人教A版高中数学必修五课件数列
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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件
10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数， 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列， 设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知 代入公式 得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
高中数学第二章第1节《数列的概念》课件新人教A版必修5
3.写出下列数列的一个通项公式. （1）2，4 ，6 ，8 ，...
3 15 35 63 (2) 1, 3， 5，7 ， 9 ，...
2 4 8 16 (3)9，99，999，9999，...
(4) 3， 3， 1， 52， 1 33， ...
（5）0，1，0，1，0，1，…
本节课学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式；
２.项数无限的数列叫做无穷数列。
1 , 例如，数列
1 , 1,1 ,1 , 2 345
思考：
思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10； 数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：数列中的数是否可以重复？ 如：数列－1，1，－1，1，···。
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
本节课的能力要求是： 会用观察法由数列的前几项求数 列的通项公式
P38 1,3,5
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，，有ຫໍສະໝຸດ 选的择孩在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项
可统一写成
an
a(10n 9
1)
;
4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归
纳为一公式: ab( 1 )n `1(ab )
3 15 35 63 (2) 1, 3， 5，7 ， 9 ，...
2 4 8 16 (3)9，99，999，9999，...
(4) 3， 3， 1， 52， 1 33， ...
（5）0，1，0，1，0，1，…
本节课学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式；
２.项数无限的数列叫做无穷数列。
1 , 例如，数列
1 , 1,1 ,1 , 2 345
思考：
思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10； 数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：数列中的数是否可以重复？ 如：数列－1，1，－1，1，···。
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
本节课的能力要求是： 会用观察法由数列的前几项求数 列的通项公式
P38 1,3,5
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，，有ຫໍສະໝຸດ 选的择孩在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项
可统一写成
an
a(10n 9
1)
;
4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归
纳为一公式: ab( 1 )n `1(ab )
新课标人教A版数学必修5全部课件：数列通项的求法
a n
例题讲解
返 回
逐商求积法
若数列 a1 , a 2 , a 3 , , a n , 是等比数，公比为q ， 则 a3 an a2 a4 q, q, q , , q, a1 a2 a3 a n 1
an a n 1
an
n 1个 q .q .q .q
返 回
二、应用举例
例4、数列{an}满足an+1=an-n,a1=2求数列{an}的通项公式。 例5、数列{an}满足 求数列{an}的通项公式。
a 1 1, a n 1
n n 1
an
返 回
二、应用举例
例6、数列{an}满足 ：
求数列{an}的通项公式。
a1 2 , a n 1
2、公式法 3、定义法
等 差 数 列 a n+1 - a n = d ( d 为 常 数 a n+1 q q为 非 零 常 数 等 比 数 列 an
4、递推公式 （突出转化成AP、GP）
1 a n 1 a n f ( n ) 逐 差 求 和 法 2 a n 1 p a n q 构 造 等 差 或 等 比 数 列 法 一 设 a n+1 + = p ( a n + ) 法 二 由 已 知 与 a n = p a n-1 + q 相 减 得 a n+1 - a n = p ( a n - a n-1 ) 3 a n 1 a n f ( n ) 逐 商 求 积 法 C an 1 B 1 4 a n 1 取倒数得: 类似于 2 Aan B a n+1 C a n
数列通项的求法
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
人教版高中数学必修5(A版) 2.1数列的概念与简单表示法 PPT课件
2.1数列的概念与简单表示法
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
【人教A版】;高中数学必修五课件：2.1-1《数列的概念与简单表示法》
直线的一般形式：
总结：
课堂练习
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项； 2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
3. -20是不是等差数列0，-
，-7…中的项；
4.已知{an }为等差数列，若a1=3, d=3/2,an=21,则n=
5.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5， -10a-1，则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C.D. 提示：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062
（3）1，1，1，1， · · ·.
d=0
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个常数，那么这个数列 请问： 它们有什么共同特点？ 共同特点： 从第2项起，每一项 就叫做等差数列 . 与它的前一项的差等于同一个 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 常数。 表示.
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： 因此， 解得
例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. 解：由题意可知 解得： 即这个等差数列的首项是-２，公差是３. 说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
例3 .已知数列{ an }的通项公式是an =pn+q，p,q是 常数 求证：{an}为等差数列； 解：
谢谢指导！
提示：类比例2
四 .课堂小结
1.本节课学习的主要内容有
（1）等差数列与等差中项的定义 （2）等差数列的通项公式 （3）等差数列与一次函数的关系 （1）理解等差数列 （2）掌握等差数列的通项公式 （3）能利用公式解决一些简单问题
2.本节课的能力要求
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
人教a版必修五课件：数列的递推公式(60页)
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第二章 2.1 第2课时
系列丛书
典例导悟
类型一 [例1] 由递推公式求数列中的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由
an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； an (2)通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数 an＋1 列{bn}的前4项．
人教A版· 数学· 必修5
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第二章 2.1 第2课时
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
人教A版· 数学· 必修5
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第二章
数列
第二章
数列
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2.1
数列的概念与简单表示法
第二章
数列
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第2课时
课前自主预习
数列的递推公式
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第二章 2.1 第2课时
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的 前n项，了解数列的函数性质． 3．掌握一些简单的递推公式来求数列的通项公式.
