变异函数球状模型的拟合研究
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第 2 卷 第 4 2000 年 12 月
期
J OU RNAL
O F
本溪冶金高等专科学校学报 B ENXI COLL EGE OF M
E
TALL
U
R
GY
Vol. 2 Dec.
No. 4 2000
文章编号 :1008 - 3723 (2000) 04 - 0041 - 03
γ( h)
=
C0
+ 〔32
(
C1 a1
+
C2 a2
)
〕h
第 4 期 胡小荣. 变异函数球状模型的拟合研究
43
+ 〔12
(
C1 a31
+
C2 a32
)
〕(
-
h3)
(17)
记
y = γ( h) , x 1 = h , x 2 = - h3 , b′0 = C0 , b′1
(5)
则上式又可写成
y = b0 + b1 x 1 + b2 x 2
(6)
鉴于 C0 、C、a 均有非负要求 ,所以也要求 b0 ≥0 ,b1 ≥
0 ,b2 ≥0 。如果在计算实验变异函数时有 m 对数据 :
{hj γ, 3 (hj) (j = 1 ,2 , …, m) } ,可先将这 m 对数据按
b″2
=
1 2
·Ca322
(22)
则 (21) 式可写为
y = b″0 + b″1 x 1 + b″2 x 2
(23)
利用 (13) 式可求出 b″0 ,b″1 ,b″2 (3) 根据以下方程组求出模型所需参数
C0 = b′0
3 2
( C1 a1
+
C2 ) a2
=
b′1
1 2
(
C1 a31
+
C2 a32
变异函数球状模型的拟合研究
胡小荣
(本溪冶专·高职专资建系 ,辽宁 本溪 117022)
摘 要 :综合现有的加权多项式拟合法和线性规划拟合法的各自优点提出了在目标函数中对不同滞后 h 下所得实 验变异的函数进行加权处理的线性规划拟合方法 。 关键词 :变异函数 ;球状模型 ;线性规划 ;拟合 中图分类号 : TU 45 ;O 141. 4 文献标识码 :A
Regression of Sp herical Model of Variational Function
HU Xiao - rong ( Dept. of Source and A rchitectonical Engineering , Benxi College of Metallurgy and prof ession , Benxi , L iaoning ,117022)
(5) 变换成 :{yj ,x1j ,x2j (j = 1 ,2 , …,m) } ,并令
t j = | yj - b0 - b1 x 1 j - b2 x 2 j | ( j = 1 ,2 , …, m) (7)
按照最小二乘法原理 ,最佳拟合应满足
收稿时间 :2000 - 04 - 25 作者简介 :胡小荣 (1964 - ) ,男 ,江西余江人 ,本溪冶专·高职专资建系副教授 ,在读博士后.
C1 +
C2
(
3 2
·h
a2
-
1 2
·ha323 )
(20)
将上式写成
γ( h)
= ( C0 + C1)
+
(
3 2
·C2 )
a2
h
+
(
1 2
·Ca322 )
(-
h3)
(21)
记
y =γ( h) , x 1 = h , x 2 = - h3 , b0″= C0 + C1 ,
b″1 =
3 2
·C2
a2
,
Abstract The paper present s a linear progressing characterized by t he weighted processing of t he experimental variational f unction nuder different lags ″h″among objective f unctions , based on t he st udy of t he respective advantages of available regressive procedures of weighted polynomial and linear programming. Key words Variational f unction ; Spherical model ;Linear programming ; Regression
t j = | yj - b0 - b1 x 1 f - b2 x 2 f |
b0 Ε 0
b1 Ε 0
(11)
b2 Ε 0
tj Ε 0
( j = 1 ,2 , …, m )
上式是一个线性规划问题 ,进一步可将其写成
m
∑ m i n S = ωjtj j =1
t j Ε yj - b0 - b1 x 1 j - b2 x 2 j t j Ε - ( yj - b0 - b1 x 1 j - b2 x 2 j) b0 Ε 0 b1 Ε 0 b2 Ε 0 tj Ε 0 ( j =#43; b1 X 1 j + b2 x 2 j Ε yj
- t j + b0 + b1 x 1 j + b2 x 2 j Φ yj
b0 Ε 0
(13)
b1 Ε 0
b2 Ε 0
tj Ε 0
( j = 1 ,2 …, m ) 令 T = (t1 ,t2 , …,t m) T ,B = ( b0 ,b1 ,b2) T ,W = (ω1 ,ω2 , …ω, m) ,U = (0 ,0 ,0) , I 为 m 阶单位矩阵 ,
·h a2
-
1 2
·
h3 a32
)
1 2
·
h3 a32
)
0
<
h Φ a1
a1 < h Φ a2
C0 + C1 + C2
h > a2
(2)
2. 2 球状模型的拟合
对球模型来说 ,拟合主要是针对 (1) 式中 0 < h ≤ a 范围内的变异函数表达式
γ( h)
=
C0 +
C(
3 2
·h
a
-
1 2
·ha33 )
参 考 文 献
1 侯景儒 ,郭光裕. 矿床统计预测及地质统计学的理论和应用〔M〕. 北京 :冶金工业出版社 ,1993. 2 王仁铎等. 线性地质统计学〔M〕. 北京 :地质出版社 ,1988. 3 矫希国 ,刘超. 变差函数的参数模拟〔J 〕. 物探化探计算技术 ,1996 ,18 (2) :157 - 161. 4 柏森 ,李小敏. 球状模型的最优参数估计〔J 〕. 物探化探计算技术 ,1998 ,20 (1) :25 - 29.
