因式分解(分组分解法)
分组分解法因式分解
1、计算
（1）(x +1) ( x + 2 ) = x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2
（2）(x -1) ( x + 2 )= x2 +[(-1) + 2]x + (-1)×2
（3）(x + a) ( x + b )= x2 + ( a + b )x + a b
②交叉相乘，和相加； 竖分常数交叉验，
③检验确定，横写因式． 横写因式不能乱． 符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符 号相同．
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny) 解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n) = (m-n) (x+y)
注 意
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提．
=(x+1)(x+2)
分析:(2)二次项系数为1，常数项6=1×6 =(-1)×(-6) =2×3
=(-2) ×(-3),
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
分组分解法因式分解
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。
解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。
因式分解分组分解法
因式分解分组分解法
因式分解分组分解法是一种求多项式的因式分解的方法。
它的基本思路是将多项式中的项按照某种特定的规则进行分组，使得每一组中的项可以合并成一个公因式，从而简化多项式，方便因式分解。
具体来说，我们可以按照以下几种规则进行分组：
1. 按照指数分组：将多项式中所有指数相同的项放在一起，例如：
$$
3x^2+2x^3-5x^2-7x^3=3x^2-5x^2+2x^3-7x^3=-2x^2-5x^3
$$
2. 按照变量分组：将多项式中所有含有相同变量的项放在一起，例如：
$$
2x+3xy-4x-2xy=2x-4x+3xy-2xy=-2x+xy
$$
3. 混合分组：将多项式中按照指数和变量来进行分组，例如： $$
2x^2y+3xy^2-4xy-2x^2=2x^2y-2x^2+3xy^2-4xy=2x^2(y-1)+3xy(y-1 )=(2x^2+3xy)(y-1)
$$
通过以上的分组方法，我们可以将多项式中的项进行合并，得到
公因式，从而进行因式分解。
因式分解分组分解法在解题中应用广泛，是学习代数基础的重要内容之一。
因式分解-分组分解法
总结与归纳
(1) a2+2ab+b2-c2 (2) x2-y2+ax+ay
(2)利用分组分解法进行因式分解时，应该怎样 进行分解？
若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑用 分组分解法，常用分组方法有一、三分组，二、二分组; 一、三分组的前提是可以运用完全平方公式，然后再和 剩下的一项用平方差公式来分解；二、二分组的前提是 可以运用提公因式法或平方差公式，然后再用提公因式 法来分解.
②提取公因式后， 如果是三项的则考虑用完全平方 公式来分解因式如；果是二项的则考虑用平方差公式来分 解因式.
③最后检查式子是不是分解彻底了.
探究新知 例 把下列各式因式分解：
(1) a2+2ab+b2-c2 解:原式=( a2+2ab+b2 ) -c2
=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c)
同步练习 把下列各式因式分解：
(1) 4a2-b2+4a-2b
解:原式=(4a2-b2 ) +( 4a-2b) =[(2a)2-b2]+(4a-2b) =(2a+b)(2a-b)+2(2a-b) =(2a-b)(2a+b+2)
同步练习 把下列各式因式分解：
(2) x2-2xy+y2 Nhomakorabea1解:原式=( x2-2xy+y2 ) -1
拓展提升
已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.
解：因为 a2+b2-6a+2b+10=0 所以 a2-6a+9+b2+2b+1=0 所以 (a-3)2+(b+1)2=0 所以 a-3=0,b+1=0 解得 a=3,b=-1
因式分解(分组分解法)
因式分解 （分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。
因式分解分组分解法笔记
因式分解分组分解法笔记
【原创实用版】
目录
1.因式分解的概念和重要性
2.分组分解法的基本原理
3.分组分解法的具体步骤
4.分组分解法在实际问题中的应用
5.总结与展望
正文
一、因式分解的概念和重要性
因式分解，就是把一个多项式转化成几个整式积的形式。
它在数学中有着广泛的应用，是代数运算中的一项基本技能。
掌握好因式分解，不仅可以帮助我们更好地理解多项式的性质，还可以提高我们的计算能力和解题技巧。
二、分组分解法的基本原理
分组分解法是因式分解的一种常用方法，它的基本原理是将多项式按照一定的规则进行分组，然后对每组进行因式分解，最后将各组的因式分解结果合并，得到原多项式的因式分解式。
三、分组分解法的具体步骤
1.确定分组规则：根据多项式的具体形式，选择合适的分组规则，如按照项数、次数、系数等进行分组。
2.对每组进行因式分解：根据多项式的性质，选择适当的因式分解方法，如提公因式、公式法、十字相乘法等，对每组进行因式分解。
3.合并因式分解结果：将各组的因式分解结果合并，得到原多项式的
因式分解式。
四、分组分解法在实际问题中的应用
分组分解法在解决实际问题中的应用非常广泛，如在求解多项式的零点、判断多项式的正负性、计算多项式的值等过程中，都可以运用分组分解法来进行因式分解，从而简化问题，提高解题效率。
五、总结与展望
因式分解是代数运算中的一项基本技能，掌握好因式分解，可以提高我们的计算能力和解题技巧。
分组分解法是因式分解的一种常用方法，它的具体步骤明确，操作简便，适用范围广泛。
在实际问题中，我们可以灵活运用分组分解法，提高解题效率。
因式分解 分组分解法
因式分解分 组分解法一、知识点讲解：1、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
2、分组分解法的原则：分组分解法的原则是分组后可直接提公因式或可直接运用公式法，但必须使各组之间能继续分解。
注意：（1）分组时可进行尝试，最后找到合理的分组方法（2）有些多项式的分组方法并不唯一。