递推法 ． 方法叫做________
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第二章 2.1 第2课时
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思考感悟
1．通项公式与递推公式的区别与联系
人教A版· 数学· 必修5
高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b353729b0b1c59eef9c7b472.png)
化简得 d2＝16，于是 d＝±4， 故三个数为－2，2，6 或 6，2，－2. 法二：设首项为 a，公差为 d，这三个数分别为 a，a ＋d，a＋2d. 依题意，3a＋3d＝6 且 a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以 a＝2－d，代入 a(a＋d)(a＋2d)＝－24.
第三十九页，共42页。
解：记 2009 年为第一年，由题设可知第 1 年获利 200 万元，第 2 年获利 180 万元，第 3 年获利 160 万元，…， 则每年获利构成等差数列{an}，且当 an<0 时，该公司经销 此产品将亏损．
设第 n 年的利润为 an，因为 a1＝200，公差 d＝－20， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
第四页，共42页。
2．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已 知 a1，d，am，an(m≠n)，则 d＝ann－－a11＝ann－－mam，从而有 an＝am＋_(_n_－__m_)_d___． (2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p ＋q(m，n，p，q∈N*)，则__a_m_＋__a_n__＝ap＋aq.
第二十九页，共42页。
又等差数列 5，8，11，…的通项公式为 an＝3n＋2， (4 分)
等差数列 3，7，11，…的通项公式为 bn＝4n－1.(6 分)
点评：此处易出现令 3n＋2＝4n－1，解得 n＝3 的错 误，这实际上是混淆了两个 n 的取值而导致的错误，也是 常犯的错误．
第三十页，共42页。
第五页，共42页。
3．等差数列的性质 (1)等差数列的对称性． 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项 之和等于首项与末项的和．即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－ 2＝……
高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第二课时数列的性质和递推公式课件新人教A版必修5
当 an1 >1 时,数列{an}是递减数列. an
对于任意 n(n∈N*),若 an≠0,则当 an1 =1 时,数列{an}是常数列. an
(2)利用数列的图象直观地判断.
5.周期数列的概念 对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们视察后可以发现,数列的项1,1 重 复 出 现 , 用 公 式 表 示 为 an=an+2. 若 记 f(n)=an, 则 可 以 表 示 为 f(n)= f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列. 周期数列的递推公式的一般情势为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2, 3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*). 6.判断周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推 公式求出数列的若干项,视察得到规律或由递推公式直接发现规律.
解:(1)因为 an+1-an= 1 = 1 - 1 ,所以 a2-a1= 1 =1- 1 ;
n(n 1) n n 1
1 2 2
a3-a2= 1 = 1 - 1 ;a4-a3= 1 = 1 - 1 ;
23 2 3
34 3 4
…
an-an-1= 1 = 1 - 1 ; (n 1)n n 1 n
以上各式累加得,an-a1=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 .所以 an+1=1- 1 ,所以 an=- 1 .
②作商法:即作商 an1 (务必要确定 an 的符号)后与 1 比较对于任意 n(n∈N*),若 an>0, an
则当 an1 >1 时,数列{an}是递增数列; an
人教A版数学高中必修5等差数列的证明与判定优秀课件
1 an
是等
差数列
（2）求a n
变式：已知数列an中，若a1 4,
an
4
4 an1
(n
1),记bn
1 an 2
(1)求证数列b n 是等差数列
（2）求a n
（1）证明： bn1
bn
1 an1
2
1 an
2
1
1
(4 4 ) 2 an 2
an
an 1 2an 4 an 2
an 2
练一练
判断下列函数是不是等差数列。
（1）a n
1 2
n
1
(3)an n 1
(2) an n (4)an an2 n 1
四.等差数列的前n项和公式
方s等法n 4差—数n—(列a求1的2和前公ann项式)和法公n式a1s
n(n
n
d n2 2
2
1)d
(a1 -
d 2
)n
是关于n的二次函数且常数项为零；
an an1 d (n 2)
方法2：等差中项法对于数列{an}， 满足an1 an－1 ＝2an (n 2)
方法3：通项公式法 : an kn b是关于n的一次函数
方法4：求和公式法：sn An2 Bn是关于n的二次函数， 且常数项为零
Thank You!
