单位圆与三角函数线
1.2.2单位圆与三角函数线
新课讲授
一、单位圆： 1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y P o
α
2、单位圆与x轴的交点： （1，0）和（-1，0）
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
A x
新课讲授
y
思考：你能表示出P点的坐标吗？
P R=1
N
(cosα,sinα)
o
α
M
3、单位圆与角α终边的交点： P(cosα,sinα) 其中，cosα=OM , sinα= MP x 角α的余弦和正弦分别等于角 α终边与单位圆交点的横坐标和 纵坐标。
AT称为角α的正切线. 即： AT tan
例题
例1 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 ⑴ sin ; 2cos 2 2 角的终边
y 1
P
-1
O -1
1 y 2
x
M1
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1 2cos 2
-1
y
1
3
1
y
[探索]
能否用几何方 式来表示正弦 函数呢？
O P
α
α的终边
x
M
A(1,0)
sinα= MP
α的终边
P
y
α
x
M
O
A(1,0)
sinα= MP
y
α
M
x
A(1,0)
O P
sinα= MP
α的终边
y
α
A(1,0)
O
x
sinαHale Waihona Puke MPy 二、三角函数线 P
α
α的终边
T
(完整)1.2.1单位圆与三角函数线(习题课)
若f为cos，则角的终边是直线x=m与单位圆的两个交点与 原点的连线），根据三角函数值的大小，找出在0~2π内的 取值，再加上周期，分清楚是优弧还是劣弧。
2
2
2
2
(5) cos 1 (6) cos 1 (7) cos 3 (8) tan 3
2
2
2
3
(9) tan 1(10)sin 1 且cos 1
2
2
2、利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或 “<”连接)：
(1)sin 23π > sin 43π；
2> (2)cos 3π
cos 43π；
2<
3
(3)tan3π
tan4π.
对于f 为 tan，则取点(1，m)，连接该点和原点即得角的 终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得 。 分 清 楚 是 优弧还是劣弧，同时注意区间是开区间还是闭区间.
跟踪演练2 (1)已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限， 若α∈[0,2π)，求α的取值范围.
可知
α
的取值范围为π4<α<π2或
圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而
得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交 角的终边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线 AT.
题型二 利用三角函数线解不等式 例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取 值范围.
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
高二数学单位圆与三角函数线(2019年10月整理)
由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法
单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与
x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为 A'(s,sin) N1
x
O M A(1,0)
B(0，1)，B’(0，－1).
B'(0,-1)
； 北京spa会所 / 北京养生会所 爱北京
；
又蕃军顷年破朱泚之众于武功 师无由归东矣 元帅雍王领子昂等从而见之 明日 传之子孙 子孙流播绝域 斜界连营 鹦鹉 乌纥遂夜领骑十余劫吐迷度 以吐蕃游骑及于好畤 薛仁杲奄有陇上之地 必蓬头垢面跣足蔬食 琥珀 斩首万余级 助德宗山陵金银 其火队吐蕃没勒遽引延素等疾趋至帐前 " 惟大相生死之 日望大臣充使 示以祸福 因绐吐蕃曰 今君以国亲将命 边人大扰 马牛羊一万余头匹 一彼一此 府州皆置长史 并而食之 又命元帅广平王见叶护 身长八九寸 武 破之必矣 以回纥和亲故也 焚烧庐舍 一宿而死 襟带要害 大破吐蕃于青海之上 悉归之 则天临朝 "己丑 十八年十月 大咒呼鸟 米擒氏 以卫尉少卿 征兵用金箭 诏给递乘放还蕃 会昌二年 "遂筑城邑 铺鸿名而垂永久 彼无此诈 永泰二年二月 公主再俯拜讫 遣其将王佖夜袭贼营 名军为怀德军 连战三日 皆被边将不许 各守见管本界 矩遂奏与之 十一月 且俾知愧也 获大将论赞热及首领献于京师 死伤颇众 北 路兵马使邢玼并诸州刺史董怀愕等率兵四千进攻栖鸡 其下怨之 夫鹅 大军继之 及阿史那社尔之讨龟兹 浣诱赂蕃中给役者 约以更不相侵 日蹙边城 "我闻
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
第一章 1.2.2单位圆与三角函数线
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
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[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝ 的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
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1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P， 过点 P 向 x 轴作垂线，
本 小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三 课 时 角函数线的变化规律，回答下列问题． 栏 目 问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 开 关 可得：sin α的范围是 －1≤sin α≤1 ；cos α的范围是 －1
≤cos α≤1 .
