单元刚度矩阵组装及整体分析
最新7.4-单元刚度矩阵组装及整体分析
根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.将单元结点的局部编号换成总体编号，其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵具有相同的下标，的那些子矩阵的累加总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为得到以结点位移表示的结点的平衡方程，为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚为了理解这个方法，我们把方程分块如下：其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移因而是已知的结点力；其中，不是奇异的，因而可以解方程（一旦知道了，求得未知结点力.殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法如果把给定为，则载荷向量为结点自由度总数中对应于的行和列为零，而对角线元素为）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.边上有，若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，其中，.）中第行左右两边前乘以上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.阶线性代数方程，需进行次消元行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为式中等的上角码（次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第我们把消元最后结果记为，为上当回代求解时，已经解得总体刚度平衡方程中，，是单位上三角矩阵，.记，则.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，向上回代，可得，由得依此类推可求得.由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方程）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。
单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]
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§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
31 2
32
1
x
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
②
②
5 6
4
(局部坐标)
4 6
5
y
(整体坐标)
整体坐标下的单元刚度矩阵：
k② T T k ② T
结点位移码
(
(1 2 3 0 0 0)
结点码
1
2
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
k ② T T k ② T
9.65
7.13
k
②
0.45 9.65
7.13 0.45
1 3
7.13 5.50 0.6 .137 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.0 0.69 2.08
0.0 0.69 2.08
0.0
2.08
4.17
0.0
2.08
8.33
①
①
k k
单元②： 15.0
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
![[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/25867d5d31b765ce050814be.png)
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析
7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种.处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，下面分别予以介绍.1、删行删列法若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解.这种方法的优点是道理简单.如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小.通常用人工计算时常采用该方法.若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变.因而一般计算机算题不太采用.2．分块法为了理解这个方法，我们把方程分块如下：（3-11）其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移.因而是已知的结点力；是未知的结点力.方程（3-11）可以写为即（3-12）和（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.