高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案

广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案
课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》
授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠
教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修2
1、教学目标
（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；
以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。

（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。

（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。

2、教学重点、难点
重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；
（2）异面直线及其所成角的概念。

难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。

3、教学方法与手段
本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。

4、教学过程
（一）创设情境，提出问题
1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？
学生：相交、平行。

老师：那么空间中的两条直线呢？
引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：
（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；
（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。

（二）启发引导，构建概念
1、让学生观察长方体模型（如图），发现：
直线'A B与直线'
C C既不平行也不相交。

学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征
，从而构建：
【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的
两条直线叫做异面直线。

注1：对“任何”这个词的理解。

注2：判别两条直线异面的主要依据 :
两条直线既不相交、又不平行。

2、指导学生作图：
为了表示异面直线不平行且不相交的特点，作图时，常用一个或两个平面衬托（如图）：
3、让学生把事先制作好的正方体展开图（如图）复原成正方体，找出,,,AB CD EF GH 所在直线中有几对异面直线。

学生在动手、观察的过程中进一步加深对异面直线的认识，并归纳出：
【空间中直线与直线之间的位置关系】
⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（三）课堂练习，巩固双基
异面直线是指（ ）
A.没有公共点的两条直线
B.平面内的一条直线和平面外的一条直线
C.既不相交，又不平行的两条直线
D.分别在两个不同平面内的两条直线
分析：辨析题通常可以借助我们熟悉的模型（如长方体模型），通过使用反例来解决。

答案：C
（四）讨论探究，发现新知
1、设置疑问：我们知道，在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行。

那么在空间中，是否有类似的规律呢？
让学生观察长方体模型（如图），思考：
'//','//'BB AA AA DD ,那么'//'BB DD 吗？ 从而直观感知：
【公理4】空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。

结论：平行线的传递性可以由平面推广到空间。

2、设置疑问：我们知道，在同一平面内，如果两个角的两边分
别对应平行，那么这两个角相等或互补。

那么在空间中，是否有
类似的规律呢？
让学生观察图形，发现：AOB
A O B
∠，
∠与'''
∠的两边分别对应平行，容易看出：
A B C
∠与'''
ADC
ADC ∠'''A D C =∠，ADC ∠0'''180A B C +∠=，从而直观感知：
【等角定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。

结论：等角定理也可以由平面推广到空间。

3、【异面直线所成的角的概念】已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线'//,'//a a b b ，我们把'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角。

若两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

故空间中两条直线互相垂直有相交垂直和异面垂直两种情况。

指导学生作图：在具体图形中找出异面直线所成的角，巩固异面直线所成的角的概念。

结论1：异面直线所成的角的范围：( 0O , 90O ]；
结论2：将空间图形问题转化为平面图形问题是解决立体几何问题的基本思路。

（五）知识应用，例题学习
【例2】如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，
BC ，CD ，DA 的中点。

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

分析：借助中位线定理，分别在△ABD 和△BCD 中证明EH//BD
且EH=12BD ，FG//BD ，且FG=12
BD ，再由公理4证得EH//FG 。

方式：采用启发式讲解，引导学生进行口答，并向学生渗透将空间图形问题转化为平面图形问题的基本思路。

【例3】如图，已知正方体''''ABCD A B C D -
1）哪些棱所在直线与直线'BA 是异面直线？
2）直线'BA 与'CC 的夹角是多少？
3）哪些棱所在直线与直线'AA 垂直？
分析：第1小题让学生进一步理解异面直线不相交不平行的特征；
第2小题让学生学会寻找异面直线所成的角的方法；第3小题让学生明白空间两直线垂直包括共面垂直和异面垂直两种情况。

方式：采用启发式讲解，引导学生进行口答，对于学生回答过程中出现分析不正确或不严谨的地方我再加以纠正，引导学生形成正确的概念。

（六）初步运用，巩固提高
1、（1）如图，'AA 是长方体的一条棱，长方体中与'AA 平行的棱共有 条;
（2）如果//'',//'',OA O A OB O B 那么AOB ∠和'''A O B ∠ 。

答案：（1）三；（2）相等或互补
2、如图，已知长方体''''ABCD A B C D -中，23,'2AB AD AA ===。

（1）BC 和''A C 所成的角是多少度？
（2）'AA 和'BC 所成的角是多少度？
答案：（1）45O ；（2）60O
（七）反思小结，深化目标
空间中直线与直线之间有且只有三种位置关系：
⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
1、平行直线 公理4
2、相交直线 等角定理
异面直线所成的角 3、异面直线
（八）课后作业，自主学习 基础题：课本P51 A 组第6题 （公理4的应用）
课本P52 B 组第1题（1）（3） （异面直线及异面直线所成的角的应用） 提高题：课本P52 B 组第1题（2） （异面直线所成的角的应用）
课外探究：课本P47探究 （平面性质向空间推广未必都能得到正确的结论）
【板书设计】
投影区 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、异面直线的概念
二、公理4
三、等角定理
四、异面直线所成的角的概念
作图区
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

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