3第三讲 最优风险资产组合

这种偏差来自于证券分析的差异。如果证券分析质量很差，那 么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于用低质量证 券分析生成的资本配置线（垃圾进-垃圾出）

最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正 的竞争在于证券分析精确性上的角逐
分散化的威力

因为
2 P
wi w jCov(ri , rj )

构造拉格朗日函数
n n 1 n n L wi w j Cov(ri , rj ) ( wi E (ri ) E (rp )) ( wi 1) 2 i 1 j 1 i 1 i 1

然后对每个变量wi求导，并令导数值等于0
w Cov(r , r ) E (r ) 0(i 1, 2, , n)
风险资产的最小方差边界
马科维茨模型
min s.t.
1 n n wi w j Cov(ri , rj ) 2 i 1 j 1
w E (r ) E (r )
i 1 n i i p
n
w 1
i 1 i

方差前面的系数1/2只是为了计算方便而已，它使得最后得出的 结果更加整齐
马科维茨模型（续）

卖出更多的保险意味着增加风险投资的头寸，当投资于更多收 益不相关的资产时，夏普比率升高，但是因为风险资产比例上 升，整体风险也会上升
保险原理（续）

保险原理解释为“风险集合后损失的概率会降低”，从数学上是 正确的，因为夏普比率上升，但是将损失概率的降低和总风险 的降低混为一谈却是错误的
风险共享
马科维茨资产组合选择模型是组合管理的第一步：确认有效的 组合集，即风险资产有效边界

任意风险组合的期望收益和方差，都可以通过计算下式得到
E (rp ) wi E (ri )
i 1 n
n
wi w j Cov(ri , rj )
2 P
i 1 j 1

n
核心原理：对于任意期望收益率水平，我们只关注风险最低的 组合。对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合
组合期望收益关于投资比例的函数
组合标准差关于投资比例的函数
最小方差组合

最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的 风险最低

当相关系数小于+1时， 资产组合的标准差可能小于任何单 个组合资产

当相关系数是-1时， 最小方差组合的标准差是0
组合期望收益关于标准差的函数
相关效应

资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低 随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大


如果 r = +1.0，不会分散任何风险 如果 r = 0，σP 可能低于任何一个资产的标准差 如果 r = -1.0，可以出现完全对冲的情况


债券和股票基金的投资可行集和两条资本配置线
夏普比率


保险原理

保险原理：风险增长速度低于不相关保单数量的增长速度，风 险集合的获利能力（夏普比率）才能增长，但这并不足以降低 风险

这可能会限制大型保险公司持续增长的组合潜在的规模效应， 可以把分析中的资产看做保单。每一笔保单要求保险公司设置 保证金弥补或有损失，保险公司投资这些资金直至有索赔发生
wE 1 wD
债券和股票基金的投资可行集、最优资本配置线和最优风险资产组合
决定最优组合
最优组合的成分
构造整个组合的步骤

确定所有证券的特征（期望收益率、方差、协方差） 建立风险资产组合


计算最优风险组合P 在此基础上计算组合P的期望收益和标准差


在风险资产和无风险资产之间配置资金



这一策略是纯粹的风险机会。整个组合Z构成如下：A比例为y， B比例为y，无风险资产比例为1-2y
风险集合（续）
RZ yR yR (1 2 y )0 2 yR
2 y 2 2 y 2 2 0 2 y 2 2 Z 2 2 y Z Z
（RP的2倍） （σP2的2倍） （σP的1.41倍） （SP的1.41倍）
第三讲 最优风险资产组合
投资决策

投资决策可以看做为自上而下的过程

资本配置：风险资产与无风险资产之间的资本配置 资产配置：各类风险资产间的配置 证券选择：每类资产内部的证券选择


分散化与组合风险

市场风险

系统性风险或不可分散风险

公司特有风险

可分散风险或非系统风险
组合风险关于股票数量的函数

计算投资风险资产组合P的比例 计算整个组合中各资产的比例

马科维茨资产组合选择模型

证券选择（多个风险资产和一个无风险资产的情况）

第一步，确定风险资产的最小方差边界 第二步，确定无风险资产下的最优风险资产组合 第三步，确定最优风险资产组合和无风险资产一定比例的最 终组合


风险组合组合边界



传统理念认定风险集合降低风险，并成为保险行业风险管理的 背后推动力

但是，增加一个独立的赌局怎么会降低整个风险敞口呢？
风险集合

假设一个富有的投资者沃伦，持有10亿美元的组合P，其中风险 资产组合A的比例为y，无风险资产为1-y

A的风险溢价为R，标准差为σ 则P的风险溢价RP=yR，标准差σP=yσ，夏普比率SP=R/σ 沃伦发现另一个风险资产组合B和A具有相同的风险溢价和标准 差，且A和B相关系数为0，于是他认为可以通过分散化来降低 风险，决定持有B，且与A的头寸相同
S Z RZ / Z 2 yR / 2 y 2 R /

