第10章(1) 层合板刚度理论

在单层平面内任意坐标系中的应力为：
x Q11 Q 12 Q 16 x (10-2) y Q 12 Q 22 Q 26 y xy Q 16 Q 26 Q 66 xy 方程（10-1）和（10-2）两者都可以设想为多层层合板第k层的应力— 应变关系。方程（10-2）可写为：
N x A11 0 A12 0 B16 k xy x y
因此，合力 N x 产生层合板的扭转，可由除了一般的拉伸应变 项得到证明。
第10章 层合板的宏观力学性能
§ 10.2 层合板刚度的特殊情况
1.对象：专门讨论层合板的某些特殊情况，其刚度与一般形式 的方程不同，是简化值。一些情况很平常，而另一些情况则较为特 殊，但都有助于理解层合板刚度的概念。 2.方法：本节是一个逐步复杂化的特殊情况。多数情况是从用 许多单层组成的层合板得出的，这些单层具有相同的材料性能和厚 度，但它们的材料主方向彼此不同，也不同于层合板轴的方向。对 其它更一般的情况也作了研究。


（10.1.20）式的层合板刚度简化为：
10.2.1单层结构
Et A11 A 2 1 v
Et 3 D11 D 2 12(1 v )
A`12 vA
D12 vD
D22 D
A`22 A
Bij 0
D16 0
D26 0
(10.2.1)
A`16 0
A`26 0
Mx Q11 N M y Q12 M k 1 xy Q16
Q Q Q Q Q Q
12 22 26
0 kx 16 x Z k 0 dz Z k k zdz Z y Zk 1 y 26 k 1 0 k xy xy 66 k
(10-16)
Q Q Q Q Q Q
12 22 26
0 kx 16 x Zk Zk 0 y zdz k y z 2 dz Z Z k 1 26 k 1 0 k xy xy 66 k
第10章 层合板的宏观力学性能
第k层的应力用层合板中面的应变和曲率表示如下：
x Q11 Q12 y Q12 Q22 Q Q 62 xy k 61
Q16 0 k x x 0 Q26 y z k y 0 Q66 k xy k xy
Aij Q Z k Z k 1 ij k 1 k
N
1N 2 2 Bij Q Z k Z k 1 2 k 1 ij k


1N 3 3 Dij Q Z k Z k 1 3 k 1 ij k
(10-9)
或
x 0 k x x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
(10-10)
第10章 层合板的宏观力学性能
u 0 x 0 x 0 0 y y 0 xy u 0 0 y x
中面应变为：
(10-11)
中面曲率为：
2 w0 2 kx x 2 w0 k y y 2 k 2 xy w0 2 xy
(10-12)
方程（10-12）是中面的曲率。 很容易证明克希荷夫假设，说明层合板厚度的应变是线性变化的。
x
u x
y
y
xy
u y x
(10-8)
于是，对于在方程（10-6）和（10-7）导出的位移u、v，应变为：
u0 2 w0 z z x x 2
0 2 w0 y z y y 2
xy
u0 0 2 w0 2z y x xy
Dij ---弯曲刚度
第10章 层合板的宏观力学性能
图10-6 两层不对称层合板在拉伸荷载下的扭转 这是一块两层尼龙增强的层合板，承受着合力 当层合板的材料主方向与层合板的x轴成+

和- 时，我们能证明：
N x ，由于支承的方式，y N xy M x M xy 0 N
0 和 0 外，还有 k xy x y
在平面应力状态下，正交各向异性材料单层在材料主方向上的应力—应 变关系为： 0 1 1 Q11 Q12 2 Q12 Q22 0 2 (10-1) 0 0 Q66 12 12
z
板的克希荷夫（Kirohhoff)假设和壳的克希荷夫—勒甫（Kirohhoff—Love)假设。 任意点从变形前到变形后在x方向的位移是
u u0 z0
直线ABCD在变形后仍垂直于中面， 是层合板中面在x方向的斜率，即
(10-4)
(10-5)