二、例题讲解：例1把多项式am+an+bm+bn 分解因式 例2把多项式7x 2-3y+xy-21x 分解因式例3把多项式a 2-a-2b+2ab 分解因式 例4把多项式1-a 2-b 2+2ab 分解因式例5分解因式：22225942061a c b ab c -+---例6分解因式：221222x y xy x y +++++例7分解因式： 2222x x y xy x y y -+-+-例8分解因式：33268()x xy y x y ++-+例9分解因式：ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)练习：1、把下列各式分解因式22(1)36355x xy y x y -+-+ 22(2)2221a ab b a b ++--+2222(3)22a b x y ay bx --+-+ (4)()()(2)a c a c b b a +-+-22(5)29x xy y --+ 2(6)33a bc ac ab +--(7)xy xz y z -+- 22(8)99ax bx a b +--22(9)(1)(1)4a b ab --- 42(10)21100a a --2、若2226100a a b b ++-+=，求a 、b 的值3、已知：x+y=3,x-y=1,求233x xy x y +--的值4、尽可能多的求出整数a ，使代数式220x ax --在整数范围内可因式分解。
因式分解(分组分解法)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有， 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀： 一提 二套 三分 四彻底
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
初中数学因式分解-分组分解法
3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一 按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二 按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。
因式分解——分组分解法
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
分组分解法因式分解经典例题
分组分解法因式分解经典例题《分组分解法因式分解经典例题》一、引言在代数学中，因式分解是一个非常重要的概念，它在解方程、化简分式等问题中有着广泛的应用。
而分组分解法是因式分解中的一种常见方法，它通过合理地分组，将原式中的各项进行适当的组合，从而达到因式分解的目的。
本文将通过经典的例题来介绍分组分解法的应用和技巧，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
二、基本概念分组分解法是指在进行因式分解时，通过巧妙地对原式中的各项进行分组，并进行适当的变形，最终达到可以进行公因式提取的目的。
其基本思想是将原式中的各项进行合理的组合，使得每一组的相加或相乘具有公因式或特定形式。
这样一来，就可以利用公因式提取的方法，将原式进行因式分解。
下面通过具体的例题来说明分组分解法的应用。
三、分组分解法例题例题：将二次三项式$x^2+5x+6$进行因式分解。
解析：首先我们根据分组分解的思想，对原式中的$x^2+5x+6$进行分组，即进行合理的拆分和组合。
我们可以将5x拆分为2x+3x，于是原式可以重写为$x^2+2x+3x+6$。
然后我们对前两项进行因式分解，将$x^2+2x$可以提取出公因式$x(x+2)$，对后两项进行因式分解，将$3x+6$可以提取出公因式$3(x+2)$。
这样一来，我们可以得到原式的因式分解形式为$(x+2)(x+3)$。
通过这个例题，我们可以看到分组分解法对于因式分解的应用是非常有效的。
四、总结回顾通过上面的例题，我们可以总结出分组分解法的基本步骤和技巧：1. 将原式中的各项进行合理的拆分和组合，使得每一组的相加或相乘具有公因式或特定形式。
2. 进行适当的变形，将原式化简并提取公因式。
3. 最终将原式进行因式分解，得到最终的结果。
对于分组分解法的掌握，需要多做练习，熟练掌握基本的技巧和方法。
通过不断的练习和思考，我们可以更好地理解和掌握这一方法，从而在代数学的学习和解题中能够灵活应用。
五、个人观点在学习因式分解的过程中，我发现分组分解法是一种非常实用和灵活的方法。
用分组分解法进行因式分解
用分组分解法进行因式分解1.分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy2.分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
因式分解的分组分解方法
因式分解的分组分解方法因式分解的分组分解方法简介因式分解是一项基础而重要的数学技巧，用于将一个多项式拆解成更简单的乘法形式。
在因式分解中，分组分解方法是一种常用的策略。
本文将详细介绍这种方法以及其各种变体。
方法一：二项式公式•对于形如ax2+bx+c的二次多项式，我们可以使用二项式公式来进行分组分解。
•具体步骤如下：1.将二次项的系数a提取出来：ax2+bx+c=a(x2+bax)+c2.将x2+bax进行配方得到一个完全平方的二次多项式：x2+ba x=(x+b2a)2−b24a23.将两个部分相乘：a(x+b2a )2−a b24a2+c4.将最后一项与前一项合并为一个常数项：a(x+b2a )2 +(c−b24a)方法二：分组分解•对于形如ax3+bx2+cx+d的三次多项式，我们可以使用分组分解的方法。
•具体步骤如下：1.将多项式分为两组，每组包含两项：ax3+bx2和cx+d2.将每一组的公因式提取出来：ax3+bx2=x2(ax+b)和cx+d=x(c+dx)3.将两组的公因式相乘：x2(ax+b)(c+dx)4.最后将得到的乘积进行化简和合并方法三：巧妙的分组•在某些情况下，我们可以使用巧妙的分组方法进行因式分解，例如对于差平方的形式。
•具体步骤如下：1.将多项式写成两个相加或相减的平方形式：a2−b2=(a+b)(a−b)2.将多项式看作一个整体，拆分成两个括号的乘积3.对每个括号继续进行分解，直到无法再进行因式分解为止方法四：特殊因式分解•在某些特殊的情况下，我们可以直接应用特殊因式分解公式来进行分解，例如平方差、立方差等。
•具体公式和方法可以参考相关的数学课本和教材。
结论因式分解的分组分解方法是解决多项式因式分解问题的一种重要策略。
通过不同的分组方式和技巧，可以将复杂的多项式拆解成更简单的乘法形式，便于进一步的计算和推导。
熟练掌握各种分组分解方法，对于数学学习和问题解决都具有重要意义。