1 x11 x21
Y = (y1 ,y2 , …,ym) T ,D = 1 x12 x22 。
1 x1m x2m 则可将 (13) 式写成如下矩阵形式
min S = W T + UB
I T + DB Ε Y (14)
- I T + DB Φ Y
T,B Ε 0 求出 b0 ,b1 ,b2 后 ,就可按下式得到模型参数值 C ,C0 , α
42
本溪冶金高等专科学校学报 第 2 卷
m
∑ m i n S = tj
(8)
j =1
另外 ,考虑到在计算实验变异函数时 ,间隔 hj 较小时
参与计算γ3 ( hj) 的数据对数目较多 ,计算结果有较
高的可靠性和重要性 ,应拟合得好一些 、精确些 。随
着 hj 的增大 ,参与计算γ3 ( hj) 的数据对数目相对较 少 ,结果的可靠性则相应降低 。因此 ,在进行理论变
(3)
进行拟合以求出模型中的参数 C0 、C、a 并使之满足 C0 ≥0 、C > 0 、a > 0 的要求 。将上式改写成
γ( h)
=
C0
+
3C 2a
·h
+
C 2 a3
·( -
h3)
(4)
令
y = γ( h) , x1 =
h, x2 = -
h3 , b0 =
C0 ,
b1
=
3 2
C a
,
b2
=
C 2 a3
异函数拟合时 ,应使所拟合的理论变异函数在 hj 较 小时尽可能逼近γ3 ( hj) , hj 较大时误差可大些 。上 述思想可通过对不同的 tj 赋予不同的权值来实现 。 即将 (8) 式改写成
m
∑ m i n S = ωjtj
(9)
j =1
式中 ω, j 为权值 ,其值既可由下式计算 ,也可通过人
(12)
C0 = b0
a=
b1 3 b2
(15)
C
=
2 b1 3
b1 3 b2
2. 3 球状模型二级套合结构的拟合
如果认为采用球状模型拟合结果不理想 ,可采用
其套合结构形式进行拟合 。拟合前 ,先观察实验变异
函数曲线的特征 ,并把全部数据点分成前后区部分 。
其分界点选在曲线转折处 ,分界点既作为前区最后一
各自优点 ,且在计算上较目标规划拟合法更为简单 。
2 方法原理
2. 1 模型表达式 空间变量的地质统计学研究表明 ,在对实验变异 函数进行拟合时 ,球状模型及其套合结构形式是最常 用的理论模型〔1〕,球状模型的数学表达式为
0
h =0
γ( h) =
C0 +
C(
3 2
·h
a
-
1 2
·ha33) 0
<
h
Φ
a
(1)
C0 + C
h> a
式中 ,C0 为块金效应值 ; C + C0 为基台值 ; a 为变程 。
球状模型的套合多采用二级套合形式 ,二级以上很少 采用 。其表达式为
0
h =0
γ(h) =
C0
+
C1(
3 2
·h a1
-
1 2
·
h3 a31
)
+
C2(
3 2
·h a2
-
C0
+
C1
+
C2(
3 2
1 引言
在对实验变异函数进行拟合时 ,通常多用球状模 型或其套合结构形式〔1〕。目前已提出了好几种拟合 方法 ,如 :加权多项式拟合法〔2〕、线性规划拟合法〔3〕、 目标规划拟合法〔4〕。其中 ,加权多项式拟合法的优 点在于通过加权而考虑到了在计算实验变异函数时 , 不同滞后 h 下的数据对数目对实验变异函数计算结 果的可靠性影响 ,但也有可能因拟合参数值不符合模 型要求而失败〔3〕; 线性规划法虽然可通过对拟合参 数值附加约束而保证拟合成功 ,但却没有考虑到加权 问题 ;目标规划法则显得太繁杂 。为此 ,本文提出了 一种在目标函数中考虑对不同滞后 h 下所得到的实 验变异函数值进行加权处理的线性规划拟合方法 ,该 方法可综合加权多项式拟合法及线性规划拟合法的
=
3 ( C1 2 a1
+
C2 ) a2
,
b′2
=
1 2
(
C1 a31
+
C2 a32
)
(18)
则 (17) 式可写为
y = b′0 + b′1 x 1 + b′2 x 2
(19)
并利用 (13) 式可求出 b′0 ,b′1 ,b′2 。
(2) 用后区数据在 a1 ≤h ≤a2 内拟合
γ( h)
=
C0 +
)
=
C0 + C1 = b″0
b′2 解之得 :
3 2
·C2
a2
