2008高考福建数学理科试卷含详细解答

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（理工类）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若复数2
(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为
A.1
B.2
C.1或2
D.-1
解：由2320a a -+=得12a =或,且101a a -≠≠得2a ∴=（纯虚数一定要使虚部不为0） (2)设集合{|
0}1
x
A x x =<-,{|03}
B x x =<<,那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：由
01
x
x <-得01x <<,可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件 (3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为
A.63
B.64
C.127
D.128
解：由151,16a a ==及｛a n ｝是公比为正数得公比2q =，所以7
71212712
S -=
=- (4)函数3
()sin 1()f x x x x R =++∈,若()2f a =，则()f a -的值为
A.3
B.0
C.-1
D.-2
解：3()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=
故()11f a --=-即()0f a -=.
(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为
4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.
16
625
B.
96625
C. 192625
D. 256625
解：独立重复实验4(4,)5B ，2
2
244196(2)55625P k C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A
(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA
1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值
为
B.
C.
D.
解：连11A C 与11B D 交与O 点,再连BO,则1OBC ∠为BC 1与平面BB 1D 1D
所成角.
1
1
1
OC COS OBC BC ∠=，
1OC =
，1
BC =
1COS OBC ∴∠=
= (7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
C.28
D.48
解：6人中选4人的方案4
615C =种，没有女生的方案只有一种，
所以满足要求的方案总数有14种 (8)若实数x 、y 满足100
x y x -+≤⎧⎨
>⎩ 则y
x 的取值范围是
A.(0,1)
B.(]0,1
C.(1,+∞)
D.[)1,+∞
解：由已知1y x ≥+，111y x x x x +==+，又0x >，故y
x
的取值范围是(1,)+∞
(9)函数()cos ()f x x x R =∈的图象按向量(,0)m 平移后，得到函数'
()y f x =-的图象， 则m 的值可以为
A.
2
π
B.π
C.－π
D.－ 2
π
解：()sin y f x x '=-=,而()cos ()f x x x R =∈的图象按向量(,0)m 平移后
得到cos()y x m =-,所以cos()sin x m x -=，故m
可以为
2
π. (10)在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若222
(a +c -b ,则角B 的值为
A.
6
π B.
3π C.6
π或56π
D.
3
π或
23π
解： 由2
2
2
(a +c -b 3ac 得222(a +c -b )3cos = 22sin B
ac B
即3cos cos = 2sin B B B
3sin B ∴,又在△中所以B 为3
π或23π
(11)双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则
双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处
θπ=，222(2)4cos 254cos 2m m m c e a θθ+-===-∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈
另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注
意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。