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本 课 时 栏 目 开 关
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1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1， 在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本 课 时 栏 目 开 关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋ 或 α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋ ，n∈Z}． 4
三角函数线(三)》
y
P(x , y)
的终边
O
x
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想一想： y 由于tan = ，能否找到使x = 1的点？
x
y
P(x , y)
的终边
A(1,0)
O
x
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想一想： y 由于tan = ，能否找到使x = 1的点？ 过点A(1,0)的切线上的点.
x
y
P(x , y)
y
A
A
O
x
O
x
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 T
P(x , y)
的终边
P(x , y)
y
A
A
O
x
O
T
x
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 T
P(x , y)
的终边
P(x , y)
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例1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线. 5 (1) ; ( 2) ; 3 6
2 ( 3) ; 3
13 ( 4) . 6
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例2. 若0
2
，证明sin cos 1.
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y 的终边
P(x , y)
的终边 y
P(x , y)
O
M x
O
x
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3．三角函数线： ⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin 的有向线段．
第一章 单位圆与三角函数线
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知识预览
1.有向线段： 带有方向的线段. 2.三角函数线：如图，
已知角α的终边位置.则由三角函数的定义可知点 P 的坐标 为(cosα,sinα).点 T 的坐标为(1,tanα).其中 sinα =MP,cosα=OM,tanα=AT.把有向线段 MP、OM、AT 叫做α的正 弦线、余弦线和正切线.
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【 例
利用三角函数线求定义域 2 】 求 下 列 函 数 的 定 义 域 ：
2cosx − 1 ;(2)y=lg(3-4 sin 2 x ). (1)y=
思路分析： 本题考查利用三角函数线求函数定义域.解 答本题可首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用 三角函数线画出角 x 满足条件的终边范围.
答案：B
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7 2.如果 MP 和 OM 分别是角α= 8 π 的正弦线和余弦线，那
么下列结论中正确的是( ) A.MP<OM<0 B.OM>0>MP C.OM<MP<0 D.MP>0>OM
答案：D
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3.比较大小：sin1＿＿＿＿
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●想一想：正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？
提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线 提示： 由原点指向垂足；正切线由切点指向α的终边所在直线与切 线的交点.
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高中数学同步教学课件 单位圆与三角函数线
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
1234
4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
高一数学 单位圆与三角函数线
单位圆与三角函数线一.新课要点1.单位圆：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，ｙ），x 轴的正半轴与单位圆相交于A （1，0），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T .2.有向线段3.三角函数线：注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.二、范例讲解例1、分别作出23π和34π的正弦线、余弦线和正切线。
例2、比较0sin 400与0sin 410的大小例3、若02x π<<，比较,sin ,tan x x x 的大小例4、求满足下列条件的x 的集合（1）tan 1x ≤- （2）1sin 2x >（3）3cos 2x < （4）sin cos x x >例5．求函数的定义域：()sin log 2cos 1x y x =+例6如果24πθπ<<，那么下列各式中正确的是 ( )A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θ Ｄ.cos θ＜sin θ＜tan θ例7.已知点(cos sin ,tan )P ααα-在第二象限,则在[]0,2π内α的取值范围是( ) A.35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例8已知222181()log sin 16f x x x π=+-求()f x 的定义域练习题： 1.25sin6π的值为( ） A.12 B.32 C.12- D.32- 2.已知α是三角形的内角,则sin ,cos ,tan ααα中可能取负值的有( ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.以下四命题:①终边相同的角的同名三角函数值相等②终边不同的角的同名三角函数值不相等③若两个角的同名三角函数值相等,则这两个角相等④若两个角的同名三角函数值相等,则这两个角有相同的终边.其中错误命题的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是( )A.sin1sin1.2sin1.5>>B.sin1sin1.5sin1.2>>C.sin1.5sin1.2sin1>>D.sin1.2sin1sin1.5>>。
单位圆与三角函数线已经更新
(2)y=lg sinx+ cos x .
解：(1)如图.
3 ∵2cosx- 3 ≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ - 6 ,2kπ + 6 ］ (k∈Z).