步骤（2）除对角线元素以外，使[K]中对应于的行和列为零，而对角线元素为1，即步骤（3）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（1）到（3））.应当指出，由于这个过程保持了方程的对称性，因此，[K]可以按带状存储，而且几乎不会增加编制程序的工作量.4．置大数法置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解.当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零.删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移（包括零位移）.5．斜支座的处理对于简单的约束情况（如限定某些结点位移为零或取得给定数值），可以用前述置大数法处理.有的结构在直角坐标系内建立了位移方程组，但在某个斜边上受有法向约束.如图3-28所示正方形固支板，受均布横向载荷，对此，可利用对称性而只计算其1/8，如图中ABC部分，其中AC为固支边，按对称性，AB边上有，但在BC边上应限定绕BC的转用等于零.为处理此类斜边上的约束，须对斜边上的结点做坐标变换.若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图3-29）.对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系.设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29 则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19）这样把位移到列阵中凡是斜支座的结点位移矢量都用局部坐标表示了.将式（3-19）中第行左右两边前乘以（3-20）由上式可见：凡是边界点的斜支座，在刚度方程中对应于斜支座的位移和载荷向量均可直接斜支座的局部坐标值，总刚度距阵中的相应行列需作相应的变换.上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移就很方便了.实际计算中，并不需要建立结构总的位移方程组后再进坐标变换.而可以在形成单元刚度矩阵和结点载荷之后，就对斜支座点进行坐标变换，把变换后的单元刚度矩阵和结点载荷叠加入总刚度矩阵和总载荷的相应位置，最后叠加形成的也就是方程组（3-20），即需要处理的结点，应该在单元计算中完成坐标变换后再叠加，当结构有不同的斜边约束时，都可以这样处理，只不过对不同边上的结点，应按不同的方向余弦矩阵变换就是了.7.4.4 总刚度平衡方程的求解应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组.通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.我们已知，总体刚度矩阵具有大型、对称、稀疏、带状分布、正定、主元占优势的特点，稀疏表示将对称消元法进一步改造，使之适合总刚的等带宽二维存储.（4）因子化法（三角分解）又称Cholesky分解，适合一维变带宽存储总刚.这上方法储效率高，计算速度快，应用较为普遍.此外，还有一种方法，叫做波前法.波前法实际上也是一种改进的高斯消去法.它建立一个称为“波前”的空间，各单元刚度系数依次进入波前.一旦与某自由度有关的所有单元的刚度系数全部装入，便可将相应的变量消去.经过消元的方程的系数随即退出波前，存放在计算机的外存中.这样就可腾出空间装入新的刚度系数.所以，波前法不需要生成完整的总刚，而是边组装边消元，“成熟”一个消去一个.消元完成后，全部系数都已存储在计算机的外存或缓冲区中.回代时将各方程的系数按“先出后入”的顺序调入内存求解.由此可见，这种方法是利用计算机充裕的外存资源，以多耗取机时来缓解内存不足的矛盾，以便适应较大规模的问题.随着计算机技术的发展，内存资源不断扩大，对具有稀疏、带状性质的有限元刚度方程，这种以时间换取空间的办法得不偿失.另一方面，波前法的阐述和程序设计比较复杂，且对多种单元并存的结构使用不便.所以，本书不拟介绍波前法.本书第九章将详细讨论适合整体存储总刚的高斯消去法和适合一维变带宽存储的因子化法以及有关的程序设计问题，以下仅列出这两种方法的梗概.1、高斯消去法高斯循序消去法的一般公式：对于n阶线性代数方程，需进行次消元.采用循序消去时，第m次消元以m-1次消元后的m行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，则是单位上三角矩阵，.代入整本结构平衡方程记，则.即由向下回代.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，……，依此类推可求得{Y}.又由向上回代，可得，由得依此类推可求得.由上述过程可见，三角分解法求解线性代数方程组的关键是对系数矩阵进行三角分解.7.4.5 求解内力由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方程（3-3）、（3-4）和（3-6）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。
整体刚度矩阵与单元刚度矩阵的合同关系
整体刚度矩阵与单元刚度矩阵的合同关系The topic I will discuss is the connection between theglobal stiffness matrix and the elemental stiffness matrixin structural analysis.结构分析中的整体刚度矩阵与单元刚度矩阵之间存在着密切的联系。
