大学高数下册试题及答案 对坐标的曲线积分

作业14 对坐标的曲线积分

1．计算下列第二型曲线积分：

(1) ()()d d L x y x x y y ++-⎰，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22

221x y a b

+=一周；

解：L 为cos ,sin ,:02x a t y b t t π==→

原式()()20

sin cos sin cos cos sin a t a t b t b t a t b t dt π

=

-++-⎡

⎤⎣⎦⎰ 2222

2200sin 2cos 2sin 2cos 20224a b ab t a b ab t t dt t π

π

⎛⎫⎛⎫++=-=+= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎰

(2)

()d d 1d x x y y x y z Γ

+++-⎰

，其中Γ是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线； 解：Γ是

111,1,12,13,:01213141

x y z x t y t z t t ---===+=+=+→--- 原式()()()1

121231121t t t t dt =+++++++-⎡⎤⎣⎦⎰

()()

1

12

6146713t dt t t

=+=+=⎰

(3)

d d d y x x y z Γ

-+⎰

，其中Γ是圆柱螺线2cos ,2sin , 3 x t y t z t ===从0t =到

2πt =的一段弧；

解：Γ是2cos ,2sin , 3 ,:02x t y t z t t π===→

原式()()20

2sin 2sin 2cos 2cos 3t t t t dt π

=

--+⎡

⎤⎣⎦⎰ ()()2200

432dt t π

π

π=

-+=-=-⎰

(4) 计算曲线积分

(12e )d (cos e )d y y L

xy x y x y +--⎰

,其中L 为由点A (-1, 1)沿抛物线2

y x =到点O (0, 0), 再沿x 轴到点B (2, 0)的弧段． 解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分

2:,:10AO y x x =-→；:0,:02OB y x =→

原式2

2

2

2

2

1

(12e )d (cos e )2dx (e )d x x xx x x x x x -=

+--+⎰⎰

2

2

2

3

2

21

(12e 2cos 2e )d d x x x x x x x x -=+-++⎰⎰

()

2

22

004

2

1

1

1

1

3sin e d de 21sin1sin11x x x x x

x x xe

e ----=-+++=-++=+-⎰⎰

2． 设力F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y 轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线2

1x y -=从点()1,0移动到点()0,1时，力F 所作的功．

解：{}{}

{}2220,10,,,,:1,:01F x x ds dx dy L x y y =-=-==-→

()()1

1

35224

028123515L L y y W Fds x dy y y dy y ⎛⎫==-=--+=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰

3．把对坐标的曲线积分

()(),d ,d L

P x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L 为：

(1) 在xOy 平面内沿直线从点()0,0到点()1,1； (2) 沿抛物线2

y x =从点()0,0到点()1,1．

解：（1

）:,:01,0;L y x x dx ds =→>==

()()()()

,,,d ,d ,,d L L P x x Q x x P x y x Q x y y P x x Q x x x +⎡⎤+=+=⎡

⎤⎣⎦⎰⎰

⎰

（2）2:,:01,0;L y x x dx ds =→>=

()()()()

22

,2,,d ,d ,2,d L L P x x xQ x x P x y x Q x y y P x x xQ x x x +⎡⎤⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰

作业15 格林公式及其应用

1．填空题

(1) 设L 是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,

(24)d (536)d L

x y x y x y -+++-=⎰

12 ．

(2) 设曲线L 是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A 为顶点的正方形边界，

d d L x y

x y ++⎰不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．

（3）相应于曲线积分

(,,)d (,,)d (,,)d L

P x y z x Q x y z y R x y

z z ++⎰

的第一型的曲线积分是

⎰． 其中L 为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算33(e sin )d (e cos )d x x L

I y y x y x y =

-

++⎰

,其中L 是沿半圆周x =从点

),0(a A -到点),0(a B 的弧．

解：L 加上:0,:BA x x a a =→-构成区域边界的负向

()3

3

2

2

(e sin )d (e cos )d 3cos a

x

x

L

D

a

I y y x y x y x y d ydy σ-=-++=-+-⎰⎰⎰⎰

34

2

3

02

33cos 2sin 4a a

a

a d r dr ydy a πππθ-=-+=-+⎰

⎰⎰

3．计算

e 31d e 33d xy xy L

y x y x x x y y ⎡⎤⎡⎤+-+++-+⎣⎦⎣⎦⎰,其中L 为椭圆 22

221x y a b

+=正向一周． 解：原式()()e 33e 31xy xy

D x x y y x y dxdy x y ⎡⎤∂∂=

+-+-+-+⎢⎥∂∂⎣

⎦⎰⎰ 44D

dxdy ab π==⎰⎰