石家庄市精英中学数学全等三角形易错题(Word版 含答案)

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)

1.(1)如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.

小明同学探究的方法是:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,

他的结论是(直接写结论,不需证明);

(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF是∠BAD的二分之一,上述结论是否仍然成立,并说明理由.

(3)如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出三角形DEF的周长.

【答案】(1)EF=BE+DF.(2)成立,理由见解析;(3)10.

【解析】

【分析】

(1)如图1,延长FD到G,使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG,得到AE=AG,

∠BAE=∠DAG,进一步根据题意得∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.

(2)如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,证得△ABE≌△ADG,得到AE=AG,

∠BAE=∠DAG,再结合题意得到∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.

(3)如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,先证△AEB≌△CGB,得到BE=BG,∠ABE=∠CBG,结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°,再证明△EBF≌△GBF,得到

EF=FG,最后求三角形的周长即可.

【详解】

解答:(1)解:如图1,延长FD到G,使得DG=DC

在△ABE和△ADG中,

DC DG

B ADG

AB AD

=

∠=∠

⎪=

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,

∵∠EAF=

1

2

∠BAD,

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

AE AG

EAF GAF

AF AF

=

∠=∠

⎪=

∴△AEF≌△AGF(SAS),

∴EF=FG,

∵FG=DG+DF=BE+DF,

∴EF=BE+DF;

故答案为:EF=BE+DF.

(2)解:结论EF=BE+DF仍然成立;

理由:如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG

在△ABE和△ADG中,

DG BE

B ADG

AB AD

=

∠=∠

⎪=

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,

∵∠EAF=

1

2

∠BAD,

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEF ≌△AGF (SAS ),

∴EF =FG ,

∵FG =DG +DF =BE +DF ,

∴EF =BE +DF ;

(3)解:如图3,延长DC 到点G ,截取CG =AE ,连接BG ,

在△AEB 与△CGB 中,

∵AE CG A BOG AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEB ≌△CGB (SAS ),

∴BE =BG ,∠ABE =∠CBG .

∵∠EBF =45°,∠ABC =90°,

∴∠ABE +∠CBF =45°,

∴∠CBF +∠CBG =45°.

在△EBF 与△GBF 中,

∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△EBF ≌△GBF (SAS ),

∴EF =GF ,

∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质,灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问,难度不断增加,对提升思维能力大有好处.

2.如图1所示,已知点D 在AC 上,ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形,点M 为EC 的中点.

(1)求证:BMD ∆为等腰直角三角形;

(2)将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒,如图2所示,(1)中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立?请说明理由;

(3)将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度,如图3所示,(1)中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗?请说明理由.

【答案】(1)详见解析;(2)是,证明详见解析;(3)成立,证明详见解析.

【解析】

【分析】

()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==,

90ADE EBC EDC ∠∠∠===,推出BM DM =,BM CM =,DM CM =,推出BCM MBC ∠∠=,ACM MDC ∠∠=,求出

22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可.

()2延长ED 交AC 于F ,求出12

DM FC =,//DM FC ,DEM NCM ∠=,根据ASA 推出EDM ≌CNM ,推出DM BM =即可.

()3过点C 作//CF ED ,与DM 的延长线交于点F ,连接BF ,推出MDE ≌MFC ,求出DM FM =,DE FC =,作AN EC ⊥于点N ,证BCF ≌BAD ,推出

BF BD =,DBA CBF ∠∠=,求出90DBF ∠=,即可得出答案.

【详解】

()1证明:ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,

45ACB BAC ∠∠∴==,90ADE EBC EDC ∠∠∠===

点M 为EC 的中点,

12BM EC ∴=,12

DM EC =, BM DM ∴=,BM CM =,DM CM =,

BCM MBC ∠∠∴=,DCM MDC ∠∠=,

2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=,

同理2DME ACM ∠∠=,

22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==⨯= BMD ∴是等腰直角三角形.

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