=
b″1
1 2
·Ca322
=
b″2
C0 = b′0
C1 = b″0 - b′0
a2 =
b″1 3 b″2
(25)
C2
=
2 b″1 3
b″1 3 b″2
a1 =
b′1 - b″1 3 ( b′2 - b″2)
3 结束语
本文所提出的在目标函数中考虑对不同滞后 h 下所得到的实验变异函数值进行加权处理的线性规 划拟合方法可综合加权多项式拟合法及线性规划拟 合法的各自优点 ,且在计算上较目标规划拟合法更为 简单 。
个数据点 ,也作为后区第一个数据点 。前区的数据用
来拟合第一段球状模型 ,后区的数据点用来拟合第二
段球状模型 。具体方法如下 :
(1) 用前区数据在 0 < h ≤a1 内拟合
γ( h)
=
C0
+
C1
(
3 2
·h
a1
-
1 2
·ha313 )
+
C2
(
3 2
·h
a2
-
1 2
·ha323 )
(16)
将上式写成
机对话方式给出 。
ωj =
Nj
m
·A
(10)
∑N j
j =1
式中 ,Nj 为 hj 时计算γ3 (hj) 的数据对数目 :A 为放大
系数 。再考虑到所拟合变量的非负要求 ,这样 ,实验
变异函数的拟合就可表达为
m
∑ m i n S = ωjtj j =1
整理得
m
∑ m i n S = ωjtj j =1
期
J OU RNAL
O F
本溪冶金高等专科学校学报 B ENXI COLL EGE OF M
E
TALL
U
R
GY
Vol. 2 Dec.
No. 4 2000
文章编号 :1008 - 3723 (2000) 04 - 0041 - 03
γ( h)
=
C0
+ 〔32
(
C1 a1
+
C2 a2
)
〕h
第 4 期 胡小荣. 变异函数球状模型的拟合研究
43
+ 〔12
(
C1 a31
+
C2 a32
)
〕(
-
h3)
(17)
记
y = γ( h) , x 1 = h , x 2 = - h3 , b′0 = C0 , b′1
(5)
则上式又可写成
y = b0 + b1 x 1 + b2 x 2
(6)
鉴于 C0 、C、a 均有非负要求 ,所以也要求 b0 ≥0 ,b1 ≥
0 ,b2 ≥0 。如果在计算实验变异函数时有 m 对数据 :
{hj γ, 3 (hj) (j = 1 ,2 , …, m) } ,可先将这 m 对数据按
b″2
=
1 2
·Ca322
(22)
则 (21) 式可写为
y = b″0 + b″1 x 1 + b″2 x 2
(23)
利用 (13) 式可求出 b″0 ,b″1 ,b″2 (3) 根据以下方程组求出模型所需参数
C0 = b′0
3 2
( C1 a1
+
C2 ) a2
=
b′1
1 2
(
C1 a31
+
C2 a32
变异函数球状模型的拟合研究
胡小荣
(本溪冶专·高职专资建系 ,辽宁 本溪 117022)
摘 要 :综合现有的加权多项式拟合法和线性规划拟合法的各自优点提出了在目标函数中对不同滞后 h 下所得实 验变异的函数进行加权处理的线性规划拟合方法 。 关键词 :变异函数 ;球状模型 ;线性规划 ;拟合 中图分类号 : TU 45 ;O 141. 4 文献标识码 :A
Regression of Sp herical Model of Variational Function
HU Xiao - rong ( Dept. of Source and A rchitectonical Engineering , Benxi College of Metallurgy and prof ession , Benxi , L iaoning ,117022)
(5) 变换成 :{yj ,x1j ,x2j (j = 1 ,2 , …,m) } ,并令
t j = | yj - b0 - b1 x 1 j - b2 x 2 j | ( j = 1 ,2 , …, m) (7)
按照最小二乘法原理 ,最佳拟合应满足
收稿时间 :2000 - 04 - 25 作者简介 :胡小荣 (1964 - ) ,男 ,江西余江人 ,本溪冶专·高职专资建系副教授 ,在读博士后.