在有限元法中，将结构离散为若干个单元，并通过单元的刚度矩阵进行整体的刚度计算。
因此，对于了解整体刚度矩阵与单元刚度矩阵的合同关系至关重要。
In structural engineering, the stiffness matrix is used to represent the relationship between forces and deformationsin a structure. It provides valuable information about the behavior of the structure under different loading conditions. The stiffness matrix can be divided into two types: global stiffness matrix and elemental stiffness matrix.在结构工程中，我们使用刚度矩阵来描述结构内力和变形之间的关系。
它提供了有关结构在不同载荷条件下行为的重要信息。
刚度矩阵可以分为两种类型：整体刚度矩阵和单元刚度矩阵。
The global stiffness matrix represents the overall stiffness of the entire structure. It takes into account the interactions between all elements and nodes in the structure. The size of the global stiffness matrix is determined by the number of degrees of freedom in the structure. Each element contributes its own elemental stiffness matrix to this global matrix.整体刚度矩阵代表了整个结构的总体刚性。
7.4单元刚度矩阵组装及整体分析报告材料
7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种.处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，下面分别予以介绍.1、删行删列法若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解.这种方法的优点是道理简单.如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小.通常用人工计算时常采用该方法.若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变.因而一般计算机算题不太采用.2．分块法为了理解这个方法，我们把方程分块如下：（3-11）其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移.因而是已知的结点力；是未知的结点力.方程（3-11）可以写为即（3-12）和（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.步骤（2）除对角线元素以外，使[K]中对应于的行和列为零，而对角线元素为1，即步骤（3）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（1）到（3））.应当指出，由于这个过程保持了方程的对称性，因此，[K]可以按带状存储，而且几乎不会增加编制程序的工作量.4．置大数法置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解.当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零.删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移（包括零位移）.5．斜支座的处理对于简单的约束情况（如限定某些结点位移为零或取得给定数值），可以用前述置大数法处理.有的结构在直角坐标系内建立了位移方程组，但在某个斜边上受有法向约束.如图3-28所示正方形固支板，受均布横向载荷，对此，可利用对称性而只计算其1/8，如图中ABC部分，其中AC为固支边，按对称性，AB边上有，但在BC边上应限定绕BC的转用等于零.为处理此类斜边上的约束，须对斜边上的结点做坐标变换.若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图3-29）.对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系.设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29 则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19）这样把位移到列阵中凡是斜支座的结点位移矢量都用局部坐标表示了.将式（3-19）中第行左右两边前乘以（3-20）由上式可见：凡是边界点的斜支座，在刚度方程中对应于斜支座的位移和载荷向量均可直接斜支座的局部坐标值，总刚度距阵中的相应行列需作相应的变换.