w0 x
因此，在层合板厚度上任一点z的位移u为：
B16 0 D11 x 0 B26 y D12 0 B66 xy D16
D12 D22 D26
D16 k x k D26 y D66 k xy
(10-19)
Aij Q Z k Z k 1 ij k 1 k
3.过程: 首先处理单层结构的刚度， 其次讨论和分类对称于中面的层合板， 然后描述与中面反对称的层合板。 最后讨论与中面完全不对称的层合板。
10.2.1单层结构
本节所处理的特殊单层结构是各向同性，特殊正交 各向异性，一般正交各向异性以及各向异性的。从分析 角度来看，一般正交各向异性结构和各向异性层没有区 别，但是正交各向异性材料只有四个独立的材料性能参 数。 1. 各向同性单层 对于材料性能为 E, v 和厚度 t 的各向同性单层，
Et 1 v A66 A 2(1 v) 2
Et 3 1 v D66 D 24(1 v) 2
10.2.1单层结构
因此，合力仅仅与层合板中面内的应变有关，而合力矩则 仅仅与中面的曲率有关：
N x A vA 0 0 N y vA A N 0 0 1 v xy 2
第10章 层合板的宏观力学性能
§10.1 经典层合理论
经典层合理论，更确切一点是经典薄层层合理论或者经典 层合板理论。在复合材料著作中，经典层合理论常常缩写为 CLT。 它包含应力和变形假设, 从基本元件(单层)，得到最后结果 (结构层合板)。
第10章 层合板的宏观力学性能
10.1.1 单层的应力—应变性能
(10-17)
因为 0 x
0 y
0 xy k x k y k xy 不是z的函数，因此可以从求和记号中移出。
于是，方程（10-16）和（10-17）可写成：
N x A11 N y A12 N A xy 16
A12 A22 A26
A16 0 B11 x 0 A26 y B12 0 A66 xy B16
B12 B22 B26
B16 k x B26 k y B66 k xy
(10-18)
第10章 层合板的宏观力学性能
M x B11 M y B12 M B xy 16
式中：
B12 B22 B26
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk
Q k k

(10-3)
第10章 层合板的宏观力学性能
10.1.2 层合板的应变和应力变化
假定层合板是由粘结得很好的许多单层组成的，而且假定粘结是非常薄 的且没有剪切变形，即单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移。因 而，层合板相当于一块具有非常特殊性能的单层板，但仍像一块单层材料 一样作用。 假设薄板 ：
（1） 假设垂直于层合板中 面的一根初始直线，在层 合板承受拉伸和弯曲后仍 保持直线并垂直于中面， 要求垂直于中面的法线在 变形后仍保持直的并垂直 xz yz 0 中面，相当于忽略了垂直 于中面的平面内的剪应变：
第10章 层合板的宏观力学性能
(2)假定表示法线的长度不变，因而垂直于中面的应变同样忽 略不计 0
t 2 t 2
t 2 t 2
N x x dz
M x x zdz
(10-14)
实际上，N x 是层合板横截面单位长度（或宽度）上的力，如图 10-3所示。 同样，M x 是单位长度上的力矩，如图10-4所示。
图10-3 层合平板的平面力
图10-4 层合平板的力矩
第10章 层合板的宏观力学性能
N
1 N 2 2 Bij Q Z k Z k 1 2 k 1 ij k


1N 3 3 Dij Q Z k Z k 1 3 k 1 ij k


(10-20)
式中：
Aij ---拉伸刚度
Bij ---耦合刚度 （意味着层合板在弯曲和拉伸之间有相互耦合）
(10-13)
因为层合板每层的 Qij 可以是不同的，即使沿层合板厚度的应变变化是线性的， 其应力变化未必是线性的。典型的应变和应力变化示于图10—2中。
层合板
应变变化
特性模型
应力变化
图10-2 假定的沿层合板厚度的应变和应力变化
第10章 层合板的宏观力学性能 10.1.3 层合板的合力和合力矩
作用于层合板上的合力和合力矩是由沿着层合板厚度对各单 层上的应力积分而得到的，例如:
N层层合板上的全部合力和合力矩定义为：