数列的前n项和公式 sn An2 Bn(A, B为常数)
此数列是等差数列；
练一练
判断下列函数是不是等差数列。
（1）sn
1 2
n2
n
(3)sn n2 n
(2) sn n2 1 (4)sn an2 (a 0)
例1：已知数列an中，若a1 2,
an1
高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和课件
相加 法
50+ 51=101
思
学导结合
考？高斯解决该问题的奇妙之
处在哪儿？
不同数的求和问题
首
配对
尾
相同数的求和问题
加法问题
转化
乘法运算
学导结合 问题2：1+2+3+…+（n-1）+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +… + (n-1) + n S= n + (n-1) + (n-2) +… + 2 + 1
殊
到
一
般 Sn 1 2 3 n
Sn a1 a2 a3 an
课题：等差数列的前n项和 难点名称：倒序相加法
设计情景，导入新课
泰姬陵,建于 十七世纪，是 印度知名度最 高的古迹之一， 世界文化遗产， 被评选为"世 界新七大奇迹 "。
传说陵寝中有一个三角形图案，是以 相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层 ， 你 知 道 这 个 图 案 一 共 花 了 多 少颗宝石吗？
问题1 : 1+2+3+4+…+98+99+100=？
设计情景，导入新课
你
想知道他的故事 吗？
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
结论：知 三 求 二
高中数学人教A版必修5课件：2.3.1 等差数列的前n项和
-4-
第1课时 等差数列的 前n项和
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.等差数列{an}的前 n 项和 设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
������(������1+������������ ) 2
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+������8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 ������������ = ������1 + (������-1)������, ������������ = ������������1 + ������ = 7, ������ = 5, 解方程组得 或 ������1 = 3 ������1 = -1.
-12-
第1课时 等差数列的 前n项和
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
������
������������ ������, ������
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,������ = 1, ∴an= 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2. 7,������ = 1, 答案: 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2
高中数学人教A版必修5第2章第5节《数列求和》课件
1 2
(1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 5
1 7
1 1 1 1 ) n n 2 n 1 n 3
••
•
•
Sn
1 2
(1 2
1 3
n
1
2
1) n3
5 12
2(n
2n 5 2)(n
3)
小规律：
裂项相消时，前面剩几项， 对应后面就剩几项；前面剩 第几项，对应后面就剩倒数 第几项；前后至少各写出两 组数。
解：设等差数列an
的首项为a1
,
公差为d， an
1 an1
的前n项和为Tn
3a1a123dd36
ad1
1 1
an n
1 1 anan1 n(n 1)
1 1 n n1
Tn
11
1 2
1 2
1 3
1 1 n 1
n n 1
1 1 1 11 n 1 n n nn1
常见数列的裂项方法
(1)
(3)2 4 6 (4)12 22 32
(5)13 23 33
2n n(n 1)
n2 n(n 1)(2n 1) 6
n3 n2 (n 1)2 4
二.倒序相加法
适用于：如果一个数列 an 中与首
末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和。
方法：把数列分别正着写和倒着写再 相加。
1 2
an 2n 1
(2)
1
1
anan1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn
1 2
(1
1 3
1 3
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1.通项公式能够很清楚的表示数列中 项数和项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一 项.
数列中的每一个数都对应着一个序号，反 过来，每个序号也都对应着一个数。如数 列（1）
项 4 5 6 7 8 9 10
序号 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是定义域的函数，序号 从1开始依次增加时，对应的函数值按次 序排出就是数列，这就是数列的实质。
一、数列的概念：
按一定顺序排列的一列数叫数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项）， 第2项，······，第n项， ······
数列的一般形式可以写成：
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…简记 为{an}，其中an是数列的第n项。
根据数列的定义知数列是按一定次序排 列的一列数，因此若数列中被排列的数 相同，但次序不同，则不是同一数列。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
课 题:数 列 授课人:徐玲华
问题：从下往上钢管的数目有什么
规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？
76-------54--3---2----------1----
45，，67，8，9，1，0
1 2 22 23 24 25 26 27 … 263 1国+2王+要22+给…多+少263麦=粒18？446744073709551615
人陛你什赏几搞下想么赐粒定赏得样？麦。小到的就
OK
?