上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移就很方便了.实际计算中，并不需要建立结构总的位移方程组后再进坐标变换.而可以在形成单元刚度矩阵和结点载荷之后，就对斜支座点进行坐标变换，把变换后的单元刚度矩阵和结点载荷叠加入总刚度矩阵和总载荷的相应位置，最后叠加形成的也就是方程组（3-20），即需要处理的结点，应该在单元计算中完成坐标变换后再叠加，当结构有不同的斜边约束时，都可以这样处理，只不过对不同边上的结点，应按不同的方向余弦矩阵变换就是了.7.4.4 总刚度平衡方程的求解应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组.通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.我们已知，总体刚度矩阵具有大型、对称、稀疏、带状分布、正定、主元占优势的特点，稀疏表示将对称消元法进一步改造，使之适合总刚的等带宽二维存储.（4）因子化法（三角分解）又称Cholesky分解，适合一维变带宽存储总刚.这上方法储效率高，计算速度快，应用较为普遍.此外，还有一种方法，叫做波前法.波前法实际上也是一种改进的高斯消去法.它建立一个称为“波前”的空间，各单元刚度系数依次进入波前.一旦与某自由度有关的所有单元的刚度系数全部装入，便可将相应的变量消去.经过消元的方程的系数随即退出波前，存放在计算机的外存中.这样就可腾出空间装入新的刚度系数.所以，波前法不需要生成完整的总刚，而是边组装边消元，“成熟”一个消去一个.消元完成后，全部系数都已存储在计算机的外存或缓冲区中.回代时将各方程的系数按“先出后入”的顺序调入内存求解.由此可见，这种方法是利用计算机充裕的外存资源，以多耗取机时来缓解内存不足的矛盾，以便适应较大规模的问题.随着计算机技术的发展，内存资源不断扩大，对具有稀疏、带状性质的有限元刚度方程，这种以时间换取空间的办法得不偿失.另一方面，波前法的阐述和程序设计比较复杂，且对多种单元并存的结构使用不便.所以，本书不拟介绍波前法.本书第九章将详细讨论适合整体存储总刚的高斯消去法和适合一维变带宽存储的因子化法以及有关的程序设计问题，以下仅列出这两种方法的梗概.1、高斯消去法高斯循序消去法的一般公式：对于n阶线性代数方程，需进行次消元.采用循序消去时，第m次消元以m-1次消元后的m行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，则是单位上三角矩阵，.代入整本结构平衡方程记，则.即由向下回代.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，……，依此类推可求得{Y}.又由向上回代，可得，由得依此类推可求得.由上述过程可见，三角分解法求解线性代数方程组的关键是对系数矩阵进行三角分解.7.4.5 求解内力由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方程（3-3）、（3-4）和（3-6）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。
单元类型及单元刚度矩阵课件
面积单元的刚度矩阵可以通过解析方 法或数值方法计算得到。
它具有四个节点，每个节点具有三个 自由度：x、y和z方向的位移。
体积单元
体积单元是一种几何 形状，通常用于模拟 结构中的三维实体或 区域。
体积单元的刚度矩阵 可以通过解析方法或 数值方法计算得到。
它具有八个节点，每 个节点具有三个自由 度：x、y、z方向的 位移。
移。
线性单元的刚度矩阵可以通过解 析方法或数值方法计算得到。
角点单元
角点单元是一种特殊类型的线 性单元，通常用于模拟结构中 的角点或连接两个线性单元的 节点。
它具有三个自由度：x、y和z方 向的位移。
角点单元的刚度矩阵可以通过 解析方法或数值方法计算得到。
面积单元
面积单元是一种几何形状，通常用于 模拟结构中的平面区域或曲面上的小 区域。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文， 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终 呈现发布的良好效果单击此4*25}
通过稳定性分析，可以评估结构的承载安全性和预防 失稳的措施。
PART 04
单元类型选择与注意事项
选择依据
计算精度
根据模型精度要求选择合适的单 元类型，例如，对于复杂形状或 精细结构，应选择高阶单元以提
2023 WORK SUMMARY
单元类型及单元刚度 矩阵课件
REPORTING
CATALOGUE
• 单元类型介绍 • 单元刚度矩阵
PART 01
单元类型介绍
线性单元
线性单元是一种简单的几何形状， 通常用于模拟结构中的直线段或 平面区域。
它具有两个节点，每个节点具有 三个自由度：x、y和z方向的位
有限元模型的整体刚度矩阵集成
有限元模型的整体刚度矩阵集成
有限元模型的整体刚度矩阵集成是将有限元模型中的所有单元刚度矩阵组装成一个整体刚度矩阵的过程。
在有限元分析中，整体刚度矩阵是求解结构响应的关键。
因此，整体刚度矩阵的集成是有限元分析中必不可少的一步。
整体刚度矩阵集成的基本思路是将所有单元的刚度矩阵按照其自由度的编号组装成整体刚度矩阵。
