第十章 复数的概念及运算-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共33张PPT)

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④zz12=ac+bdc2++db2c-adi(c2+d2≠0). 3.常用结论 ①(1±i)2=±2i;②11+ -ii=i;③in+in+1+in+2+in+3=0(n∈Z).
1.(2019 年新课标Ⅰ)设 z=13+-2ii,则|z|=( C )
A.2
B. 3
C. 2
D.1
解析:方法一,z=13+-2ii=13+-2ii11--22ii=1-5 7i,则|z|=
1.故选 A.
考点 1 复数的概念
例 1:(1)(2019 年新课标Ⅱ)设 z=i(2+i),则-z =( )
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
解析:z=i(2+i)=-D
(2)设 i 是虚数单位,复数 z=12++aii为纯虚数,则实数 a= ________.
答案:D
【规律方法】(1)复数与其共轭复数的模相等,即|z|=| z |= a2+b2.
(2)共轭与模是复数的重要性质,注意运算性质有: ① z1±z2 = z1 ±z2 ; ② z1·z2 = z1 ·z2 ; ③z·-z =|z|2=|-z |2; ④||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|; ⑤|z1z2|=|z1|·|z2|; ⑥zz12=||zz12||.
答案:B
(5)(2019 年江苏)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是________.
解析:∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i, 令 a-2=0 得 a=2. 答案:2 【规律方法】(1)复数 a+bi(a,b∈R)的虚部是 b 而不是 bi; (2)复数 z=a+bi(a,b∈R),当 b≠0 时,z 为虚数;当 b= 0 时,z 为实数;当 a=0,b≠0 时,z 为纯虚数.
方法二(排除法),将选项中 a 的值代入题目中可得答案.若
a=-2,则 a2-a-2≠0,不符合题意,故舍去;若 a=-1,
则 a+1=0,此时 z 为实数,故舍去.选 D.
答案:D
【失误与防范】(1)两个复数不全为实数时不能比较大小, 只有相等和不相等的关系.
(2)复数 a+bi(a,b∈R)的虚部是 b 而不是 bi. (3)对复数进行分类时要先将它整理成 a+bi(a,b∈R)的形 式,判定一个复数是纯虚数需 a=0,且 b≠0;判定一个复数是 实数,仅根据虚部为零是不够的,还要保证实部有意义才行.
从而 p∧( q)真.故选 C.
答案:C
(3)若复数 z=(a2-a-2)+(a+1)i 为纯虚数(i 为虚数单位),
则实数 a 的值是( )
A.-2 C.2 或-1
B.-2 或 1 D.2
解析:方法一,由题意得aa+2-1a≠-02,=0, 即(a-2)(a+1)
=0,且 a≠-1,解得 a=2.选 D.
易错、易混、易漏 ⊙对复数概念理解不透彻致误
例题:(1)设 z=1+ai (a∈R),若 z(2-i)为实数,则 a=( )
A.-2
B.-12
C.1
D.2
解析:z=1+ai =1-ai,z(2-i)=(1-ai)(2-i)=-a+2-
(2a+1)i∈R,∴2a+1=0,a=-12.
答案:B
(2)(2018 年湖南益阳、湘潭调研)已知命题 p:若复数 z 满
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次 方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2.两个复数不全为实数时不能比较大小,只有相等和不相 等的关系.
3.复数 a+bi(a,b∈R)的虚部是 b 而不是 bi. 4.对复数进行分类时要先将它整理成 a+bi(a,b∈R)的形 式,判定一个复数是纯虚数需 a=0,且 b≠0;判定一个复数是 实数,仅根据虚部为零是不够的,还要保证实部有意义才行.
D.x2+(y+1)2=1
解析:z 在复平面内对应的点为(x,y),|z-i|=|x+(y-1)i|
= x2+y-12=1,即 x2+(y-1)2=1.
答案:C
(4)(2016 年新课标Ⅱ)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内
对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( )
A.(-3,1)
152+-752= 5205= 2.
方法二,|z|=|1|3+-2ii||=
312++212=
10= 5
2.
2.(2018 年新课标Ⅰ)设 z=11- +ii+2i,则|z|=( C )
A.0
B.12
C.1
D. 2
3.(2017 年新课标Ⅰ) 下列各式的运算结果为纯虚数的是
( C) A.i(1+i)2
B.i2(1-i)
C.(1+i)2
D.i(1+i)
4.(2016 年新课标Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其
中 a 为实数,则 a=( A )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
5.(2016 年新课标Ⅰ)设 x(1+i)=1+yi,其中 x,y 为实数,
则|x+yi|=( B ) A.1
∴|z|= -122+-12= 25,故选 C.
答案:C
【规律方法】复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i;z1z2=(ac -bd)+(bc+ad)i;zz21=ac+bdc2++db2c-adi(c2+d2≠0).复数的运 算要做到细心准确.复数的除法是重中之重!