好消息是Z的夏普率提升 2 倍，坏消息是标准差也增长 2 倍 当n种资产时，夏普率提升 n 倍，坏消息是标准差也增长 n 倍 这一简单分析说明，单纯的风险集合带来了机会，但同时因为 增加了风险投资的规模，风险机会并不降低总体风险

组合的方差
2 2 2 2 2 p wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )
协方差与相关系数

协方差
Cov(rD , rE ) DE D E

相关系数：可能的值
1.0 1.0

如果ρ = + 1.0，资产间完全正相关 如果ρ = - 1.0，资产间完全负相关
风险集合、风险共享与长期投资风险

分散化意味着把投资预算分散到各类资产中以降低投资组合的 风险

有人提出时间上的分散化想法，这样平均收益率反映了不同投 资期限的收益，类比得出“时间分散化”的概念，长期投资比短 期投资更安全

这一对“分散化”的概念拓展有意义吗？
风险集合和保险原理

风险集合：将互不相关的风险项目聚合在一起来降低风险 应用到保险行业，风险集合为销售风险不相关的保单，即众所 周知的保险原理

需解以下问题
max S P
wi

E (rP ) rf
P
s.t.
2 E 2 D
w 1
i
最优风险组合的解
E ( RD ) E ( RE )Cov( RD , RE ) wD 2 E ( RE ) ( E ( RD ) E ( RE ))Cov( RD , RE ) E ( RD ) E

相关系数

当 ρDE = +1，不受相关性影响
p wD D wE E

当 ρDE = -1，可完全对冲
2 p ( wD D wE E ) 2
wD D wE E 0
E wD D E D wE 1 wD D E
组合方差的计算

使资本组合P的资本配置线的斜率最大化 斜率的目标方程是

SP

E (rP ) rf
P
这个斜率就是夏普比率
计算最优风险组合P

对于两个风险资产的组合P，期望收益和标准差为
E (rp ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 p ( wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE ))1/2
i 1 j 1

n
n
如果定义平均方差和平均协方差为
n 1 2 i2 n i1 n n 1 Cov Cov(ri , rj ) n(n 1) j 1 i1 j i

可以得出组合的方差
1 2 n 1 Cov n n
2 P
相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少

整个投资组合在无风险资产和最优风险资产组合之间的配 置，取决于个人偏好。这里客户是决策者

不同风险厌恶程度的投资者会满足于两个共同基金构成的市场

一个基金在货币市场进行无风险投资 一个持有资产配置线与有效边界切点的最优风险资产组合P


职业投资管理更有效率且成本更低
资本配置和分离特性（续）

在实际中，不同的投资经理对证券估计的数据是不一样的，因 此得到不同的有效边界，提供不同的“最优组合”
j 1 n j i j i
n
w E (r ) E (r )
i 1 n i i p
w 1
i 1 i
风险资产有效边界和最优资本配置线
最优组合
有效集组合与资本配置线
资本配置和分离特性

分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤

决定最优风险资产组合，这是完全技术性的工作。给定所有 证券的数据，最优风险组合对所有客户都是一样的
组合分散化：应用纽约证券交易所股票数据
协方差和相关性

投资组合的风险取决于投资组合中各资产收益率的相关性 协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式
组合的收益率
rp wD rD wE rE

组合的期望收益
E (rp ) wD E (rD ) wE E (rE )


长期投资决策：投资于一项两年期的风险组合

长期投资决策的风险更大 卖出一部分两年期的风险组合来降低风险 “时间分散化” 并不是真正的分散化


作业

第7章，习题：第12题 第7章，CFA考题：第1~4题


风险共享：随着风险资产增加到资产组合中, 一部分资产需要 被卖掉以保持固定的投资比例

考虑组合V，构成如下：A和B的比例均为y/2，无风险资产比例 仍为1-y
风险共享（续）
组合Z
组合V
RZ 2 yR
2 Z 2 y 2 2
RZ yR
2 Z y 2 2 / 2
Z 2 y
SZ 2R /
Z y / 2
SZ 2R /
风险共享（续）

风险共享和风险集合构成了保险行业的关键核心 投资于多种风险资产，但是风险资产比例保持不变，这才是真 正的分散化


当n种资产时，组合的标准差为 y / n ，夏普比率为 nR /
长期投资

第一年收益和第二年收益无关 短期投资决策：第一年投资于风险组合，第二年投资于无风险 组合