具体来说，对于每个单元的刚度矩阵，我们需要确定它的自由度编号，并将其插入到整体刚度矩阵的相应位置上。
在插入过程中，需要考虑到
单元自由度编号与整体自由度编号之间的对应关系。
在实际操作中，整体刚度矩阵集成可以通过程序实现。
一般来说，我们可以通过编写程序将单元刚度矩阵插入到整体刚度矩阵中。
在插入过程中，我们需要注意到整体刚度矩阵的大小和单元刚度矩阵的大小之间的对应关系，以及整体自由度编号和单元自由度编号之间的对应关系。
总之，整体刚度矩阵集成是有限元分析中非常重要的一步，它关系到结构响应的计算结果。
在进行整体刚度矩阵集成时，需要注意到单元自由度编号与整体自由度编号之间的对应关系，并通过程序实现插入操作。
单元刚度矩阵组装及整体分析
单元刚度矩阵组装及整体分析在结构力学中，单元刚度矩阵的组装是进行有限元分析的重要步骤之一、通过将多个单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵，可以得到结构的整体刚度矩阵，并进行相应的整体分析。
下面将介绍单元刚度矩阵的组装方法以及整体分析的步骤。
1.单元刚度矩阵的组装方法：在有限元分析中，结构通常划分成多个单元，每个单元通过节点与相邻单元相连。
在单元分析中，首先需要建立单元刚度矩阵，然后将所有单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。
单元刚度矩阵的建立通常通过离散化方法来进行，常见的方法有刚度法和能量法。
在刚度法中，通过对单元进行力学建模，并应用弹性力学原理，可以得到单元刚度矩阵。
在能量法中，通过考虑单元的应变能和变形能，可以得到单元刚度矩阵。
对于线性单元，其刚度矩阵可通过以下公式得到：[K]=∫(∑[B]T[D][B])dV其中，[K]为单元刚度矩阵，[B]为单元应变矩阵，[D]为单元弹性矩阵，dV为单元体积的微元。
在计算单元刚度矩阵时，通常会使用数值积分方法，如高斯积分，以提高计算精度。
2.整体分析的步骤：在得到所有单元的刚度矩阵后，需要将其组装成整体刚度矩阵并进行整体分析。
整体分析的步骤如下：(1)确定结构的边界条件：边界条件是指结构的位移或载荷边界条件，如固支条件、弹簧支承等。
在进行整体分析前，需要确定结构的边界条件。
(2)根据结构的几何特征和边界条件，建立结构的刚度矩阵方程：[K]{u}={F}其中，[K]为整体刚度矩阵，{u}为结构的位移向量，{F}为结构的载荷向量。
(3)施加约束条件：根据结构的边界条件，将约束施加到整体刚度矩阵方程中。
这可以通过修改整体刚度矩阵和载荷向量中的相应行和列来实现。
(4)解方程：通过求解经过约束的整体刚度矩阵方程，可以得到结构的位移。
(5)计算应力和应变：根据结构的位移和单元的形状，可以计算出每个单元的应力和应变。
这可以通过单元的位移-应变关系来实现。
(6)结果分析：通过计算得到的位移、应力和应变，可以对结构进行进一步的分析和评估，如变形分析、应力分析等。
结构力学11.2 单元刚度矩阵
89
结构力学讲稿
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桁架单元的单刚也是对称的和奇异的。
第十一章 矩阵位移法
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，称为，单元刚度矩阵，简称“单刚”。
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，称为，单元杆端力列向量。{
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第十一章 矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} 这意味着：1) 给定杆端位移，可唯一确定出相应的杆端力；2) 给定杆端力，不能唯一确定出杆
单元刚度矩阵组装及整体分析
单元刚度矩阵组装及整体分析一、单元刚度矩阵的建立梁单元刚度矩阵：梁单元刚度矩阵是用来描述梁单元的弹性变形行为的矩阵。
常见的梁单元有线性梁单元和非线性梁单元。
对于线性梁单元来说，其刚度矩阵的计算可以通过在梁上进行数学推导得到。
三角形单元刚度矩阵：三角形单元刚度矩阵是用来描述三角形单元的弹性变形行为的矩阵。
常见的三角形单元有线性三角形单元和非线性三角形单元。
对于线性三角形单元来说，其刚度矩阵的计算可以通过在三角形单元上进行数学推导得到。
二、单元刚度矩阵的组装在结构的离散过程中，将整个结构划分为若干个单元，并按照一定的规则将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。
单元刚度矩阵的组装可以使用两种常见的方法：全局坐标法和局部坐标法。
全局坐标法：全局坐标法是一种将单元刚度矩阵直接组装到整体刚度矩阵中的方法。
在这种方法中，我们通过将单元的自由度与整体自由度进行对应，将单元的刚度矩阵的每个元素放入整体刚度矩阵的相应位置。
局部坐标法：局部坐标法是一种将单元刚度矩阵通过变换到整体坐标系后再进行组装的方法。
在这种方法中，我们首先将单元的自由度与局部坐标进行对应，然后将刚度矩阵变换到整体坐标系，最后再将变换后的刚度矩阵的每个元素放入整体刚度矩阵的相应位置。
三、整体分析在完成单元刚度矩阵的组装后，我们可以得到整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵描述了整个结构的刚度特性，通过求解整体刚度矩阵与载荷之间的关系，可以得到结构的位移和应力分布。
