBAABCD-中，,90,5,3,401=∠===BADAAADAB1160=∠=∠DAABAA,求1AC的长。
3.1.3空间向量的数量积运算
在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC． 中 在四面体 ⊥ ， ⊥ ，求证： ⊥ ．
3.1.3空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
3.1.3 空间向量的数量积运算
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第三章
空间向量与立体几何
想一想 1.〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉相等 吗？
提示：相等；不相等．
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第三章
空间向量与立体几何
2．空间向量的数量积 (1)定义：
|a||b|cos〈a，b〉 已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的 数量积，记作a· b. |a||b|cos〈a，b〉 即a· b＝_________________．
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空间向量与立体几何
→ → 又∵|BC1 |＝ 2，|AC|＝ 2， → → BC1 · AC 1 1 → → ∴cos〈BC1 ，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2× 2 2 |BC1||AC| → → ∵〈BC1 ，AC〉∈[0° ，180° ]， → → ∴〈BC1 ，AC〉＝60° . → → ∴BC1 与AC夹角的大小为 60° .
答案：1
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ __________． 2 2 ，a· b＝－ ，则 a 与 b 的夹角为 2 2
答案：135°
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空间向量与立体几何
典题例证技法归纳题型探究来自题型一 空间向量数量积的运算 例1 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2， AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点． 求下列向量的数量积． → → (1)BC· 1； ED → → (2)BF· 1 . AB
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空间向量与立体几何
→ 1 (2)由(1)知MN＝ (q＋r－p)， 2 → 2 1 ∴|MN| ＝ (q＋r－p)2 4 1 ＝ [q2＋r2＋p2＋2(q· r－p· q－r· p)] 4 a2 a2 a2 1 2 ＝ [a ＋a2＋a2＋2 2 － 2 － 2 ] 4 1 a2 ＝ ×2a2＝ . 4 2 2 2 → ∴|MN|＝ a，∴MN 的长为 a. 2 2
原创2：3.1.3 空间向量的数量积运算
〈a，b〉
[0，π]
已知两非零向量a、b，在空间中
任取一点O，作OA＝a，OB＝b，
则 ∠AOB 叫做向量a，b的夹角
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b
2
互相垂直 ，记作 a⊥b
.
走进教材
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉
义 叫做a，b的数量积，记作a·b.
B．5
C．6
D. 6
自主练习
2．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，
则cos〈OA，BC〉的值为( D )
1
A.
2
2
2
B.
1
C．－
2
D．0
自主练习
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，
1 2
a
2
点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF等于________．
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.3 空间向量的数量积
高中数学选修2-1·精品课件
学习目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积
概念、性质和计算方法及运算规律．
2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中
一些简单的问题.
走进教材
1．空间向量的夹角
定义
图示
记法
范围
1
= Ԧ
4
+ + Ԧ
1 = + + 1
D1
A1
+ + )·
Ԧ
(−Ԧ +
2
3
+ )
(完整版)空间向量的数量积运算
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第三章 空间向量与立体几何
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4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
答案： A
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2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
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解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
工具
第三章 空间向量与立体几何
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注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ，有：
1) a e a cos a, e 2) a b a b 0 3) a a a
2
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据；
应用
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决.
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因 此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以 通过求向量的模得到.
g xm yn , l g xl m yl n , l l m 0, l m 0 , m g l l g 0, 即l g. m
典型例题
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
PA 已知:如图, PO 、 分别是平面 的垂线、 斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ， 求证： l PA
分析：用向量来证明 两直线垂直，只需证 明两直线的方向向量 的数量积为零即可！
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
O
A
a
l
变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0
(C )
A' D'
A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 B AB 2.已知在平行六面体 ABCD ABC D 中， 4 ,
,
C'
A
C
B'
D
C
A
B
小 结：
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中 的以下问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
n
l g, 即l 垂直于平面内任一直线. . l
g n
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC ，线段 BD AB ，线段 DD ，DBD 30 ，如 果 AB a , AC BD b ，求 C 、D 之间的距离。 解：由 AC ，可知 AC AB .
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA l 求证： PA 证明：在直线l上取向量 a ,只要证 a PA 0
P
O
A
a
l
逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
P
O
A
a
l
a PO 0 , a OA 0 a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 a PA, 即l PA .
3.1.3空间向量的数量积运算
复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O， 作OA= a,OB= b,则 AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B
B
A
O
A
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
C D b b a D'
由DBD 30 知 CA , BD 120.
2 2 | CD | CD CD (CA AB BD ) 2 2 2 | CA | | AB | | BD | 2CA AB 2CA BD 2 AB BD b 2 a 2 b 2 2b 2 cos120 a 2 b2
思考
1.下列命题成立吗? ①若 a b a c ,则b c k ②若 a b k ,则 a b
③ (a b) c a (b c)
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
作业
P98 A组 3 4 5
B组 1 2
叫做向量a, b的数量积，记作 a b
即
并规定
a b | a || b | cos
a0 0
你能类比平面向量的数量积的有关概 念、计算方法和运算律推导出空间向 量的数量积的有关概念、计算方法和 运算律
概念 1） 两个向量的夹
B
b
b
范围： a, b 在这个规定下，两个向 0 量的夹角就
A
B
CD a2 b2
课堂练习
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 若AB= 2BB1,则AB1与C1B所成角 的大小为( B )
A1 B1
C1
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
求对角线 AC 的长。
| AC | 85
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： b a
2）两个向量的数量积
设OA a, 则有向线段OA 的长度叫做向量 的长度或模, 记作： a a 已知空间两个向量 , b，则 a b cos a, b叫做向量a, b的数量积， a 记作： b,即 a a b a b cos a, b
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) ( a) b (a b) 2) a b b a (交换律） 3） (b c) a b a c (分配律） a
注意： 数量积不满足结合律
（a b) c a (b c)
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 成立吗？ PA 已知:如图, PO 、 分别是平面 的垂线、 斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l PA ， 求证： l OA P
g l
m
例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ . 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 l , m , n, g 上取非零向量 l , m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ( x, y ) ,使
B.直角三角形
则△BCD是
A.钝角三角形
C.锐角三角形 D.不确定
例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 m g 知,就是要证明这条直线与平面内 n m 的任意一条直线都垂直. 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理