C1 +
C2
(
3 2
·h
a2
-
1 2
·ha323 )
(20)
将上式写成
γ( h)
= ( C0 + C1)
+
(
3 2
·C2 )
a2
h
+
(
1 2
·Ca322 )
(-
h3)
(21)
记
y =γ( h) , x 1 = h , x 2 = - h3 , b0″= C0 + C1 ,
b″1 =
3 2
·C2
a2
,
Abstract The paper present s a linear progressing characterized by t he weighted processing of t he experimental variational f unction nuder different lags ″h″among objective f unctions , based on t he st udy of t he respective advantages of available regressive procedures of weighted polynomial and linear programming. Key words Variational f unction ; Spherical model ;Linear programming ; Regression
t j = | yj - b0 - b1 x 1 f - b2 x 2 f |
b0 Ε 0
b1 Ε 0
(11)
b2 Ε 0
tj Ε 0
( j = 1 ,2 , …, m )
上式是一个线性规划问题 ,进一步可将其写成
m
∑ m i n S = ωjtj j =1
t j Ε yj - b0 - b1 x 1 j - b2 x 2 j t j Ε - ( yj - b0 - b1 x 1 j - b2 x 2 j) b0 Ε 0 b1 Ε 0 b2 Ε 0 tj Ε 0 ( j =#43; b1 X 1 j + b2 x 2 j Ε yj
- t j + b0 + b1 x 1 j + b2 x 2 j Φ yj
b0 Ε 0
(13)
b1 Ε 0
b2 Ε 0
tj Ε 0
( j = 1 ,2 …, m ) 令 T = (t1 ,t2 , …,t m) T ,B = ( b0 ,b1 ,b2) T ,W = (ω1 ,ω2 , …ω, m) ,U = (0 ,0 ,0) , I 为 m 阶单位矩阵 ,
·h a2
-
1 2
·
h3 a32
)
1 2
·
h3 a32
)
0
<
h Φ a1
a1 < h Φ a2
C0 + C1 + C2
h > a2
(2)
2. 2 球状模型的拟合
对球模型来说 ,拟合主要是针对 (1) 式中 0 < h ≤ a 范围内的变异函数表达式
γ( h)
=
C0 +
C(
3 2
·h
a
-
1 2
·ha33 )
参 考 文 献
1 侯景儒 ,郭光裕. 矿床统计预测及地质统计学的理论和应用〔M〕. 北京 :冶金工业出版社 ,1993. 2 王仁铎等. 线性地质统计学〔M〕. 北京 :地质出版社 ,1988. 3 矫希国 ,刘超. 变差函数的参数模拟〔J 〕. 物探化探计算技术 ,1996 ,18 (2) :157 - 161. 4 柏森 ,李小敏. 球状模型的最优参数估计〔J 〕. 物探化探计算技术 ,1998 ,20 (1) :25 - 29.