对于线性弹性结构而言，整体分析可以通过直接求解线性方程组的方法进行。
我们可以根据边界条件和载荷信息，将整体刚度矩阵和载荷向量建立成一个线性方程组，然后通过数值方法（例如高斯消元法、LU分解法）求解出方程组的解，即得到结构的位移和应力分布。
对于非线性结构而言，整体分析可以采用迭代法进行。
在每一步迭代中，我们都需要更新刚度矩阵和载荷向量，然后再求解线性方程组，最终得到结构的位移和应力分布。
整体分析的目的是求解结构的位移和应力分布，进而评估结构的稳定性和安全性。
杆单元刚度矩阵
杆单元刚度矩阵1. 引言杆单元是结构力学中常用的数值分析方法之一，用于模拟和分析结构中的杆件行为。
杆单元的基本原理是将结构简化为由节点和连接节点的杆件组成的简单模型，通过计算各个节点上的位移和应力来确定整个结构的行为。
在进行杆单元分析时，需要计算每个杆单元的刚度矩阵，以便进一步求解整个结构。
本文将详细介绍杆单元刚度矩阵的定义、推导过程以及应用案例，旨在帮助读者深入理解杆单元分析方法。
2. 杆单元刚度矩阵定义在进行结构力学分析时，我们通常将每个杆件视为一个线性弹性体，并假设其具有均匀截面和均匀材料。
根据这些假设，可以得到每个杆件的刚度矩阵。
定义：杆单元刚度矩阵是描述一个线性弹性材料中某个杆件局部坐标系下的刚度特征的方阵。
对于一个二维平面内的杆件而言，其刚度矩阵的维度为4x4，具体形式如下：K = [k11 k12 k13 k14][k21 k22 k23 k24][k31 k32 k33 k34][k41 k42 k43 k44]其中，ki,j表示刚度矩阵的第i行第j列元素。
3. 杆单元刚度矩阵推导杆单元刚度矩阵的推导过程涉及到结构力学和线性代数等多个领域的知识。
下面将简要介绍推导过程的主要步骤。
步骤1：建立局部坐标系首先，需要建立一个局部坐标系来描述杆件的几何特征和受力情况。
通常选择杆件的中点作为原点，并选择与杆件轴线平行的两个正交方向作为坐标轴。
步骤2：确定局部坐标系下的位移在局部坐标系中，需要确定杆件两个节点处的位移。
通常选择节点处的位移为未知数，并用u1、v1、u2、v2表示两个节点处在x和y方向上的位移。
步骤3：计算局部坐标系下的应变和应力根据弹性力学理论，可以通过节点处的位移计算出局部坐标系下的应变和应力。
应变和应力之间的关系可以通过材料的本构方程来描述。
步骤4：推导刚度矩阵表达式根据杆件在局部坐标系中的受力平衡条件，可以得到一个基本方程。
通过将该基本方程与节点位移之间的关系代入，可以得到刚度矩阵的表达式。
有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵是有限元分析中的一个关键组成部分，它描述了结构中每个元素在承受载荷时的刚度响应。
以下是一个计算有限元单元刚度矩阵的基本步骤：
1. 确定元素类型和参数：首先需要确定所使用的元素类型（例如，杆、梁、板、壳等），以及这些元素的参数，如横截面面积、惯性矩、厚度等。
2. 建立局部坐标系：为每个元素建立一个局部坐标系。
在局部坐标系中，可以方便地描述元素内部的应力和应变。
3. 计算应变矩阵：根据有限元理论，计算元素两端的节点坐标差值，并由此得到应变矩阵。
4. 计算应力矩阵：根据材料的物理性质和胡克定律（Hooke's law），将应变矩阵转换为应力矩阵。
5. 形成刚度矩阵：将应力矩阵乘以相应的刚度系数，得到该元素的刚度矩阵。
6. 组装整体刚度矩阵：将所有元素的局部刚度矩阵组合起来，形成整体结构的刚度矩阵。
7. 施加边界条件和载荷：根据实际问题的边界条件和载荷，对整体刚度矩阵进行修正。
8. 求解线性方程组：通过求解修正后的线性方程组，得到结构中每个节点的位移。
以上步骤仅为有限元分析中的一种基本方法，实际应用中可能还需要考虑更多的因素，如非线性行为、材料失效等。
此外，有限元分析软件（如ANSYS、SolidWorks等）通常已经内置了这些计算过程，用户可以直接调用相应的功能进行有限元分析，而无需手动编写代码。
有限元 整体分析
生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点
力和垂直结点力的大小。例如 K i j 表示结点j在垂直方向产生 单位位移时，在结点i所需要施加的水平结点力的大小。
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性： K 是对称矩阵
元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-” 的表示垂直方向。
单元刚度矩阵的物理意义：
Ur
S i, m j,
(K r s us K rsvs )(r i,j, m)
Vr
S i, m j,
(K r s us K rsvs )(r i,j, m)
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。
3-3 单元刚度矩阵
根据虚功原理，有
F
则
e
[B] [D][B]tdxdy δ
T
e
K
e
[B] [D][B]tdxdy
T
F K δ 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， Ke 称为单 元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标 方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、 大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或 坐标轴的平行移动而改变。
