单元刚度矩阵组装及整体分析

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析

7.4.1 单刚组装形成总刚

根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即

[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有

式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有

是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.

下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：

图7-27

（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是

（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为

（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：

（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.

（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.

7.4.2 结点平衡方程

我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为

式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为

.因此，结点的平衡方程可表示为

（3-10）

以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：

式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.

当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即

式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.

7.4.3 位移边界条件

在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.

约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种.处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，下面分别予以介绍.

1、删行删列法

若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解.这种方法的优点是道理简单.如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小.通常用人工计算时常采用该方法.若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变.因而一般计算机算题不太采用.

2．分块法

为了理解这个方法，我们把方程分块如下：

（3-11）

其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移.因而是已知的结点力；

是未知的结点力.方程（3-11）可以写为

即

（3-12）

和

（3-13）

其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出

（3-14）

一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为

（3-15）

3．置“1”法

由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.

可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为

（3-16）

在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.

步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为

为结点自由度总数.

步骤（2）除对角线元素以外，使[K]中对应于的行和列为零，而对角线元素为1，即

步骤（3）在载荷向量中引入规定的值，即

对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（1）到（3））.应当指出，由于这个过程保持了方程的对称性，因此，[K]可以按带状存储，而且几乎不会增加编制程序的工作量.

4．置大数法

置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为

除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为