《弹性波动力学》习题

6) 7)
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忽略体力作用,试推导弹性细杆中的一维波动方程。 设均匀弹性固体中声标势为φ,声矢势只存在 y 方向分量ψ y ,所有的量与 y 无关， 试用φ和 ψ y 表示虎克 定律(即把各应力用φ和 ψ y 的导数表示出来).
8) 试叙述固体中弹性波波动方程建立的思路。 9) 试分析声波在多层介质中反射和透射时影响反射系数和透射系数的各种可能因素。 10) 试分析声波传播过程中引起声波幅度变化的各种可能原因。
《弹性波动力学》习题
―――标记*者为选作，其它为必作――― 第一章机械振动
1) *试证明,当单质点系统发生速度共振时,简谐力在一个周期内对系统所做的功最大. 2) *有一质点振动系统,被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时, 系统每周期的损耗能量与总的振动能 量之比等于
2π . QM f0 . f 2 − f1
第二章 流体中的声传播规律
1) 2) 3) 4) 5) 6)
*分别在一维及三维坐标里导出质点振动速度 v 的波动方程.
如果媒质中有体力分布,设作用在单位体积媒质上的体力为 F(x,y,z,t),试导出有体力分布时的声波方程. 如果在水中与空气中具有同样大小的平面波质点振动速度幅值, 问水中声强比空气中声强大多少倍? 在 20℃的空气里,有一平面声波,已知其声压为 74 分贝,试分别求其有效声压、 平均声能量密度与声强. 空气中某点的声压级为 SPL=40dB，⑴该点的声压值是声压参考值的多少倍？⑵该点的声压的有效值 是多少 20℃时空气和水的特性阻抗分别为 415 及 1.48×106 瑞利, 计算平面声波由空气垂直入射于水面上时声 压、声强的反射系数、透射系数, 并计算平面声波由水垂直入射于空气时声压、声强的反射系数、透 射系数. 试证明,当平面波斜入射于两种流体界面且发生全内反射时,透射能流为零. 已知刚性壁矩形波导管内充满空气,其两个边长分别为 l x = 0.2m 和 l y = 0.1m , 若在其中（1）只传播 主波（2）传播 (3,0)波，则对声源的频率有何限制？（3）若声源的频率范围为 0~2kHz,则可在此波导 管中激发起哪些模式波？绘出(1,1)模式波和(2,1)模式波的相速度和群速度曲线。 试叙述流体中声波波动方程建立的思路。 什么是非均匀波？ 什么是模式转换？ 什么是声强？ 什么是临界角？ 试分析声波在两种流体界面上反射和透射时影响反射系数和透射系数的各种可能因素。 坐标系选取如图 2.15 所示，x=0 为两种半无限大流体的分界面，设平面简谐纵波自介质 1 以角度 θi 入 射于界面(x=0),试写出两种介质中声压的表达式,叙述推导声压的反射、透射系数的思路。
2
11) 试证明 φ =
e − jkr 是 Helmhotz 方程 ∇ 2φ + k 2φ = 0 的解。 r
12) 如图 4.12 所示,已知 V1p=1500m/s, V2p=5000m/s, V2s=2700m/s, 入射波的频率为 f, 试写出入射波、反射波和折射波的波函数 表达式。 13) 简述 Rayleigh 波的性质。 14) 简述 Love 波存在的条件及其性质。 15) Lamb 波的简正频率是如何确定的？写出 Lamb 波的截止频率 表达式；画出对称 Lamb 波和反对称 Lamb 波的示意图。 16) 试写出(1) 有衰减的平 面波(2) 非均匀波(3) 有衰减的各向均匀 的球面波(4)Rayleigh 波的表达式，并作必要的符号和图形说 明。 17) 你学过哪些制导波？总结它们的异同点。 18) 座标如图 4.18 所示，设 P 波自固体一侧以角度θ i 入射于固体与流 体界面(x=0),试写出固体、流体中的势函数表达式，叙述推导反射、 透射系数的思路。 19) *试说明波动方程积分解的克其霍夫公式的意义，并列举一个应用 实例。 20) 写出反射纵波勘探的 纵向分辨率和 横向分辨率的 表达式并分析其 意义。 21) 假设反射纵波勘探采用如图 4.21（a）所示的子波，地层模型如图 4.21 (b) 所 示 , 第 一 和 第二层 介 质的 纵 波波 速 分别 2500m/s 和 为 3000m/s。试求（1）对于界面 2，反射纵波勘探的横向分辨率是多 少？（2）第二层介质的厚度最薄为多少时可以被识别。