(12) 已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图象可能是
解：从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同,可以排除B 答案,再者导函数的函数值反映
的是原函数增加的快慢,可明显看出()y f x =的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D 了,可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
（13）若55432
543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++,则12345a a a a a ++++= (用数字作答)
解：令54321011x a a a a a a =+++++=-得，令0x =得0032x a ==-得 所以 5432131a a a a a ++++=
(14) 若直线340x y m ++=与圆 1cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩
（θ为参数）没有公共点，
则实数m 的取值范围是
解：圆心为(1,2)-，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得
1d r =
>=，即55m ->，m ∈
∞∞（-，0）（10，+） （15
，则其外接球的表面积是 解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径
.
23r == ,249S r ππ==
（16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、a
b
∈P （除
数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q
是数域；数集{}
,F a b Q =+∈也是数域.有下列命题： ①整数集是数域；
②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上） 解：①对除法如
1
2
Z ∉不满足，所以排除，
②取{}
,M a b Q =+∈,3
32
24M =∉, ③④的正确性容易推得。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知向量m =(sin A
,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得 ,6
6
3
A A π
π
π
-
=
=
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1
cos ,2
A =
所以2
2
1
3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， （18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD ＝2，底面ABCD 为直
角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为
3？若存在，求出
AQ
QD
的值；若不存在，请说明理由. 解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD 中PA =PD ,O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ,
又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD =AD , PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .
（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中、BC ∥AD ，AD =2AB =2BC ,
有OD ∥BC 且OD =BC ,所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB ∥DC . 由（Ⅰ）知，PO ⊥OB ,∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.
因为AD =2AB =2BC =2,在Rt △AOB 中，AB =1,AO =1,
所以OB ＝2，
在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1，
在Rt △PBO 中，tan ∠PBO ＝
22
,arctan .222
PG PBO BC ==∠= 所以异面直线PB 与CD 所成的角是2
arctan
2
.
（Ⅲ）假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32
. 设QD ＝x ，则1
2
DQC S x ∆=
，由（Ⅱ）得CD =OB =2， 在Rt △POC 中， 222,PC OC OP =+=
所以PC =CD =DP , 233(2),42
PCD S ∆=
= 由V p-DQC =V Q-PCD ,得2，所以存在点Q 满足题意，此时
1
3
AQ QD =. 解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、
、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ,依题意，易得A (0,-1,0),B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1),
所以110111CD
PB ---＝（，，），＝（，，）. 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arccos
6
3， (Ⅲ)假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为
3， 由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=- 设平面PCD 的法向量为n =(x 0,y 0,z 0).
则0,0,
n CP n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00000,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩即000x y z ==，
取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为n =(1,1,1). 设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-由
32CQ n n
=
，得
13
,3
y -+= 解y =-
12或y =52(舍去)，此时13
,22
AQ QD ==， 所以存在点Q 满足题意，此时1
3
AQ QD =.
（19）（本小题满分12分） 已知函数3
21()23
f x x x =
+-. （Ⅰ）设}{
n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中13a =.若点2
11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)
在函数'
()y f x =的图象上，求证：点(,)n n S 也在'
()y f x =的图象上；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值. 解：(Ⅰ)证明： 因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以'2()2f x x x =+， 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数'
()y f x =的图象上,221122n n n n a a a a ++-=+
111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+， 又0(N ),n a n +>∈
所以12n n a a +-=，}{
n a 是13,2a d ==的等差数列 所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为'2()2f n n n =+,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数'
()y f x =的图象上.
(Ⅱ)解:2
()2(2)f x x x x x '=+=+,令()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:
注意到(1)12a a --=<,从而
①当2
12,21,()(2)3
a a a f x f -<-<-<<--=-
即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.
（20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科 目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，科目B 每次考试 成绩合格的概率均为
1
2
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的
数学期望E ξ.
解：设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ，“科目A 补考合格”为事件2A ；“科目B 第一次
考试合格”为事件1B ，“科目B 补考合格”为事件2B
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为11A B ,注意到1A 与1B 相互独立，
则1111211()()()323
P A B P A P B =⨯=
⨯=. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
13
. (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
1112(2)()()P P A B P A A ξ==+
2111114.3233399
=
⨯+⨯=+= 112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++
2112111211114,3223223326693
=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+
12111211111,3322332218189=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418
234.9993
E ξ=⨯+⨯+⨯=
答：该考生参加考试次数的数学期望为8
3
.
（21）（本小题满分12分）
如图、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角
形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F
任意转动，值有2
2
2
OA OB AB +<,求a 的取值范围.
解：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，
因为△MNF 为正三角形，
所以32OF MN =
,321, 3.3
b b =解得＝ 2
2
14,a b =+=因此，椭圆方程为22
1.43
x y += (Ⅱ) 设1122(,),(,).A x y B x y
(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，
222
2222
2
2
2,4(1),.
OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有
(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，
设直线AB 的方程为：22
221,1,x y x my a b
=++=代入
整理得2
2
2
2
2
2
22
()20,a b m y b my b a b +++-=
所以2222
1212222222
2,b m b a b y y y y a b m a b m -+=-=++
因为恒有2
2
2
OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.
2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++
222222
222222
2222222
222
(1)()21
0.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m
+-=-+++-+-+=<+ 又2220a b m +>，所以2222222
0m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立，
即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立,当m R ∈时，222
m a b 最小值为0，
所以2222
0a b a b +-<， 2
2
2
4
(1)a b a b <-=, 因为2
20,0,1a b a b a >><=-∵∴，即2
10a a -->,
解得152a +>
或152a -<(舍去)，即15
2
a +>, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为15
(
,)++∞.
（22）（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)f x x x =+-
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）记()f x 在区间[]0,n （n ∈N*）上的最小值为n b 令ln(1)n n a n b =+- ①如果对一切n
<
恒成立，求实数c 的取值范围； ②求证：
13
132******** 1.n n
a a a a a a a a a a a a -+++< 解：
（I ）因为()ln(1)f x x x =+-，所以函数定义域为(1,)-+∞，且'
1()111x
f x x x
-=
-=
++。

由'
()0f x >得10x -<<，()f x 的单调递增区间为(1,0)-； 由'()0f x <<0得0x >，()f x 的单调递增区间为（0，+∞）. (II) 因为()f x 在[0,]n 上是减函数，所以()ln(1)n b f
n n n ==
+-
则ln(1)
ln(1)ln(1)
n n a n b
n n n n =
+-=+-++=. ①
==
>
1.=
又1
x
==,
因此1c ≤，即实数c 的取值范围是(,1]-∞.
② 由① < 因为[
135(21)246(2)
n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅]2
222
2133557
(21)(21)11
,246(2)2121
n n n n n ⋅⋅⋅-+=
⋅⋅⋅⋅
⋅++＜
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所以135(21)246
(2)
n n -＜1(n ∈N *), 则113135(21)2242
46(2)
n n -++
+＜
21a ++= *1313211222421()n n n
a a a a a a n N a a a a a a -+++∈即
＜。