三角函数、解三角形中的实际应用问题

微点突破 三角函数、解三角形中的实际应用问题

【例 】 (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游

客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；

(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝3

5，

所以sin A ＝513，sin C ＝4

5.

从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×

35＋1213×45＝63

65. 由正弦定理AB sin C ＝AC

sin B ，得

AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×

45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.

(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得

d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×

12

13 ＝200(37t 2－70t ＋50)，

因0≤t ≤1 040

130，即0≤t ≤8，

故当t ＝35

37(min)时，甲、乙两游客距离最短

.

(3)由正弦定理BC sin A ＝AC

sin B ，

得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365

×

5

13＝500(m).

乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，

由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，

所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 25043，62514(单位：m/min)范围内. 探究提高 与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.

【训练1】 如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在AB ︵上取不同于A ，B 的点C ，用渔网沿着AC ︵(AC ︵

在扇形AOB 的AB ︵

上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA ＝1 km ，∠AOB ＝π

3，∠AOC ＝θ

.

(1)用θ表示CD 的长度；

(2)求所需渔网长度(即图中AC ︵

、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围. 解 (1)由CD ∥OA ，∠AOB ＝π

3，∠AOC ＝θ， 得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π

3－θ. 在△OCD 中，由正弦定理， 得CD ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，θ∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π3.

(2)设渔网的长度为f (θ).

由(1)可知，f (θ)＝θ＋1＋233sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3－θ，

所以f ′(θ)＝1－233cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3－θ，

因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以π3－θ∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π3.

令f ′(θ)＝0，得cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3－θ＝32，

所以π3－θ＝π6，即θ＝π6. 列表如下：

且f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π＋6＋236，f

⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝π

3＋1， 所以f (θ)∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤2，

π＋6＋236. 故所需渔网长度的取值范围是⎝ ⎛⎦

⎥⎤

2，

π＋6＋236(单位：km). 【训练2】 (2017·徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2 km ，BC ＝1 km.现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分.

(1)如图1，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； (2)如图2，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度. 解 (1)因为AD ＝DC ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，

所以AB ＝ 3.

如图1，取AB 的中点G ，连接EG ，则EG ＝3

2，

则四边形BCEF 的面积为

1

2S 梯形ABCD ＝S 梯形BCEG ＋S △EFG ，

即12×12×3×(1＋2)＝12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋12×GF ×32，解得GF ＝

36， 所以EF ＝EG 2

＋GF 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫362 ＝21

3(km).

答：灌溉水管EF 的长度为21

3 km. (2)如图2，连接AC ，设DE ＝a ，DF ＝b ，

图2

在△ABC 中，CA ＝12＋（3）2＝2，所以在△ADC 中， AD ＝DC ＝CA ＝2， 所以∠ADC ＝60°， 所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12ab sin 60°＝3

4ab ，

又S 梯形ABCD ＝12×3×(1＋2)＝33

2，