2)奇异性： Ke 是奇异矩阵， K
e
e
0
单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶 数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元 素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。
单元刚度矩阵的性质： 例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设 1、求[B]
matlab组装整体刚度矩阵
Matlab中的组装整体刚度矩阵是结构力学领域中的重要问题之一。
在有限元分析中，整体刚度矩阵是描述结构物体在受力作用下的变形和应力分布的关键矩阵。
本文将从整体刚度矩阵的概念、在Matlab中的实现以及相关的应用领域等方面进行深入分析和讨论。
一、整体刚度矩阵的概念及意义1. 整体刚度矩阵的概念在结构力学中，整体刚度矩阵是指将结构体系中所有单元的刚度矩阵按照一定的规则组装得到的整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵反映了整个结构体系的刚度性能，是分析结构变形和承受外部载荷的重要工具。
2. 整体刚度矩阵的意义整体刚度矩阵可以用于描述结构体系在受力作用下的变形和应力分布情况，是进行结构静力分析和动力分析的基础。
通过整体刚度矩阵的计算和分析，可以预测结构的变形情况、确定结构的受力状态，并为结构的设计和加固提供重要依据。
二、Matlab中整体刚度矩阵的实现1. 建立节点和单元在Matlab中建立结构的节点和单元是整体刚度矩阵计算的第一步。
可以利用Matlab中的矩阵和数组等数据结构来表示结构的节点坐标和单元连接关系。
2. 计算单元刚度矩阵对于每个单元，需要根据材料性质、几何形状等参数，利用有限元理论和方法计算出单元的刚度矩阵。
在Matlab中可以编写相应的函数来实现单元刚度矩阵的计算。
3. 组装整体刚度矩阵将所有单元的刚度矩阵按照其在整体结构中的连接关系进行组装，得到整体刚度矩阵。
在Matlab中可以利用循环和矩阵运算等功能来实现整体刚度矩阵的组装。
4. 考虑边界条件在结构力学中，通常需要考虑结构的边界条件。
在Matlab中可以通过修改整体刚度矩阵的相应部分来考虑结构的边界条件，例如施加约束和外力。
三、整体刚度矩阵在结构分析中的应用1. 结构静力分析利用Matlab计算得到的整体刚度矩阵，可以进行结构的静力分析，包括受力状态、位移和变形情况等方面的分析。
2. 结构动力分析在结构的动力分析中，整体刚度矩阵可以用于描述结构的动态特性，如固有频率、振型等，进而预测结构在外部振动或地震作用下的响应。
7.4单元刚度矩阵组装及整体分析
根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承为了理解这个方法，我们把方程分块如下：其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移因而是已知的结点力；是未知的结点力（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.中对应于的行和列为零，而对角线元素为）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.边上有，但在若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19））中第行左右两边前乘以上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.阶线性代数方程，需进行次消元行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，是单位上三角矩阵，.记，则.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，向上回代，可得，由得依此类推可求得.由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。
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7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种.处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，下面分别予以介绍.1、删行删列法若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解.这种方法的优点是道理简单.如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小.通常用人工计算时常采用该方法.若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变.因而一般计算机算题不太采用.2．分块法为了理解这个方法，我们把方程分块如下：（3-11）其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移.