运动学-约束自由度广义坐标-分析运动学

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定常的完整约束 (2)
f j ( x 1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n , y n , z n , & & & & & & x 1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n , y n , z n ) = 0
z
M
定常的非完整约束
x12 + y12 = l 2 2 2 2 ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = l
x
θ
y
l
M1
l
M2
自由度数： 自由度数：
n = 2× 2 − 2 = 2
( x1 , x2 ); ( y1 , y2 ); ( x1 , y2 ); ( x2 , y1 )
ϕ
广义坐标：独立参数 广义坐标：独立参数→ 角度→ 角度
ψ
M2
x1 = l ⋅ sin θ y1 = l ⋅ cosθ
x2 = l ⋅ sin θ + l ⋅ sin ϕ y2 = l ⋅ cosθ + l ⋅ cosϕ 13
对于完整、定常、双面约束的质系，自由度为 ， 对于完整、定常、双面约束的质系，自由度为k，则: 完整 的质系 •若选k个广义坐标 q1 , q2 , L, qk ，则各质点的位置矢径： 若选 则各质点的位置矢径：
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•自由度数（degree of freedom)： 自由度数（ 自由度数 ： 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 独立坐标的个数 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 问题：若是存在 个约束的 个刚体呢？ 个约束的n个刚体呢 问题：若是存在r个约束的 个刚体呢？ 问题：静定结构的自由度是多少？ 问题：静定结构的自由度是多少？
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y
•非完整约束 非完整约束(nonholonomic constraint)： 非完整约束
x
& y
y
v
& x
θ
x
不可积分的运动约束
o
•完整约束 完整约束(holonomic constraint)： 完整约束 几何约束与可积分的运动约束
& y tan θ = & x
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判断约束的类型
(1)
f j ( x1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n , yn , z n ) = 0
z
L
M
•广义坐标 广义坐标(generalized coordinate)： 广义坐标 ： 描述体系运动状态的独立参数
y
x
x 2 + y 2 + z 2 = L2
广义坐标： 、 广义坐标：x、y 或 x、z 或 y、z或… 、 、或
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例：写出以下双连刚杆质点系的约束方程，并判断自由度 写出以下双连刚杆质点系的约束方程， 解：双连刚杆双质点系的约束方程： 双连刚杆双质点系的约束方程：
ϕ
R
纯滚动
o
I
约束方程: 约束方程
yC = R
vI = 0
& & xC = ϕ R
d xC = R d ϕ
可积分
xC = R ϕ
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可积分的运动约束
xA
A
x A = sin t
x
x
x
l
y
2 2
l
M M
y
2
y
2 2
M
x + y =l
x + y ≤l
2
( x − sint)2 + y2 = l 2
•双面约束 双面约束(bilateral constraint)： 约束方程为等式的约束 等式的约束 双面约束 ： 约束方程为等式 •单面约束 单面约束(unilateral constraint)：约束方程为不等式的约束 不等式的约束 单面约束 ：约束方程为不等式 •定常约束 定常约束(steady constraint)：约束方程中不显含时间 的约束 不显含时间t 定常约束 ：约束方程中不显含时间 •非定常约束 非定常约束(unsteady constraint)： 约束方程中显含时间 的约束 显含时间t 非定常约束 ： 约束方程中显含时间
质点系
•自由质点系： 自由质点系： 自由质点系 质点可“自由”运动， 质点可“自由”运动， 不受任何预先给定的限制
•非自由质点系： 非自由质点系： 非自由质点系 质点运动受到预先给定 的强制性限制 ——约束 约束
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约束、 约束、约束方程及其分类
一、约束与约束方程
•约 约 束(constraint)： 对非自由系统各质点位置和速度所加的 ： 几何学或运动学限制。 几何学或运动学限制。 •约束方程 约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式。 ：约束条件的数学表达式。 约束方程 x x
ri = ri (q1 , q2 , L, qk , t )
k dri ∂ri ∂ri & qj + =∑ @任意质点速度都可表示成广义速度的函数 dt j =1 ∂q j 任意质点速度都可表示成广义速度的函数 ∂t =1
问题： 问题： 质系独立的速度(加速度 量有多少个？ 加速度)量有多少个 质系独立的速度 加速度 量有多少个？
f ( x, y,z ) = 0
(3)
y
定常的完整约束
x
6
(4)
f j ( x1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ z n , t ) = 0,
非定常的完整约束 (5)
x + y = ( l 0 − vt )
2 2 2
vt FBaidu Nhomakorabea
非定常的完整约束 (6)
& & & f j ( x1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn , yn , z n , t ) = 0
z
L
y
x x 2 + y 2 + z 2 = L2
= 3 −1 = 2
• 若有 个质点构成的质点系，存在 个约束方程，则自由度数为： 若有n个质点构成的质点系 存在r个约束方程 则自由度数为： 个质点构成的质点系， 个约束方程， 问题：若是存在r个约束的 个刚体呢？ 个约束的n个刚体呢 k = 3 n − r 问题：若是存在 个约束的 个刚体呢？
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掌握: 掌握: 1、自由度和广义坐标的概念 、 2、会判断质点系的自由度，并会选择广义坐标 、会判断质点系的自由度， 明确: 明确: 对于完整 定常、双面约束的质系 自由度为k， 完整、 的质系， 对于完整、定常、双面约束的质系，自由度为k，则: 确定质系位形、速度、加速度均需 个独立运动量 个独立运动量. 确定质系位形、速度、加速度均需k个独立运动量.