因式分解3(分组分解)
因式分解（三）——分组分解法【知识要点】分组分解法的意义：很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，就可以先在局部上，进而在整体上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解。
所以，“分组”步骤的作用，在于促进了提公因式法和公式法的应用，使多项式从不能分解的形态向能分解的状态转化．例如：多项式by bx ay ax -+-236是一个四项式，它的各项没有公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以是用基本方法无法直接分解的．但如运用分组分解法，就可以通过添括号的步骤进行分组，得原式)2()36(by bx ay ax -+-=，可以看到，在两个局部上，都是可以用提公因式法分解的．分别分解，得原式)2()2(3y x b y x a -+-=，应当注意到，完成了这一步，因式分解并没有完成（想一想，为什么？），但它的意义在于又出现了公因式)2(y x -，再从整体上运用提公因式法，可以得原式)3)(2(b a y x +-=，从而完成了整体上作分解的目的．◎所以，在这里，分组分解法的意义在于促进了提公因式法的应用．注意运用添括号法则：可以看到，分组的过程，就是添括号的过程，所以正确地使用添括号法则，才能正确地选择分组方案，再能正确实现分解．1、添加带有正号的括号时，各项都不变号 ２、添加带有负号的括号时，括号内的各项都变号 补充说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。
因此，分组分解因式要有预见性；（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；（4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解的目的。
【经典例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）27321a b ab a -+-（3）y b x b y a x a 2222+++； （4）nx n mx mx --+2例2 把下列各式分解因式：（1）b a b a 2423---；（2）2222b ab a x -+-；（3）a ax ax ax -+-23；（4）2242x x y y --+；例3 添拆项后再分组。
因式分解——分组分解法
分解因式： x 2 + ax 2 + x + ax − 1 − a
（35）
分解因式： x 4 + x3 + x 2 + x
模块化讲义体系
七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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Mathematics
（36） 分解因式： x3 + y 3 + x 2 + 2 xy + y 2
因式分解分组分解法12x?2m?ax?am2x2?xy?a2x?a2y2xmaxm2axm37m2?3n?mn?21m410mx?12nx?5my?6ny5a3x2?a3y?x2?y72ax?2ay?3bx?4cy?3by?4cx9a2?8ab?16b2?6a?24b?911x2?6xy?9y2?4x?12y13?x2?y2?a2?2?4x2y26ax2?bx2?cx2?ay2?by2?cy28a2?4ab?4b2?x2?2x?110ax2?ay2?2axy?ab2129a2?18a?9?b2?4b2?4332214已知a?b?0求a?2b?ab?2a3; acx3
（100） 分解因式： 2 x − 4 x y − x z + 2 xy + 2 xyz − y z
3 2 2 2 2
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七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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（86） 分解因式： ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) + a + b + c
分组分解法因式分解
分组分解法因式分解教学目标1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.教学过程设计一、复习1．如何找出多项式的公因式？2．因式分解可以归纳为：由 ___的形式化为____ 的形式。
3. 把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.二：探究新知：（一）．把下列各式因式分解：定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分解因式，当提公因式法和公式分解法无法直接分解时用此方法。
分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式 .分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法，让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解.而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键 .（二）课堂练习：1.把下列多项式因式分解：2.分组分解法因式分解应用.054222的值求：已知：b a b a b a +=+-++222222)2()1(c b ab a ay ax y x -++++-12)5(44)4(4161)3(11236)2(128)1(2322322222--++-+++x x xy y x x x x x c ab b a byax b a y x y y x x y xy x ba b a 22)4(269)3(12)2(244)1(2222222222++-+--++-+--+-三：课堂小结：把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.四：作业布置：板书设计教学反思：本节课学生的探究活动比较多，教师起到主导作用，以学生为主，我安排了三位同学主讲，通过学生教学生，大大的提高了学生的听课效率，三位同学首先讲解思路、再分析解题过程，是本节课的一大亮点。
因式分解分组分解.课件
观察题目：整个多项式无公因式 可提，又不能直接运用公式，故考虑 把多项式分成几组.