考点 2 复数的模及几何意义
例 2:(1)(2017 年新课标Ⅲ)复平面内表示复数 z=i(-2+i)
的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:z=i(-2+i)=-1-2i,点(-1,-2)位于第三象限.
故选 C.
答案:C
(2)(2019 年新课标Ⅱ)设 z=-3+2i,则在复平面内-z 对应
解析:1-2 i=1-21i+1+i i=212+i=1+i.共轭复数是 1-i.
答案:B
(4)(2018 年福建福州五校联考)若复数12-+bii(b∈R)的实部与
虚部相等,则 b 的值为( )
A.-6
B.-3
C.3
D.6
解析:12-+bii=12-+bii22--ii=2-b-52b+1i, 由12-+bii(b∈R)的实部与虚部相等,得2-5 b=-25b+1,解 得 b=-3.
i.故选 D.
答案:D
(4)(2018 年新课标Ⅲ)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i
B.-3+i
C.3-i
D.3+i
解析:(1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.
答案:D
(5)(2018 年新课标Ⅱ)11+ -22ii=( A.-45-35i C.-35-45i
)
B.-45+35i D.-35+45i
解析:11+ -22ii=1-12+i21i+2 2i=-35+4i=-35+45i.
答案:D
(6)已知复数 z 满足 z(1+i)2=2-i(i 为虚数单位),则|z|为
()
5
A.2
B. 5
C. 2
D.1
解析:由 z(1+i)2=2-i,得 z=12+-ii2=2- 2i i=22-i2ii=
-12-i,
B. 2
C. 3
D.2
解析:∵x(1+i)=1+yi,∴x+xi=1+yi.解得 x=1,y=
x=1.|x+yi|=|1+i|= 2.故选 B.
6.(2015 年新课标Ⅰ)设复数 z 满足11+ -zz=i,则|z|=( A )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
解析:由11+ -zz=i,得 z=-11++i i=-11++ii11--ii=i.故|z|=
第十章 复数的概念及运算
课标要求
考情风向标
1.理解复数的基本概念以
1.复习时要理解复数的相关概念,如 实部、虚部、纯虚数、共轭复数等,
及复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法
以及复数的几何意义. 2.要把复数的基本运算作为复习的
及其几何意义.
重点,尤其是复数除法的运算,如
3.能进行复数代数形式的 复数幂的运算与加法、除法的结合,
则 a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:由已知,得 4a+(a2-4)i=-4i,∴4a=0,a2-4=
-4,解得 a=0.故选 B.
答案:B
(3)(2017 年新课标Ⅱ)31+ +ii=(
)
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i
解析:由复数除法的运算法则有:31+ +ii=3+i21-i=2-
足(z-i)(-i)=5,则 z=6i;命题 q:复数11++2ii的虚部为-15i,
则下面为真命题的是( )
A.( p)∧( q)
B.( p)∧q
C.p∧( q)
D.p∧q
解析:由题意,得 z-i=-5 i=5i,∴z=6i,p 真;
11++2ii=11++2ii11--22ii=3-5 i,其虚部为-15,q 错, q 真,
解析:z=12++aii=1+ai52-i=2+5 a+2a-5 1i, 由于 z 为纯虚数,且 a∈R, ∴2a- 5 1≠0 且2+5 a=0,则 a=-2. 答案:-2
(3)(2018 年浙江)复数1-2 i (i 为虚数单位)的共轭复数是
() A.1+i C.-1+i
B.1-i D.-1-i
考点 3 复数的四则运算
例 3:(1)(2019 年新课标Ⅲ)若 z(1+i)=2i,则 z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
解析:z=12+i i=12+ii1-1-i i=1+i.故选 D.
答案:D
(2)(2015 年新课标Ⅱ)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,
四则运算,了解复数代数 复数的乘法与共轭复数的性质相结
形式的加减运算的几何意

合等.由于考题较容易,所以重点练
基础
1.复数的有关概念 (1)形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是复 数的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di⇔ba==dc, (a,b,c,d∈R).
的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析: z =-3-2i,对应的点为(-3,-2)位于第三象限.
答案:C
(3)(2019 年新课标Ⅰ)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面内
对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
(3)a+bi 的共轭复数为 a-bi(a,b∈R). (4)复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b)一一对 应. (5)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模为|z|= a2+b2. 注意:任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不 能比较大小.
2.复数的运算 复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: ①z1+z2=(a+c)+(b+d)i; ②z1-z2=(a-c)+(b-d)i; ③z1z2=(ac-bd)+(bc+ad)i;
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
解析:要使复数 z 对应的点在第四象限,则应满足
m+3>0, m-1<0.
解得-3<m<1.故选 A.
答案:A
(5)(2018 年北京)在复平面内,复数1-1 i的共轭复数对应的 点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:复数1-1 i=1-1i+1i+i=12+12i.共轭复数对应的点为 12,-12,位于第四象限.
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