ri = ri (q1 , q2 , L, qk , t )
A
o
A
y
O
y A = sin t
ϕ
B
x
θ
y
l
M1
θ
x
θ
l
B
l
ϕ
广义坐标： θ
y
xB = l ⋅ sin θ yB = sin t + l ⋅ cosθ
x A = OA ⋅ cosθ y A = OA ⋅ sin θ
θ 广义坐标：
广 义 坐 标 ：θ 、ϕ
xA
A
xA = sin t
x
l
y
2 2
l
M M
l
y
M
y
2
x + y =l
x + y ≤l
2 2
2
( x − sint)2 + y2 = l 2
2
二、约束的分类
几何约束： 几何约束： 只限制质点或质点系在空间的位置的约束 运动约束： 除限制质点位置， 运动约束： 除限制质点位置，还限制质点速度的约束
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问题: 问题 确定系统的自由度和广义坐标 y ϕ 纯滚动 R o
O
A
θ
ϕ
B
x
•简单的判断方法： 简单的判断方法： 简单的判断方法 自由度数＝ 自由度数＝变成不动的结构所需限制的位移数目
ϕ
R
o
非纯滚动
y A = sin t
A
x
o
θ
l
B
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y
A B
确 定 图 示 系 统 的 自 由 度
C
D
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对于完整、定常、双面约束的质系，自由度为 ， 对于完整、定常、双面约束的质系，自由度为k，则: 完整 的质系 •若选k个广义坐标 q1 , q2 , L, qk ，则各质点的位置矢径： 则各质点的位置矢径： 若选 x
广义速度： 广义速度： 广义坐标对时间的一阶导数
•确定质系位形、速度、加速度均需k个独立运动量 确定质系位形、速度、加速度均需 个独立运动量 个独立运动量. 确定质系位形
ϕ
R
纯滚动
自由度： 自由度： 1 ϕ 广义坐标： 广义坐标：
o
& ϕ 独立速度量： 独立速度量： 独立加速度量： && 独立加速度量： ϕ
非定常的非完整约束
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广义坐标与自由度
•自由度数（degree of freedom)： 自由度数（ ： 自由度数 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 独立坐标的个数 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 问题： 问题： M 一个自由质点的自由度是多少？ 一个自由质点的自由度是多少？ 3 一个自由平面运动刚体的自由度是多少？ 一个自由平面运动刚体的自由度是多少？3 一个自由空间运动刚体的自由度是多少？6 一个自由空间运动刚体的自由度是多少？ 的自由度数。 例：求图示受约束质点M的自由度数。 求图示受约束质点 的自由度数 自由度： 自由度： k
ψ
(θ , ϕ ) ; (θ ,ψ ) ; (ϕ ,ψ )
对于完整、双面约束的质系，自由度为 ， 对于完整、双面约束的质系，自由度为k，则: 完整 的质系 •若选k个广义坐标 q1 , q2 , L, qk ，则各质点的位置矢径： 则各质点的位置矢径： 若选
ri = ri (q1 , q2 , L, qk , t )