1 x11 x21
Y = (y1 ,y2 , …,ym) T ,D = 1 x12 x22 。
1 x1m x2m 则可将 (13) 式写成如下矩阵形式
min S = W T + UB
I T + DB Ε Y (14)
- I T + DB Φ Y
T,B Ε 0 求出 b0 ,b1 ,b2 后 ,就可按下式得到模型参数值 C ,C0 , α
42
本溪冶金高等专科学校学报 第 2 卷
m
∑ m i n S = tj
(8)
j =1
另外 ,考虑到在计算实验变异函数时 ,间隔 hj 较小时
参与计算γ3 ( hj) 的数据对数目较多 ,计算结果有较
高的可靠性和重要性 ,应拟合得好一些 、精确些 。随
着 hj 的增大 ,参与计算γ3 ( hj) 的数据对数目相对较 少 ,结果的可靠性则相应降低 。因此 ,在进行理论变
(3)
进行拟合以求出模型中的参数 C0 、C、a 并使之满足 C0 ≥0 、C > 0 、a > 0 的要求 。将上式改写成
γ( h)
=
C0
+
3C 2a
·h
+
C 2 a3
·( -
h3)
(4)
令
y = γ( h) , x1 =
h, x2 = -
h3 , b0 =
C0 ,
b1
=
3 2
C a
,
b2
=
C 2 a3
异函数拟合时 ,应使所拟合的理论变异函数在 hj 较 小时尽可能逼近γ3 ( hj) , hj 较大时误差可大些 。上 述思想可通过对不同的 tj 赋予不同的权值来实现 。 即将 (8) 式改写成
m
∑ m i n S = ωjtj
(9)
j =1
式中 ω, j 为权值 ,其值既可由下式计算 ,也可通过人
(12)
C0 = b0
a=
b1 3 b2
(15)
C
=
2 b1 3
b1 3 b2
2. 3 球状模型二级套合结构的拟合
如果认为采用球状模型拟合结果不理想 ,可采用
其套合结构形式进行拟合 。拟合前 ,先观察实验变异
函数曲线的特征 ,并把全部数据点分成前后区部分 。
其分界点选在曲线转折处 ,分界点既作为前区最后一
各自优点 ,且在计算上较目标规划拟合法更为简单 。
2 方法原理
2. 1 模型表达式 空间变量的地质统计学研究表明 ,在对实验变异 函数进行拟合时 ,球状模型及其套合结构形式是最常 用的理论模型〔1〕,球状模型的数学表达式为
0
h =0
γ( h) =
C0 +
C(
3 2
·h
a
-
1 2
·ha33) 0
<
h
Φ
a
(1)
C0 + C
h> a
式中 ,C0 为块金效应值 ; C + C0 为基台值 ; a 为变程 。
球状模型的套合多采用二级套合形式 ,二级以上很少 采用 。其表达式为
0
h =0
γ(h) =
C0
+
C1(
3 2
·h a1
-
1 2
·
h3 a31
)
+
C2(
3 2
·h a2
-
C0
+
C1
+
C2(
3 2
1 引言
在对实验变异函数进行拟合时 ,通常多用球状模 型或其套合结构形式〔1〕。目前已提出了好几种拟合 方法 ,如 :加权多项式拟合法〔2〕、线性规划拟合法〔3〕、 目标规划拟合法〔4〕。其中 ,加权多项式拟合法的优 点在于通过加权而考虑到了在计算实验变异函数时 , 不同滞后 h 下的数据对数目对实验变异函数计算结 果的可靠性影响 ,但也有可能因拟合参数值不符合模 型要求而失败〔3〕; 线性规划法虽然可通过对拟合参 数值附加约束而保证拟合成功 ,但却没有考虑到加权 问题 ;目标规划法则显得太繁杂 。为此 ,本文提出了 一种在目标函数中考虑对不同滞后 h 下所得到的实 验变异函数值进行加权处理的线性规划拟合方法 ,该 方法可综合加权多项式拟合法及线性规划拟合法的
=
3 ( C1 2 a1
+
C2 ) a2
,
b′2
=
1 2
(
C1 a31
+
C2 a32
)
(18)
则 (17) 式可写为
y = b′0 + b′1 x 1 + b′2 x 2
(19)
并利用 (13) 式可求出 b′0 ,b′1 ,b′2 。
(2) 用后区数据在 a1 ≤h ≤a2 内拟合
γ( h)
=
C0 +
)
=
C0 + C1 = b″0
b′2 解之得 :
3 2
·C2
a2
=
b″1
1 2
·Ca322
=
b″2
C0 = b′0
C1 = b″0 - b′0
a2 =
b″1 3 b″2
(25)
C2
=
2 b″1 3
b″1 3 b″2
a1 =
b′1 - b″1 3 ( b′2 - b″2)
3 结束语
本文所提出的在目标函数中考虑对不同滞后 h 下所得到的实验变异函数值进行加权处理的线性规 划拟合方法可综合加权多项式拟合法及线性规划拟 合法的各自优点 ,且在计算上较目标规划拟合法更为 简单 。
个数据点 ,也作为后区第一个数据点 。前区的数据用
来拟合第一段球状模型 ,后区的数据点用来拟合第二
段球状模型 。具体方法如下 :
(1) 用前区数据在 0 < h ≤a1 内拟合
γ( h)
=
C0
+
C1
(
3 2
·h
a1
-
1 2
·ha313 )
+
C2
(
3 2
·h
a2
-
1 2
·ha323 )
(16)
将上式写成
机对话方式给出 。
ωj =
Nj
m
·A
(10)
∑N j
j =1
式中 ,Nj 为 hj 时计算γ3 (hj) 的数据对数目 :A 为放大
系数 。再考虑到所拟合变量的非负要求 ,这样 ,实验
变异函数的拟合就可表达为
m
∑ m i n S = ωjtj j =1
整理得
m
∑ m i n S = ωjtj j =1