请你观察：
⑴4，4，4，4，4，4，4 发现
⑵1，2， 22 ，23，24，…， 263
⑶5，1 , 1 ,
23
1,1,… 45
⑷4，5，6，7，…
⑸-1，1，-1，1，…
问题1:
上面所举事例构成的一列列 数有何共同特点？
1.都是一列数; 2.都是按照一定的顺序排列的;
（2）
2 3
,
4 , 5
8（,
7
16 9
）, 32 , 64 ,（ 128）
11 13
15
思考题:
根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式。
(1) 2，0，2，0，…… (2) 1，3,5,7,…… (3) 9,99,999,9999，……
答案: (1) an 1 (1)n1
如：数列（5）－1，1，－1，1，··· 改为 数列（5’）1，－1，1，－1，··· 是不是同一数列？
数列（1）4，5，6，7，8，9，10。改 为数列（1’）10，9，8，7，6，5，4。 它们不是同一数列。0，0，0，0，0， 0，0是数列吗？
分类:
按项数:有穷数列 1 无穷数列2、3、4、 5
y=f（x）
函数值
自变量
an ？ n
如果数列{ an }中的第n项an与n之间 的关系可以用一个公式来表示，则
称此公式为数列的通项公式。
并不是所有的数列都有通项公式， 如数列⑷。
有些数列的通项公式不唯一，如数 列⑸
数列的图象 an
10
9
8
7
数列（1）
6
用图象表示： 5
4
3
2
an= n
1
O 12 3456 7 n
例题讲解:
1.根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项。
(1) an n2
(2)
an
2n 1 n2 1
答案： (1)1,4,9,16,25
(2) 3 ,1, 7 , 9 , 11
2 10 17 26
例2：观察下面数列的特点，2, 5（, 6 ） ， 7
按各项的大小分：递增数列2、4、递减数 列3、常数列1、摆动数列5
二、数列的通项公式：
如果数列{an}的第 n 项an与n之间的关系 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做
这个数列的通项公式。
说明：1.并不是每一个数列都能够写出
通项公式; 2.数列的通项公式并不一定是唯 一的.
问题3:
通项公式的优点在哪里?
(3) an 10n 1
小 结：
1、数列的概念 2、数列的通项公式 3、数列的实质 4、数列的通项公式的应用
作 业:p33
习题2。1第1-2
数列中的每一个数都对应着一个序号，反 过来，每个序号也都对应着一个数。如数 列（1）
项 4 5 6 7 8 9 10
序号 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是定义域的函数，序号 从1开始依次增加时，对应的函数值按次 序排出就是数列，这就是数列的实质。
一、数列的概念：
按一定顺序排列的一列数叫数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项）， 第2项，······，第n项， ······
数列的一般形式可以写成：
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…简记 为{an}，其中an是数列的第n项。
根据数列的定义知数列是按一定次序排 列的一列数，因此若数列中被排列的数 相同，但次序不同，则不是同一数列。
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课 题:数 列 授课人:徐玲华
问题：从下往上钢管的数目有什么
规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？
76-------54--3---2----------1----
45，，67，8，9，1，0
1 2 22 23 24 25 26 27 … 263 1国+2王+要22+给…多+少263麦=粒18？446744073709551615
人陛你什赏几搞下想么赐粒定赏得样？麦。小到的就
OK
?
请你观察：
⑴4，4，4，4，4，4，4 发现
⑵1，2， 22 ，23，24，…， 263
⑶5，1 , 1 ,
23
1,1,… 45
⑷4，5，6，7，…
⑸-1，1，-1，1，…
问题1:
上面所举事例构成的一列列 数有何共同特点？
1.都是一列数; 2.都是按照一定的顺序排列的;
（2）
2 3
,
4 , 5
8（,
7
16 9
）, 32 , 64 ,（ 128）
11 13
15
思考题:
根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式。
(1) 2，0，2，0，…… (2) 1，3,5,7,…… (3) 9,99,999,9999，……
答案: (1) an 1 (1)n1
如：数列（5）－1，1，－1，1，··· 改为 数列（5’）1，－1，1，－1，··· 是不是同一数列？
数列（1）4，5，6，7，8，9，10。改 为数列（1’）10，9，8，7，6，5，4。 它们不是同一数列。0，0，0，0，0， 0，0是数列吗？
分类:
按项数:有穷数列 1 无穷数列2、3、4、 5
y=f（x）
函数值
自变量
an ？ n
如果数列{ an }中的第n项an与n之间 的关系可以用一个公式来表示，则
称此公式为数列的通项公式。
并不是所有的数列都有通项公式， 如数列⑷。
有些数列的通项公式不唯一，如数 列⑸
数列的图象 an
10
9
8
7
数列（1）
6
用图象表示： 5
4
3
2
an= n
1
O 12 3456 7 n
例题讲解:
1.根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项。
(1) an n2
(2)
an
2n 1 n2 1
答案： (1)1,4,9,16,25
(2) 3 ,1, 7 , 9 , 11
2 10 17 26
例2：观察下面数列的特点，2, 5（, 6 ） ， 7
按各项的大小分：递增数列2、4、递减数 列3、常数列1、摆动数列5
二、数列的通项公式：
如果数列{an}的第 n 项an与n之间的关系 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做
这个数列的通项公式。
说明：1.并不是每一个数列都能够写出
通项公式; 2.数列的通项公式并不一定是唯 一的.
问题3:
通项公式的优点在哪里?
(3) an 10n 1
小 结：
1、数列的概念 2、数列的通项公式 3、数列的实质 4、数列的通项公式的应用
作 业:p33
习题2。1第1-2