动态立体几何x

， 另当平面 ABD 与平面 BCD 垂直时， 2
CF 与 BE 垂直， 故答案只能是 B 或 C （排除 A） ， 当三角形 ABD 不翻折时 CF 与 BE 成
而当三角形 ABD 翻折时， CF 与 BE 成异面直线，如有比 故 B 选项不成立.
更小的角，则该角定能取到， 3
解法 ： 从本质上讲， DEF 绕 BD 旋转形成以圆 O 位底面的两个圆锥 D - O，F - O ， 解法3 2.
E ' FK EFE ', E ' OE ，在等腰三角形
E ' OE 和 等 腰 三 角 形 E ' FE 中 ， 边 E ' E 共 底 ， 腰 FE FE ' OE OE ' ，所以 E ' FE E ' OE ，故.
专题
在菱形 ABCD 中，BAD 60 ， 线段 AD ，BD 例例 1.（2015 年浙江省高中学业水平 18） 的中点分别为 E ， F ，现将 ABD 沿对角线 BD 翻折，则异面直线 BE 与 CF 所成角的取 值范围是（ C ） A．
, 6 3
B.
, 6 2
A E E’ F
D O C K B
例5.（2015浙江卷8）
如图，已知 ABC ， D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将 ACD 折成 ACD ，所成二面角 A CD B 的平 面角为 ，则（ ）
B
见《五三》P176—1
B. ADB C. ACB D. ACB
A. ADB
A A’ D O C
解法1. 解法2.
B
例 例 6.（2016 年浙江理科 14）如图，在△ ABC 中，
AB BC 2 ， ABC 120 . 若平面 ABC 外的点
P 和线段 AC 上的点 D ， 满足 PD DA ，PB BA ， 则四面体 PBCD 体积的最大值是 1 .
C.
, 3 2
D.
2 , 3 3
A
D E F A C
E D
F
C
B
B
解法 思路 1. 1（特殊值法） ：作为一道选择题，需秉持“小题小做”的思想，其中特殊法（特
殊位置， 特殊图形， 特殊点） 是一种非常有效的策略. 对于本题由异面直线所成角的定义知， D 选项是错的， 由于异面直线所成角的范围是 0,
A
H E
D
H’
F
C
B
例2. 例 （2012 理科 10） 已知矩形 ABCD ，AB 1 ，BC 2 ， 将△ ABD 沿矩形对角线 BD
所在直线进行翻折，在翻折过程中， B A. 存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置，三直线“ AC 与 BD ” ， “ AB 与 CD ” ， “ AD 与 BC ”均不垂直 A2 A D A B B C A1 C P Q D
P
2
A
D
C
解法1.
B
解法2.
感谢您的聆听！
6 ， 6
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H B
l
这也是圆锥模型的重要信息. 过点 B 作 l / / AC ， 此时， 点 D ' 在圆锥的底面上转动，它在直线 l 上的投影点是不动点 H ，而直线 AC 与 BD ' 所成角 为 D ' BH ，于是 cos D ' BH
BH BH 6 . BD ' BF 6
例例 4. 如图， BAD 60 ， 在菱形 ABCD 中， 取 BC 中点 K ，
（ ）
解：
例 3. （2016 年浙江文科 14）如图，已知平面四边形 ABCD ， AB BC 3 ， CD 1 ， 例
AD 5 ， ADC 90 ，沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△
ACD ' ，则直线 AC 与 BD ' 所成角的余弦的最大值是
见《五三》P176—6
6 . 6
E A F
D
连结 EK ， DK ，则将△ ABD 沿 BD 旋转过程中，记二面角 A BD C 的平面角为 . B A. E ' FK B. E ' FK C. E ' DK D. E ' DK
（ ）
C K B
解法1. 解法 1：特殊法
当 =0 时， EFK 0 ， EDK ； 当 =180 时， EFK =180 ， EDK ；故答案选 B.
D C
D’
A
B
解法1.
3：本题根据空间直线所成的角化为平面角，由于 BD ' 是动直线，而 B 是定点， 解法2. 所以考虑过 B 点作差 AC 的平行线 l ，把空间直线关系 化为 BD 与直线 l 所成角. 由翻折关系， 知点 D 在以 AC D 为轴，的圆锥上，所以结合图像，可以马上看出余弦值 D’ 的最大值应该在 D 点落在平面 ABC 上的时候，接下来 的 解 题 关 键 在 于 由 已 知 量 得 出 cos BCA 与 C O A cos DCA 关系，这估计也是本题最意外的地方. 构造圆锥， 由题意中的翻折， 可以联想到圆锥模型， F 如图， 通过运算可知：cos DCA cos BCA
， 3
解法4 2. 思路 ：如图，当△ ABD 绕 BD 旋转的过程中， BE 绕 BD 旋转形成一个以 FD 为轴，
轴截面夹角为 60 的圆锥， 显然由于 FC FD ， 所以
2 FC 与该圆锥母线的夹角的范围时 , ，从而异 3 3 面直线 BE 与圆 F 的半径所成角的范围是 , . 3 2