用分组分解法时，一定要想 想分组后能否继续分解.
分组分解法：把一个多项式适当 地分组，使分组后各组之间有公因式 或者可以用公式法，这种利用分组来 分解因式的方法叫做分组分解法。
分组分解不是一种独立的方法， 而是经过适当分组以后，转化为提公 因式和公式法。
例1：把下列各式分解因式：
（1） a²-ab+ac-bc
（2） 2ax-10ay+5by-bx
（1） a²-ab+ac-bc
解：原式= a(a-b)+c(a-b)
= (a+c)(a-b)
（2） 2ax-10ay+5by-bx
解：原式= 2a(x-5y)+b(5y-x) = 2a(x-5y)-b(x-5y) = (2a-b)(x-5y)
（6） a 2 x4 a 2 x3 a 2 a 2 x
（7） 6ab 1 9a2 b2
（8） x 4 3x 2 1
(1) x²-y²+ax+ay
解：原式= (x+y)(x-y)+a(x+y) = (x+y)(x-y-c)
(2) a²-2ab+b²-c²
解：原式= (a-b) ²- c ² = [(a-b)+c][(a-b)-c] = (a-b+c)(a-b-c)
练习：
（1）x²-y²-2x+2y （2）2a+6b-a²+9b² （3）4a²+6a-3b-b² （4）x²-y²-z²+2yz
（5） x2 y2 4x 4y
思考题：因式分解 (1) x² （2） x²+6x+5.
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因式分解——分组分解法
一.创设情境
分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac .
二．探索尝试
把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用我们学过的方法分解因式吗？ 三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1：分解因式：bn bm an am +++
例2：分解因式：bx
by ay ax -+-5102
练习：分解因式
1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3：分解因式：ay ax y x ++-22
例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式2、
3、y y x x 3922---
4、yz z y x 2222---
例5： 把下列多项式分解因式：
1. 按字母特征分组
（1）1a b ab +++
（2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组
（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组
（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组
（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四、总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五、课外延伸
1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ）
A ．1种
B .2种
C .3种
D .4种
2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ）
3．填空：
（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( )
( )
（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( )
( )
（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( )
( )
4．把下列各式分解因式
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn
)2().()
2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy
x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+
六、综合练习：
（一）把下列各式分解因式
（2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （2）a b b ab a 4912622-++-
（3）92234-+-a a a （4）y b x b y a x a 222244+--
（5）222y yz xz xy x ++-- （6）122222++-+-ab b b a a
（7）)1)(1()2(+---m m y y （8）)2())((a b b c a c a -+-+
（二）把下列各式分解因式
例1、 把am+bm+an －cm+bn －cn 分解因式.
例2、 把a 4b+2a 3b 2－a 2b －2ab 2分解因式.
例3、 把45m 2－20ax 2+20axy －5ay 2分解因式.
（三）把下列各式分解因式：
(1)a 2+2ab+b 2－ac －bc ； (2)a 2－2ab+b 2－m 2－2mn －n 2；
(3)4a 2+4a －4a 2b+b+1； (4)ax 2+16ay 2－a －8axy ；
（四）已知x ，y 都是自然数，且满足xy+x+y+1=12，求x ，y 的值。
（五）把下列各式分解因式：
(1)x 3y －xy 3； (2)a 4b －ab 4； (3)4x 2－y 2+2x －y ；
(4)x 2+x －(y 2+y)； (5)x 4y+2x 3y 2－x 2y-2xy 2； (6)x 3－8y 3－x 2－2xy －4y 2；
(7)ab(x 2－y 2)+xy(a 2－b 2). （8）322222--++-y x y xy x
（六）求证：无论x,y 为何值，35201312422+++-y y xy x 的值恒为正。