因而是已知的结点力；是未知的结点力.方程（3-11）可以写为即（3-12）和（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.步骤（2）除对角线元素以外，使[K]中对应于的行和列为零，而对角线元素为1，即步骤（3）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（1）到（3））.应当指出，由于这个过程保持了方程的对称性，因此，[K]可以按带状存储，而且几乎不会增加编制程序的工作量.4．置大数法置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解.当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零.删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移（包括零位移）.5．斜支座的处理对于简单的约束情况（如限定某些结点位移为零或取得给定数值），可以用前述置大数法处理.有的结构在直角坐标系内建立了位移方程组，但在某个斜边上受有法向约束.如图3-28所示正方形固支板，受均布横向载荷，对此，可利用对称性而只计算其1/8，如图中ABC部分，其中AC为固支边，按对称性，AB边上有，但在BC边上应限定绕BC的转用等于零.为处理此类斜边上的约束，须对斜边上的结点做坐标变换.若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图3-29）.对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系.设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29 则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19）这样把位移到列阵中凡是斜支座的结点位移矢量都用局部坐标表示了.将式（3-19）中第行左右两边前乘以（3-20）由上式可见：凡是边界点的斜支座，在刚度方程中对应于斜支座的位移和载荷向量均可直接斜支座的局部坐标值，总刚度距阵中的相应行列需作相应的变换.上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移就很方便了.实际计算中，并不需要建立结构总的位移方程组后再进坐标变换.而可以在形成单元刚度矩阵和结点载荷之后，就对斜支座点进行坐标变换，把变换后的单元刚度矩阵和结点载荷叠加入总刚度矩阵和总载荷的相应位置，最后叠加形成的也就是方程组（3-20），即需要处理的结点，应该在单元计算中完成坐标变换后再叠加，当结构有不同的斜边约束时，都可以这样处理，只不过对不同边上的结点，应按不同的方向余弦矩阵变换就是了.7.4.4 总刚度平衡方程的求解应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组.通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.我们已知，总体刚度矩阵具有大型、对称、稀疏、带状分布、正定、主元占优势的特点，稀疏表示将对称消元法进一步改造，使之适合总刚的等带宽二维存储.（4）因子化法（三角分解）又称Cholesky分解，适合一维变带宽存储总刚.这上方法储效率高，计算速度快，应用较为普遍.此外，还有一种方法，叫做波前法.波前法实际上也是一种改进的高斯消去法.它建立一个称为“波前”的空间，各单元刚度系数依次进入波前.一旦与某自由度有关的所有单元的刚度系数全部装入，便可将相应的变量消去.经过消元的方程的系数随即退出波前，存放在计算机的外存中.这样就可腾出空间装入新的刚度系数.所以，波前法不需要生成完整的总刚，而是边组装边消元，“成熟”一个消去一个.消元完成后，全部系数都已存储在计算机的外存或缓冲区中.回代时将各方程的系数按“先出后入”的顺序调入内存求解.由此可见，这种方法是利用计算机充裕的外存资源，以多耗取机时来缓解内存不足的矛盾，以便适应较大规模的问题.随着计算机技术的发展，内存资源不断扩大，对具有稀疏、带状性质的有限元刚度方程，这种以时间换取空间的办法得不偿失.另一方面，波前法的阐述和程序设计比较复杂，且对多种单元并存的结构使用不便.所以，本书不拟介绍波前法.本书第九章将详细讨论适合整体存储总刚的高斯消去法和适合一维变带宽存储的因子化法以及有关的程序设计问题，以下仅列出这两种方法的梗概.1、高斯消去法高斯循序消去法的一般公式：对于n阶线性代数方程，需进行次消元.采用循序消去时，第m次消元以m-1次消元后的m行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，则是单位上三角矩阵，.代入整本结构平衡方程记，则.即由向下回代.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，……，依此类推可求得{Y}.又由向上回代，可得，由得依此类推可求得.由上述过程可见，三角分解法求解线性代数方程组的关键是对系数矩阵进行三角分解.7.4.5 求解内力由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方程（3-3）、（3-4）和（3-6）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。