课堂互动
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例4.确定下式的符号
x P
sin 1 cos 1
解： 因为1
由三角函数线得
（2）在单位圆过点A(1，0)的切线上取 AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1， P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值 集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝ =｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
课堂互动
利用三角函数线解三角不等式 例3.在单位圆中画出适合下列条件的 角α终边的范围，并写出角α的集合。
1 2
变式：求函数 y 2 sin x 3的定义域
解：要使 2 sin x 3 有意义， 只需2 sin x 3 0, 3 , 2 由三角函数线，得 即sin x
3 2 3 2
y
3 2
3 2
x O
2 x 2 k x 2 k , k Z 3 3
4
O
M
y
sin 1 cos10
课堂互动
练习：比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
利用三角函数线证明有关不等式
例5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，
1.2.2 单位圆与三角函数线
2π 4π [解析] 令 α＝ 3 、β＝ 5 . 如图所示，
第一章
1.2
1.2.1
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→ → P1、P2 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点，M1P1、M2P2 → → 分别是角 α、β 的正弦线，AT1、AT2分别是角 α、β 的正切线． → → → → (1)∵|M1P1|>|M2P2|且M1P1与M2P2都与 y 轴正方向一致， 2π 4π ∴sin 3 >sin 5 . → → → → (2)∵|AT1|>|AT2|且AT1与AT2都与 y 轴正方向相反， 2π 4π ∴tan 3 <tan 5 .
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人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
基本初等函数(Ⅱ)
第一章
算法初步
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第一章
1.2 1.2.2 任意角的三角函数 单位圆与三角函数线
第一章
MP、AT，则MP＝sinα、AT＝tanα.
第一章
1.2
1.2.1
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1 1 ∵S△AOP＝2OA· MP＝2sinα， 1 1 2 S 扇形 AOP＝2αOA ＝2α， 1 1 S△AOT＝2OA· AT＝2tanα， 1 1 1 又∵S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT，∴2sinα<2α<2tanα， 即 sinα<α<tanα.
1 在用两个字母表示有向线段时，将________ 字母写在前， 终点 ________ 字母写在后，不能将字母顺序颠倒．
高中数学必修四第一章单位圆与三角函数线
人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。
(2> cos1和cos1.5。
(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。
(2> cos1>cos1.5。
(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
课件3：7.2.2 单位圆与三角函数线
那么，比值yr叫作 α 的正弦，记作 sin α，即 sin α＝yr； 比值xr叫作 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝xr.
3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值 利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当 α 的终边落在坐
标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：
函数名称 终边位置
83π＝
3 2.
方法归纳 (1)先将角α表示为α＝β＋2kπ(－π<β≤π，k∈Z)的形式， 则角β的终边即为角α的终边，k为x轴的非负半轴逆(k>0) 或顺(k<0)旋转的周数． (2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转 化为直角三角形的边角关系求解，进而即得角α的正弦、 余弦值．
跟踪训练 2则．s已in 知α＝角__α_－的__45终__边_，和c单os位α＝圆_的__交_35_点__为_．P35，－45，
跟踪训练
3．(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D ． 第 四 象
限
(2)填空：
二
①如果sin α>0，且cos α<0，则α是第____四____象限角；
②如果cos α>0，且sin α<0，则一α是或第三________象限角； ③如果sin αcos α>0，则α是第_二__或__四___象限角；
解：(1)若 α 终边在第一象限内，设点 P(a，2a)(a>0)是其终
边上任意一点，因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a，
所以 sin
α＝yr＝
2a ＝2 5a
5
5，cos
α＝xr＝
a＝ 5a
5 5.
4单位圆与三角函数线
2 2 解析： 当 α 的终边在直线 y＝x 上时， 直线 y＝x 与单位圆的交点为 ， ， 2 2 2 2 － ，－ . 2 2
π 5π 此时，α＝ 和 ，如图所示． 4 4
π 5π 当 α∈4， 4 时，恒有 MP>OM， π 5π 而当 α∈0，4∪ 4 ，2π时，则有 MP<OM，因此选 C.