6)
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第四章 固体中的声传播规律
1) 2) 什么正应变、主应力、泊松比？ 假设媒质中 P 点的位移为 u = ui + vj + wk ，试结合示意图分析
r i r ∂ ∇×u = ∂x u
r j ∂ ∂y v
r k ∂ 中每一个分量的物理意义。 ∂z w
r百度文库
r
r
r
3)
7 0 − 2 已知 P 点的应力张量为 Tij = 0 5 0 ,试求出过 P 点的外 − 2 0 4 r 法 线方向 为 n = (2,−2,1) 对面 元上的应力分 量并求该面元上 的 正
[ ]
0
4)
5)
应力分量和切应力分量. 如图 4.4，有一自由悬挂的悬杆,杆长为 l,截面积为 S, 杨氏模量为 E,密度为ρ.坐标选取如图所示,试求杆中的应力分布和杆的总伸长 量. 已知某弹性介质的纵横波波速分别为 3600m/s 和 1950m/s,求这种
l x
图 4.4
V P V −2 S 计算并绘出 介 质的 泊松 比 。 按 关系式 σ = 2 V P −1 2 VS VP σ ~ 曲线。 VS
7) 8)
9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)
X θi 流体1 流体2 θr Z θt
图2.15
1
第三章 声辐射
1) 2) 3) 4) 5) 空气中一半径为 0.01 米的脉动球源,辐射 1000Hz 的声波,欲在距球心 1 米处得到 74 分贝声压级,问球源 表面振速的幅值应为多少?辐射声功率为多大? 半径为 0.005 米的脉动球向空气中辐射 f=1000Hz 的声波,球源表面振速幅值为的 0.008 米/秒,试求辐射 声功率. 设有两个半径为的 0.005 米的脉动球中心相距 15cm, 两个球面振速均为, u = 0.008e j 2π 100 t 试问总辐 射功率为多少?与 3-2 题比较,说明了什么? 如 3-2 题,设两个小球源振动位相相反,试问总辐射功率为多少?,与 3-2 题结果比较,说明了什么? 有一直径为 40 厘米的纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波, 假定它可以看作是活塞振动, 试分别画出其在 1000Hz 与 5000Hz 时的指向图.当 f=5000Hz 时,主声束半角宽度为多少?此扬声器临界 距离 zg 为多少? 一超声换能器的直径为 d=3.0cm，辐射频率为 100kHz 的简谐波，试求：⑴若在水中使用，求该超声 换能器的辐射主瓣半角宽θ1 ; ⑵若在空气中使用，主瓣半角宽θ1 又是多少？(3)若声源的频率增加，则 对辐射主瓣半角宽有何影响？(4)绘出该换能器在水中使用和在空气中使用时的指向性图。 什么是圆形活塞式辐射器的远、近场临界距离？绘出活塞式换能器轴线上的声压振幅随距离的变化曲 线。 试写出(1)平面波(2)非均匀波(3)球面波的表达式，并作必要的文字、符号和图形说明。
P θi θ r I ΙΙ
P z θ tT θ tL S
P
x
图 4.12
x
θ tl P 流体 固体 P θ i θ rt θ rl
图 4.18
z
S
P
o
1.0 0.8 0.6 Amplitude 0.4 0.2
界面1
VP = 2500m / s 第一层介质
1000m
界面2
0.0 -0.2 0.00
VP = 3000m / s
0.02 0.04 0.06 0.08 Time(s) 0.10 0.12 0.14 0.16
第二层 介质
h
界面3
图 4.21 (a)
图 4.21(b)
3
3) *试证明:(1)质点作强迫振动时, 产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率 f0;(2)假 定 f1 与 f2 为在 f0 两侧,其平均损耗功率比 f0 下降一半时所对应的两个频率,则有 QM = 4) 5) 6) 7) 什么是集中参量振动系统？ 什么是 3dB 带宽？ 根据单质点系统速度振幅与频率的关系式，自行编程计算并绘出频率特性曲线。 如何测量一个振动系统的频率响应曲线？