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课时作业(04)
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5．设 a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．b＜a＜c D．a＜c＜b
)
解析：如图作出角 α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然 b＝cos(－ 1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即 c＜a＜b. 答案：C
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作业 ①了解单位圆的概念．②了解正弦线、余弦线、正切线的概 目标 念及意义．③能借助单位圆理解三角函数的定义． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
π 3π 答案：4， 4
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9．若 α、β 为第二象限角，且 sinα＞sinβ，则 cosα 与 cosβ 的大小关系为 __________．
人教B版高中数学必修第三册7.2.2 单位圆与三角函数线【课件】
到α的取值范围是_______________；
3
3
解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，
π
3
5π
3
所以α的范围是0<α< 或 <α<2π.
3
，cos
2
1
α> ，利用三角函数线得
2
(2)已知0≤x≤2π，且sin x<cos x，则x的取值范围是(
3
3
5 7
单位圆
(2)角α的________和________分别等于角α终边与单位圆交点的横坐
余弦
正弦
标和纵坐标．
知识点二 三角函数线
MP
OM
AT
状元随笔
三角函数线的方向是怎样确定的？
[提示] 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函
数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．
基 础 自 测
A． 0， ） ∪ （ ，
B．( ， )∪( ， )
4
4
4
C．(π，2π)
D．
4
0， ）
4
4
∪
答案：D
解析：画出单位圆以及0≤x≤2π，sin x＝MP，cos x
＝OM，
∵0≤x≤2π，且sin x<cos x，
π
5π
从图中可知x的取值范围是[0， ) ∪ ( ，2π].故选D.
4
4
4
5
（ ，2
【思考探究】 1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin
α)，点T的坐标为(1，tan α) 呢？
[提示] 由三角函数的定义可知sin α＝ ，cos α＝ ，而在单位圆中，
单位圆与三角函数线
3
的终边
的终边与单位圆交于 P
P
点 ， 作 PM Ox 轴 ， 垂 足 为 M ， 则
2 2 sin MP ,cos OM ． 3 3
M
o
A1,0
x
2 即 3 的正弦线为 MP ，余弦线为 OM
MP OM
3 反馈练习：分别作出 和的正弦线和余弦线 3 4 并比较其数量的大小。
tan
x, y
y y x x1 1, y
的终边
y
y
T
的终边
1,tan
T 1,tan
T 1,tan
o
A1,0x
tan AT 或AT
T
结论： 有向线段 AT (或 AT )叫做 的正切线
角 的终边在四个象限的情况
三角函数线
温故知新
y
P cos x, y ,sin
的终边
o
M A1,0
x
| cos || x || OM |
| sin || y || MP |
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
y 则 cos x ,sin y , tan ( x 0) x
用图
思想
三 单 角 位 函 圆 数 线
比 较 大 小
解 不 等 式
数 形 结 合
Thanks
角 的终边在四个象限的情况
y
的终边
P
M
的终边
P
y
y
y
M
o
x
Mo
x
o
x
o
M
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h
1
1.单位圆: 半径为1的圆叫做单位圆
Y
B(0,1)
C(-1,0)
O
A(1,0)
X
D(0,-1)
h
3
2. 三角函数线
C(-1,0)
Y
B(0,1)
T P
O
M A(1,0)
sinα=MP cosα=OM
tanα=AT
XD(0,-1)h Nhomakorabea4
N
h
5
y
α的终边 α的终边
y
T
P
P
A
o MA x
MP＜α＜AT
sinα＜α＜tanα
h
13
课堂小结
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线比较三角函数值的大小； ③利用三角函数线确定角的集合或范围.
h
14
1sin 1
2
5 6 -1
y
1
6
1y
1 2
O
x
(2k,2k5)kZ-1
6
6h
11
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cos 1
2
y
1
3
-1
1
O x1 x
2
2k3,2k53kZ-1
5 3
h
12
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα.
S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
MP·OA/2 ＜α·OA ·OA /2 ＜OA ·AT /2
Mo
x
(Ⅰ) y
(Ⅱ)
T
y
T
M o
Ax
P
α的终边
(Ⅲ)
h
MA
o
x
PT
α的终边 (Ⅳ)
6
例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
h
7
例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.
解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
h
8
例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑴sin 1;
2
⑵ tan 2.
角的终边
y
1
N
P
●
y 1 2
-1 O
1
x
-1
h
9
例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑴sin 1;
2
⑵ tan 2.
y P1
-1 O
A
1
x
角的终边
-1 P
T
h
10
例4:在单位圆中作出符合条件的角的终边: